專題01圓錐曲線中的弦長問題一、單選題1．設橢圓長半軸長為SKIPIF1<0，短半軸長為SKIPIF1<0，半焦距為SKIPIF1<0，則過焦點且垂直于長軸的弦長是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】設橢圓焦點在SKIPIF1<0軸上，橢圓的標準方程為SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0或SKIPIF1<0代入橢圓的標準方程，求出SKIPIF1<0，由此可求得結果.【詳解】設橢圓焦點在SKIPIF1<0軸上，橢圓的標準方程為SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0或SKIPIF1<0代入橢圓的標準方程得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因此，過焦點且垂直于長軸的弦長是SKIPIF1<0.故選：D.2．已知橢圓SKIPIF1<0，直線l過橢圓C的左焦點F且交橢圓于A，B兩點，SKIPIF1<0的中垂線交x軸于M點，則SKIPIF1<0的取值范圍為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】當l：SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0與橢圓聯(lián)立可得：SKIPIF1<0，然后求得SKIPIF1<0的中垂線方程，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，然后分別利用兩點間的距離公式和弦長公式求得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，建立SKIPIF1<0求解.【詳解】橢圓SKIPIF1<0的左焦點為SKIPIF1<0,當l：SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0與橢圓聯(lián)立SKIPIF1<0，可得：SKIPIF1<0，由韋達定理得：SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0中點為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的中垂線方程為：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，綜上所述SKIPIF1<0，故選：B.【點睛】思路點睛：1、解決直線與橢圓的位置關系的相關問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡，然后應用根與系數(shù)的關系建立方程，解決相關問題．涉及弦中點的問題常常用“點差法”解決，往往會更簡單．2、設直線與橢圓的交點坐標為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則弦長為SKIPIF1<0SKIPIF1<0(k為直線斜率)．注意：利用公式計算直線被橢圓截得的弦長是在方程有解的情況下進行的，不要忽略判別式大于零．3．過橢圓9x2+25y2=225的右焦點且傾斜角為45°的弦長AB的長為（）A．5 B．6 C．SKIPIF1<0 D．7【答案】C【分析】求出焦點坐標和直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理和弦長公式可得答案.【詳解】由9x2+25y2=225得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，右焦點坐標為SKIPIF1<0，直線AB的方程為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故選：C.【點睛】本題主要考查直線與橢圓的弦長公式SKIPIF1<0，由韋達定理的應用.4．橢圓SKIPIF1<0的左、右焦點分別是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，斜率為SKIPIF1<0的直線l過左焦點SKIPIF1<0且交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，且SKIPIF1<0的內(nèi)切圓的周長是SKIPIF1<0，若橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，則線段SKIPIF1<0的長度的取值范圍是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】先利用等面積法可得：SKIPIF1<0，求解出SKIPIF1<0的值，然后根據(jù)弦長公式SKIPIF1<0的取值范圍.【詳解】設內(nèi)切圓半徑為r，由題意得SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故選：B.【點睛】本題考查橢圓焦點三角形問題，考查弦長的取值范圍問題，難度一般.解答時，等面積法、弦長公式的運用是關鍵.二、多選題5．已知拋物線SKIPIF1<0的焦點為SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0交拋物線于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點，以線段SKIPIF1<0為直徑的圓交SKIPIF1<0軸于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點，則（）A．若拋物線上存在一點SKIPIF1<0到焦點SKIPIF1<0的距離等于SKIPIF1<0，則拋物線的方程為SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0C．若直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0D．設線段SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0，若點SKIPIF1<0到拋物線準線的距離為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0【答案】AD【分析】由拋物線的定義求得SKIPIF1<0的值，可判斷A選項的正誤；設直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，設點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，將直線SKIPIF1<0的方程與拋物線的方程聯(lián)立，結合韋達定理可求得SKIPIF1<0的值，可判斷B選項的正誤；利用韋達定理結合拋物線的焦點弦長公式可判斷C選項的正誤；設直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，設點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，聯(lián)立直線SKIPIF1<0與拋物線的方程，求得點SKIPIF1<0到SKIPIF1<0軸的距離和SKIPIF1<0，可得出SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0的表達式，可判斷D選項的正誤.