6．2排列與組合6．2.1排列學(xué)習(xí)指導(dǎo)核心素養(yǎng)1.理解并掌握排列的概念.2.能應(yīng)用排列知識解決簡單的實(shí)際問題.1.數(shù)學(xué)抽象：排列的概念.2.數(shù)學(xué)運(yùn)算：表示一個問題的所有排列.排列(1)一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素，并按照____________排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列．(2)兩個排列相同的充要條件是：兩個排列的元素______________，且元素的______________也相同．一定的順序完全相同排列順序如何判定一個具體問題是不是排列問題？判斷一個具體問題是否為排列問題，就是從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素，判斷在安排這m個元素的時(shí)候是否有序，有序就是排列，無序就不是排列．而檢驗(yàn)是否有序的依據(jù)就是交換元素的“位置”,看結(jié)果是否有變化，有變化就是有序，無變化就是無序．1．判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)在一個排列中，若交換兩個元素的位置，則該排列不發(fā)生變化．(

)(2)在一個排列中，同一個元素不能重復(fù)出現(xiàn)．(

)(3)從1，2，3，4中任選兩個元素，就組成一個排列．(

)(4)從5個同學(xué)中任選2個同學(xué)分別參加數(shù)學(xué)和物理競賽的所有不同的選法是一個排列問題．(

)×√×√2．下面問題中，是排列問題的是(

)A．由1，2，3，4四個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)B．從60人中選11人組成足球隊(duì)C．從100人中選2人抽樣調(diào)查D．從1，2，3，4，5中選2個數(shù)組成集合√3．有5本不同的書，從中選3本送給3名同學(xué)，每人各1本，則送法共有(

)A．5種 B．3種C．60種 D．15種√4．從5名同學(xué)中選出正、副組長各1名，有________種不同的選法．(用數(shù)字作答)答案：20探究點(diǎn)1排列的概念[問題探究]排列問題中的元素有什么特征？探究感悟：(1)無重復(fù)性：從n個不同元素中取出m(m≤n)個不同的元素m否則不是排列問題．(2)有序性：安排這m個元素時(shí)是有順序的，有序的就是排列，無序的不是排列．

判斷下列問題是否為排列問題．(1)北京、上海、天津3個民航站之間的直達(dá)航線的飛機(jī)票的價(jià)格(假設(shè)往返的票價(jià)相同)；(2)選2個小組分別去植樹和種菜；(3)選2個小組去種菜；(4)選10個人組成一個學(xué)習(xí)小組；(5)選3個人分別擔(dān)任班長、學(xué)習(xí)委員、生活委員．【解】

(1)中票價(jià)只有3種，雖然機(jī)票是不同的，但票價(jià)是一樣的，不存在順序問題，所以不是排列問題．(2)植樹和種菜是不同的，存在順序問題，屬于排列問題．(3)，(4)不存在順序問題，不屬于排列問題．(5)中每個人的職務(wù)不同，例如甲當(dāng)班長或當(dāng)學(xué)習(xí)委員是不同的，存在順序問題，屬于排列問題．判斷一個具體問題是否為排列問題的方法1．從1，2，3，4四個數(shù)字中，任選兩個數(shù)做加、減、乘、除運(yùn)算，分別計(jì)算它們的結(jié)果，其中有幾種運(yùn)算可以看作排列問題(

)A．1

B．2C．3 D．4因?yàn)榧臃ê统朔M足交換律，所以選出兩個數(shù)做加法和乘法時(shí)，結(jié)果與兩數(shù)字位置無關(guān)，故不是排列問題．而減法、除法與兩數(shù)字的位置有關(guān)，故是排列問題．故共有2種，選B.√探究點(diǎn)2排列的應(yīng)用[問題探究]解決排列問題時(shí)，直接列舉易亂易錯，思考可用什么方法列舉？探究感悟：樹狀圖，列表法等．角度一列舉法求解排列問題

