空間幾何體中數(shù)量運算導出結論數(shù)量運算結論涉及到幾何體的棱、側面、對角面、截面等數(shù)量關系及幾何性質.1.在長方體中：①體對角線長為，外接球直徑；②棱長總和為；③全(表)面積為，體積；④體對角線與過同一頂點的三條棱所成的角分別為則有cos2+cos2+cos2=1，sin2+sin2+sin2=2.⑤體對角線與過同一頂點的三側面所成的角分別為則有cos2+cos2+cos2=2，sin2+sin2+sin2=1.2.在正三棱錐中：①側棱長相等(側棱與底面所成角相等)頂點在底上射影為底面外心；②側棱兩兩垂直(兩對對棱垂直)頂點在底上射影為底面垂心；③斜高長相等(側面與底面所成角相等)且頂點在底上在底面內(nèi)頂點在底上射影為底面內(nèi)心.3.在正四面體中：設棱長為，則正四面體中的一些數(shù)量關系：①全面積；②體積；③對棱間的距離；④相鄰面所成二面角；⑤外接球半徑；⑥內(nèi)切球半徑；⑦正四面體內(nèi)任一點到各面距離之和為定值.4.在立方體中：設正方體的棱長為，則①體對角線長為，②全面積為，③體積，④內(nèi)切球半徑為,外接球半徑為,與十二條棱均相切的球半徑為,則,,,且CCBAA【點撥】：立方體承載著諸多幾何體的位置關系特征，只要作適當變形，如切割、組合、扭轉等處理，便可產(chǎn)生新幾何體.貌似新面孔，但其本原沒變.所以，在求解三棱椎、三棱柱、球體等問題時，如果一般識圖角度受阻，不妨嘗試根據(jù)幾何體的結構特征，構造相應的“正方體”，將問題化歸到基本幾何體中，會有意想不到的效果.5.在球體中：球是一種常見的簡單幾何體．球的位置由球心確定，球的大小僅取決于半徑的大?。虬ㄇ蛎婕扒蛎鎳傻目臻g區(qū)域內(nèi)的所有的點．球面是到球心的距離等于定長(半徑)的點的集合．球的截面是圓面，其中過球心的截面叫做大圓面．球面上兩點間的距離，是過這兩點的大圓在這兩點間的劣弧長，計算球面距離的關鍵是“根據(jù)已知經(jīng)緯度等條件，先尋求球面上兩點間的弦長”，因為此弦長既是球面上兩點間的弦長，又是大圓上兩點間的弦長．球心和截面圓的距離與球的半徑及截面圓半徑之間的關系是.掌握球面上兩點、間的距離求法：⑴計算線段的長；⑵計算球心角的弧度數(shù)；⑶用弧長公式計算劣弧的長.【注】：“經(jīng)度是‘小小半徑所成角’，緯度是‘大小半徑的夾角’”.【補充】：一、四面體．1．對照平面幾何中的三角形，我們不難得到立體幾何中的四面體的類似性質：=1\*GB3①四面體的六條棱的垂直平分面交于一點，這一點叫做此四面體的外接球的球心；=2\*GB3②四面體的四個面組成六個二面角的角平分面交于一點，這一點叫做此四面體的內(nèi)接球的球心；=3\*GB3③四面體的四個面的重心與相對頂點的連接交于一點，這一點叫做此四面體的重心，且重心將每條連線分為3︰1；=4\*GB3④12個面角之和為720°，每個三面角中任兩個之和大于另一個面角，且三個面角之和為180°．2．直角四面體：有一個三面角的三個面角均為直角的四面體稱為直角四面體，相當于平面幾何的直角三角形．（在直角四面體中，記V、l、S、R、r、h分別表示其體積、六條棱長之和、表面積、外接球半徑、內(nèi)切球半徑及側面上的高），則有空間勾股定理：S2△ABC+S2△BCD+S2△ABD=S2△ACD．3．等腰四面體：對棱都相等的四面體稱為等腰四面體，好象平面幾何中的等腰三角形．根據(jù)定義不難證明以長方體的一個頂點的三條面對角線的端點為頂點的四面體是等腰四面體，反之也可以將一個等腰四面體拼補成一個長方體．（在等腰四面體ABCD中，記BC=AD=a，AC=BD=b，AB=CD=c，體積為V，外接球半徑為R，內(nèi)接球半徑為r，高為h），則有=1\*GB3①等腰四面體的體積可表示為；=2\*GB3②等腰四面體的外接球半徑可表示為；=3\*GB3③等腰四面體的四條頂點和對面重心的連線段的長相等，且可表示為；=4\*GB3④h=4r．二、空間正余弦定理．空間正弦定理：sin∠ABD/sin∠A-BC-D=sin∠ABC/sin∠A-BD-C=sin∠CBD/sin∠C-BA-D空間余弦定理：cos∠ABD=cos∠ABCcos∠CBD+sin∠ABCsin∠CBDcos∠A-BC-D6.直角四面體的性質：在直角四面體中,兩兩垂直,令,則⑴底面三角形為銳角三角形；⑵直角頂點在底面的射影為三角形的垂心；⑶；⑷；⑸；⑹外接球半徑R=.7.球的組合體(1)球與長方體的組合體:長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長．(2)球與正方體的組合體:正