【詳解】對于A選項，由拋物線的定義可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以，拋物線的標準方程為SKIPIF1<0，A選項正確；對于B選項，如下圖所示：拋物線的焦點為SKIPIF1<0，設點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，設直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0并整理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，由韋達定理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，由圖象可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以，直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，B選項錯誤；對于C選項，當直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0時，由B選項可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由拋物線的焦點弦長公式可得SKIPIF1<0，C選項錯誤；對于D選項，拋物線的焦點SKIPIF1<0到準線的距離為SKIPIF1<0，則該拋物線的方程為SKIPIF1<0.設直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，設點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0到SKIPIF1<0軸的距離為SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時，等號成立，D選項正確.故選：AD.【點睛】本題考查直線與拋物線的綜合問題，考查了拋物線焦點弦的幾何性質(zhì)以及焦點弦長、焦半徑的計算.本題中將直線方程與拋物線的方程聯(lián)立，利用韋達定理得出點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的縱坐標所滿足的關系，并結合了拋物線的焦點弦長公式進行計算，考查學生的運算求解能力，屬于中等題.三、解答題6．如圖，SKIPIF1<0是直線SKIPIF1<0上一動點，過點SKIPIF1<0且與SKIPIF1<0垂直的直線SKIPIF1<0交拋物線SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之間．（1）若SKIPIF1<0過拋物線SKIPIF1<0的焦點SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；（2）求SKIPIF1<0的最小值．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0．【分析】（1）先求出直線SKIPIF1<0的方程，聯(lián)立直線與拋物線，將韋達定理和弦長公式相結合即可得結果；（2）設SKIPIF1<0，聯(lián)立方程組分別求出A，B，P的縱坐標，將SKIPIF1<0表示為關于SKIPIF1<0的函數(shù)式，結合基本不等式即可得結果.【詳解】解：（1）由已知得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，聯(lián)立得SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，設點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由根與系數(shù)的關系得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0．（2）設SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，∵有兩個不同的交點，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由于點SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0之間，所以SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時，即SKIPIF1<0時取等號．故SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0．【點睛】關鍵點點睛：（1）直線弦長公式的應用；（2）將所求量表示為關于SKIPIF1<0的函數(shù)，利用基本不等式求最值.7．已知橢圓SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）長軸長為短軸長的兩倍，連結橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為4，直線SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0，且與橢圓相交于另一點SKIPIF1<0．（1）求橢圓的方程；（2）若線段SKIPIF1<0長為SKIPIF1<0，求直線SKIPIF1<0的傾斜角．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【分析】（1）由題設列出基本量方程組，解得基本量，從而得方程.（2）設直線SKIPIF1<0方程，代入橢圓方程得關于SKIPIF1<0的一元二次方程，韋達定理整體思想及弦長公式得關于斜率的方程，解得斜率得直線方程.【詳解】(1)由題意可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0。橢圓方程為：SKIPIF1<0(2)由題可知直線SKIPIF1<0斜率存在，設直線SKIPIF1<0方程為:SKIPIF1<0代入橢圓方程得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的傾斜角為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.【點睛】本題是橢圓與直線相交弦長問題，是高考解析幾何中的常見題型.注意點點睛：①在設直線時要注意直線斜率是否存在，做必要的交代；②代入消元后要交代SKIPIF1<0的符號，確定交點是否存在及存在時的個數(shù)；③所得解回代檢驗合理性，以確保答案的正確性.8．已知直線SKIPIF1<0經(jīng)過拋物線SKIPIF1<0的焦點SKIPIF1<0，且與拋物線交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點.（1）若直線SKIPIF1<0的傾斜角為SKIPIF1<0，求線段SKIPIF1<0的長；（2）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【分析】（1）設點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，求出直線SKIPIF1<0的方程，與拋物線方程聯(lián)立，求出SKIPIF1<0的值，再利用拋物線的焦點弦長公式可求得線段SKIPIF1<0的長；（2）設直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，設點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，將直線SKIPIF1<0的方程與拋物線的方程聯(lián)立，可得出SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0求得SKIPIF1<0的值，利用韋達定理以及拋物線的方程求得SKIPIF1<0的值，利用拋物線的定義可求得SKIPIF1<0的長.