A，B，C三名同學(xué)照相留念，成“一”字形排隊(duì)，所有排列的方法有(

)A．3種 B．4種C．6種 D．12種所有的排法有：A－B－C，A－C－B，B－A－C，B－C－A，C－A－B，C－B－A，共6種．√角度二排列的簡單應(yīng)用

四名運(yùn)動員A，B，C，D參加4×100m接力賽，共有多少種參賽方案？將所有方案列舉出來．【解】

先安排第一棒，有4種方法；然后第二棒有3種方法，第三棒有2種方法，第四棒有1種方法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有4×3×2×1＝24種參賽方案．畫出樹狀圖：由“樹狀圖”可知，所有方案為：ABCD，ABDC，ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA.1．[變條件]若本例中加上條件“運(yùn)動員A不跑第一棒”，則有多少種方案？解：

第1棒有3種安排方法，第2棒有3種安排方法，第3棒有2種安排方法，第4棒有1種安排方法，共有3×3×2×1＝18種參賽方案．2．若本例中加上條件“運(yùn)動員A，B不相鄰”結(jié)論如何？解：畫出樹狀圖：由樹狀圖可知，所有坐法為：ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，BCAD,BCDA，BDAC，BDCA，CADB，CBDA，DACB，DBCA，共12種．利用“樹狀圖”法解決簡單排列問題的適用范圍及策略(1)適用范圍：“樹狀圖”在解決排列元素個數(shù)不多的問題時(shí)，是一種比較有效的表示方式．(2)策略：在操作中先將元素按一定順序排出，然后以先安排哪個元素為分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，再安排第二個元素，并按此元素分類，依次進(jìn)行，直到完成一個排列，這樣能做到不重不漏，然后再按樹狀圖寫出排列．

1．有4名大學(xué)生可以到5家單位實(shí)習(xí)，若每家單位至多招1名實(shí)習(xí)生，每名大學(xué)生至多到1家單位實(shí)習(xí)，且這4名大學(xué)生全部被分配完畢，則分配方案的個數(shù)為_______________________________________________．可以理解為從5家單位中選出4家單位，分別把4名大學(xué)生安排到4家單位，共有5×4×3×2＝120(個)分配方案．答案：1202．某藥品研究所研制了5種消炎藥a1，a2，a3，a4，a5，4種退熱藥b1，b2,b3，b4.現(xiàn)從中取兩種消炎藥和一種退熱藥同時(shí)進(jìn)行療效試驗(yàn)，但a1，a2兩種藥或同時(shí)用或同時(shí)不用，a3，b4兩種藥不能同時(shí)使用．試寫出所有不同的試驗(yàn)方法．1．(多選)已知下列問題，其中是排列問題的有(

)A．從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名分別參加數(shù)學(xué)和物理學(xué)習(xí)小組B．從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名參加一項(xiàng)活動C．從a，b，c，d這4個字母中取出2個D．從1，2，3，4這4個數(shù)字中取出2個組成一個兩位數(shù)√√A是排列問題，因?yàn)?名同學(xué)參加的活動與順序有關(guān)；B不是排列問題，因?yàn)?名同學(xué)參加這項(xiàng)活動與順序無關(guān)；C不是排列問題，因?yàn)槿〕龅?個字母與順序無關(guān)；D是排列問題，因?yàn)槿〕龅?個數(shù)字還需要按順序排成一個兩位數(shù)．2．由1，2，3，4這4個數(shù)字組成的首位數(shù)字是1，且恰有3個相同數(shù)字的四位數(shù)有(

)A．9個 B．12個C．15個 D．18個√3．滬寧高鐵線上有六個大站：上海、蘇州、無錫、常州、鎮(zhèn)江、南京,則鐵路部門應(yīng)為滬寧線上的六個大站(這六個大站之間)準(zhǔn)備的不同的火車票的種數(shù)為________．問題歸結(jié)為求從6個不同元素中每次抽出2個不同的元素的排列數(shù),故不同的火車票有6×5＝30(種)．答案：30