【詳解】（1）設點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，拋物線SKIPIF1<0的焦點為SKIPIF1<0，由于直線SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0，且該直線的傾斜角為SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0并整理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由韋達定理可得SKIPIF1<0，由拋物線的焦點弦長公式可得SKIPIF1<0；（2）設點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，由題意可知，直線SKIPIF1<0不可能與SKIPIF1<0軸重合，設直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0并整理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由韋達定理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0.【點睛】有關直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式SKIPIF1<0，若不過焦點，則必須用一般弦長公式．9．已知圓上SKIPIF1<0上任取一點SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0軸的垂線段SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0在圓上運動時，線段SKIPIF1<0中點為SKIPIF1<0.（1）求點SKIPIF1<0的軌跡方程；（2）若直線l的方程為y＝x－1，與點SKIPIF1<0的軌跡交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，求弦SKIPIF1<0的長.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【分析】（1）設SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，利用相關點法即可求解.（2）將直線與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長公式即可求解.【詳解】（1）設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0點SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0中點，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，即點SKIPIF1<0的軌跡方程為SKIPIF1<0.（2）聯(lián)立SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0可得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.【點睛】方法點睛：本題考查了軌跡問題、求弦長，求軌跡的常用方法如下：（1）定義法：利用圓錐曲線的定義求解.（2）相關點法：由已知點的軌跡進行求解.（3）直接法：根據(jù)題意，列出方程即可求解.10．已知橢圓SKIPIF1<0的右焦點為SKIPIF1<0，左、右頂點為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）求橢圓SKIPIF1<0的標準方程；（2）求直線SKIPIF1<0被橢圓SKIPIF1<0截得的弦長.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【分析】（1）設橢圓的半焦距為SKIPIF1<0，由題意可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0，可得橢圓的方程；（2）聯(lián)立直線和橢圓方程，運用韋達定理和弦長公式，計算可得所求值.【詳解】（1）設橢圓的半焦距為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即有橢圓的方程為SKIPIF1<0；（2）聯(lián)立直線SKIPIF1<0和橢圓SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，設被橢圓SKIPIF1<0截得的弦的端點的橫坐標分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得弦長為SKIPIF1<0.【點睛】思路點睛：求解橢圓中的弦長問題時，一般需要聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)韋達定理，以及弦長公式，即可求出結果；有時也可由直線與橢圓方程聯(lián)立求出交點坐標，根據(jù)兩點間距離公式求出弦長.11．已知直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相交.（1）求SKIPIF1<0的取值范圍；（2）若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交所得弦長為SKIPIF1<0，求直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交所得弦長.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【分析】（1）由圓SKIPIF1<0求出圓心和半徑，利用圓心到直線的距離小于半徑即可求解；（2）由SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交所得弦長為SKIPIF1<0，利用弦長的一半、弦心距、圓的半徑滿足勾股定理可求出圓的半徑，再次利用勾股定理即可求解.【詳解】（1）圓SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0.因為直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相交，所以圓心SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0.（2）因為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交所得弦長為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為圓心SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0與M相交所得弦長為SKIPIF1<0.【點睛】方法點睛：有關圓的弦長的兩種求法（1）幾何法：直線被圓截得的半弦長為SKIPIF1<0，弦心距SKIPIF1<0和圓的半徑SKIPIF1<0構成直角三角形，即SKIPIF1<0；（2）代數(shù)法：聯(lián)立直線方程和圓的方程，消元轉(zhuǎn)化為關于SKIPIF1<0的一元二次方程，由根與系數(shù)的關系可求得弦長SKIPIF1<0或SKIPIF1<012．已知雙曲線SKIPIF1<0的標準方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為雙曲線SKIPIF1<0的左、右焦點.（1）若點SKIPIF1<0在雙曲線的右支上，且SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，求點SKIPIF1<0的坐標；（2）若斜率為1且經(jīng)過右焦點SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與雙曲線交于SKIPIF1<0兩點，求線段SKIPIF1<0的長度.【答案】（1）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【分析】（1）由雙曲線方程可得SKIPIF1<0，進而可得點SKIPIF1<0的縱坐標，代入即可得解；（2）聯(lián)立方程組，由韋達定理、弦長公式運算即可得解.【詳解】（1）由題意，雙曲線的焦距SKIPIF1<0，設點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，代入雙曲線方程可得SKIPIF1<0，所以點SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；（2）由題意，SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，化簡可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.13．設拋物線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的焦點，過SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點.（1）設SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；（2）求證：SKIPIF1<0為定值.【答案】（1）5；（2）證明見解析.【分析】（1）求出直線方程為SKIPIF1<0，聯(lián)立直線與拋物線，由SKIPIF1<0即可求解；（2）設直線方程為SKIPIF1<0，由韋達定理表示出SKIPIF1<0，即可得出定值.【詳解】（1）依題意得SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0.設直線SKIPIF1<0與拋物線的交點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.（2）證明：設直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與拋物線的交點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0為定值.【點睛】方法點睛：解決直線與圓錐曲線相交問題的常用步驟：（1）得出直線方程，設交點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）聯(lián)立直線與曲線方程，得到關于SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）的一元二次方程；（3）寫出韋達定理；（4）將所求問題或題中關系轉(zhuǎn)化為SKIPIF1<0形式；（5）代入韋達定理求解.14．已知橢圓M：SKIPIF1<0SKIPIF1<0的一個焦點為SKIPIF1<0，左右頂點分別為A，B．經(jīng)過點SKIPIF1<0的直線l與橢圓M交于C，D兩點．（Ⅰ）求橢圓SKIPIF1<0方程；（Ⅱ）當直線l的傾斜角為SKIPIF1<0時，求線段CD的長；（Ⅲ）記△ABD與△ABC的面積分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值．【答案】（Ⅰ）SKIPIF1<0；（Ⅱ）SKIPIF1<0；（Ⅲ）SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0.【分析】（Ⅰ）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)求出SKIPIF1<0可得結果；（Ⅱ）聯(lián)立直線與橢圓，根據(jù)弦長公式可求得結果；（Ⅲ）設直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，聯(lián)立直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0的方程，利用韋達定理求出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，變形后利用基本不等式可求得最大值.【詳解】（Ⅰ）因為橢圓的焦點為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以橢圓SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0.（Ⅱ）因為直線l的傾斜角為SKIPIF1<0，所以斜率為1，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0并整理得SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.（Ⅲ）由（Ⅰ）知SKIPIF1<0，設直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0并整理得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0異號，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,當且僅當SKIPIF1<0時，等號成立.所以SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0.【點睛】關鍵點點睛：第（Ⅲ）問中將三角形面積用SKIPIF1<0兩點的縱坐標表示，并利用韋達定理和基本不等式解決是解題關鍵.15．已知橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在橢圓SKIPIF1<0上，直線SKIPIF1<0過橢圓SKIPIF1<0的右焦點與上頂點，動直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0點.（1）求橢圓SKIPIF1<0的方程；（2）已知SKIPIF1<0為坐標原點，若點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，求此時SKIPIF1<0的長度.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）4或SKIPIF1<0.【分析】（1）根據(jù)SKIPIF1<0，以及SKIPIF1<0即可求解.（2）將直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0聯(lián)立，求出交點SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0，可得點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，根據(jù)SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0上求出點SKIPIF1<0即可求解.【詳解】（1）由題意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，結合SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故所求橢圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0.（2）易知定直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0.聯(lián)立SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，不妨令SKIPIF1<0點的坐標為SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0，由對稱性可知，點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0上，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0點的坐標為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的長度為4或SKIPIF1<0.【點睛】關鍵點點睛：解題的關鍵是求出SKIPIF1<0點，根據(jù)對稱性可知，確定點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，考查了計算求解能力.16．已知橢圓SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為坐標原點，SKIPIF1<0為橢圓上任意一點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為橢圓的左、右焦點，且SKIPIF1<0，其離心率為SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0的動直線SKIPIF1<0與橢圓相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點.(1)求橢圓SKIPIF1<0的標準方程；(2)當SKIPIF1<0時，求直線SKIPIF1<0的方程【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.【分析】（1）首先根據(jù)題意得到SKIPIF1<0，再解方程組即可得到答案.（2）首先設出直線方程SKIPIF1<0，與橢圓聯(lián)立，利用根系關系和弦長公式即可得到方程SKIPIF1<0，再解方程即可得到答案.【詳解】（1）由題意知SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以橢圓的標準方程為SKIPIF1<0.（2）當直線SKIPIF1<0的斜率不存在時，SKIPIF1<0，不符合題意.當直線SKIPIF1<0的斜率存在時，設直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，其判別式SKIPIF1<0.設點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0坐標分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.綜上，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.【點睛】關鍵點點睛：本題主要考查直線與橢圓的弦長問題，本題中將直線方程代入橢圓的標準方程，再利根系關系和弦長公式得到所求的等量關系為解題的關鍵，考查學生的計算能力，屬于中檔題.17．如圖，橢圓SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的離心率為SKIPIF1<0，過橢圓右焦點SKIPIF1<0作兩條互相垂直的弦SKIPIF1<0與SKIPIF1<0．當直線SKIPIF1<0的斜率為0時，SKIPIF1<0．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）求使SKIPIF1<0取最小值時直線SKIPIF1<0的方程．【答案】（Ⅰ）SKIPIF1<0；（Ⅱ）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【分析】（Ⅰ）由離心率及SKIPIF1<0，可得出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，進而寫出橢圓的方程；（Ⅱ）進行分類討論，①當兩條弦中一條弦所在直線的斜率為0時，另一條弦所在直線的斜率不存在，不滿足題意；②當兩弦所在直線的斜率均存在且不為0時，設直線AB的方程為SKIPIF1<0，則直線CD的方程為SKIPIF1<0，分別將直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的方程與橢圓方程聯(lián)立，由韋達定理得出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的表達式，然后利用弦長公式求出SKIPIF1<0的表達式，然后利用基本不等式求出SKIPIF1<0取得最小值時k的值，最后寫出直線的方程即可.【詳解】（Ⅰ）由題意知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以橢圓方程為SKIPIF1<0；（Ⅱ）①當兩條弦中一條弦所在直線的斜率為0時，另一條弦所在直線的斜率不存在時，由題意知SKIPIF1<0，不滿足條件；②當兩弦所在直線的斜率均存在且不為0時，設直線AB的方程為SKIPIF1<0，則直線CD的方程為SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，將直線AB的方程代入橢圓方程中并整理得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，同理，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0+SKIPIF1<0=SKIPIF1<0≥SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0即SKIPIF1<0時，上式取等號，所以直線AB的方程為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【點睛】易錯點點睛：本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓位置關系的應用，考查基本不等式的應用，對于第二問，應該對斜率存在與否進行分類討論，注意別漏掉斜率不存在的情形，考查邏輯思維能力和的分析計算能力，屬于中檔題.18．已知拋物線SKIPIF1<0的焦點SKIPIF1<0到準線的距離為2，且過點SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0被拋物線SKIPIF1<0所截得的弦長SKIPIF1<0為8．（1）求直線SKIPIF1<0的方程；（2）當直線SKIPIF1<0的斜率大于零時，求過點SKIPIF1<0且與拋物線SKIPIF1<0的準線相切的圓的方程．【答案】（1）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【分析】（1）由題意得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當直線l的斜率不存在時，不合題意；當直線l的斜率存在時，設方程為SKIPIF1<0，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理和拋物線的定義求出弦長，結合已知弦長可求得結果；（2）設所求圓的圓心坐標為SKIPIF1<0，根據(jù)幾何方法求出圓的半徑，根據(jù)直線與圓相切列式解得圓心坐標和半徑，可得圓的方程.【詳解】（1）由題意得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當直線l的斜率不存在時，其方程為SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，不滿足，舍去；當直線l的斜率存在時，設方程為SKIPIF1<0由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0由拋物線定義得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0因此l的方程為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.（2）由（1）取SKIPIF1<0直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，所以線段SKIPIF1<0的中點坐標為(3，2)，所以SKIPIF1<0的垂直平分線方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0設所求圓的圓心坐標為SKIPIF1<0，該圓的圓心到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則該圓的半徑為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因為該圓與準線SKIPIF1<0相切，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,當圓心為SKIPIF1<0時，半徑為SKIPIF1<0，當圓心為SKIPIF1<0時，半徑為SKIPIF1<0，因此所求圓的方程為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【點睛】關鍵點點睛：第（1）問，利用韋達定理和拋物線的定義求出拋物線的弦長是關鍵；第（2）問，根據(jù)幾何方法求出圓的半徑，利用直線與圓相切列式是解題關鍵.19．橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0，交橢圓于SKIPIF1<0?SKIPIF1<0兩點，且SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點.（1）求直線SKIPIF1<0的方程；（2）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【分析】（1）設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，利用點差法求直線的斜率；（2）根據(jù)（1）的結果，聯(lián)立方程，利用弦長公式SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值.【詳解】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0點SKIPIF1<0在橢圓里面，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，兩式相減可得SKIPIF1<0，變形為SKIPIF1<0，①SKIPIF1<0點SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0，并且有橢圓對稱性可知SKIPIF1<0，由①式兩邊同時除以SKIPIF1<0，可得，SKIPIF1<0，設直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，化簡為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0【點睛】方法點睛：點差法是解決涉及弦的中點與斜率問題的方法，首先設弦端點的坐標，可得出關于弦斜率與弦中點的方程，代入已知斜率，可研究中點問題，代入已知中點可求斜率.20．如圖所示，已知圓SKIPIF1<0上有一動點SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，線段SKIPIF1<0的垂直平分線交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，設點SKIPIF1<0的軌跡為曲線SKIPIF1<0.（1）求曲線SKIPIF1<0的方程；（2）過點SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0有兩個不同的交點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，問是否存在實數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立，若存在求出SKIPIF1<0的值；若不存在，請說明理由.（1）SKIPIF1<0；（2）存在，實數(shù)SKIPIF1<0.【分析】（1）計算得出SKIPIF1<0，利用橢圓的定義可知，曲線SKIPIF1<0為橢圓，確定焦點的位置，求出SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的值，結合點SKIPIF1<0不在SKIPIF1<0軸上可得出曲線SKIPIF1<0的方程；（2）設直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，設點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，將直線SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0的方程聯(lián)立，結合韋達定理以及弦長公式可計算出SKIPIF1<0的值，即可得出結論.【詳解】（1）連接SKIPIF1<0，由垂直平分線的性質(zhì)可得SKIPIF1<0，由于四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以點SKIPIF1<0的軌跡SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0為焦點，以SKIPIF1<0為長軸長的橢圓，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0