結構力學-虛功原理第一頁，共47頁。⒈本章的主要內容

本章從功的概念出發(fā)，介紹了力學的一個普遍原理——虛功原理。并利用這個原理推導出了結構的位移計算公式。本章著重介紹了代替位移計算公式中的積分運算的圖乘法。此外，本章還介紹了：靜定結構在溫度變化、支座移動時的位移計算;線彈性結構的四個互等定理。第二頁，共47頁。⒉本章的重點與難點掌握計算位移的基本方法——單位荷載法。尤其能熟練正確地運用圖乘法。難點：虛擬狀態(tài)的建立，各類圖形的圖乘。

重點：第三頁，共47頁。3.本章在全課程中的地位要求靜定結構的位移，必先求出靜定結構的內力。因此本章可以說是對前面所學的各類靜定結構的內力計算的復習。同時，位移計算又是下章即將開始學習的超靜定結構的基礎。因而,從全課程來看，本章是承上啟下的一章，也是十分重要的內容。第四頁，共47頁。4.本次課的內容及要求⑴了解形變、位移的概念及位移的種類。⑵明確位移計算的目的。⑶掌握變形體系的虛功原理（本次課重點）。第五頁，共47頁。一、變形與位移⒈變形：結構在外部因素作用下發(fā)生的形狀的變化。⒉位移：結構上點的移動和面或桿的轉動。⒊兩者之間的關系：有形變必有位移；有位移不一定有形變。9.1結構位移概念

第六頁，共47頁?！鱌有形變有位移有位移無形變第七頁，共47頁。9.1結構位移概念

一、變形與位移A位移2.轉角位移1.線位移A點線位移A點水平位移A點豎向位移A截面轉角FP第八頁，共47頁。⒊相對線位移：⒋相對角位移：第九頁，共47頁。9.1結構位移計算概述

一、變形與位移AP引起結構位移的原因制造誤差等荷載溫度改變支座移動還有什么原因會使結構產生位移?為什么要計算位移?第十頁，共47頁。鐵路工程技術規(guī)范規(guī)定:

二、計算位移的目的(1)剛度要求在工程上，吊車梁允許的撓度<1/600跨度；橋梁在豎向活載下，鋼板橋梁和鋼桁梁最大撓度<1/700和1/900跨度高層建筑的最大位移<1/1000高度。最大層間位移<1/800層高。(2)超靜定、動力和穩(wěn)定計算(3）施工要求第十一頁，共47頁。（3）理想聯(lián)結(IdealConstraint)。三、本章位移計算的假定疊加原理適用（principleofsuperposition)(1)線彈性(LinearElastic),(2)小變形(SmallDeformation),四、計算方法單位荷載法

(Dummy-UnitLoadMethod)第十二頁，共47頁。9.2虛功原理

(PrincipleofVirtualWork)一、功(Work)、實功(RealWork)和虛功(VirtualWork)功：力對物體作用的累計效果的度量功=力×力作用點沿力方向上的位移實功：力在自身所產生的位移上所作的功虛功：力在非自身所產生的位移上所作的功第十三頁，共47頁。9.2虛功原理

(PrincipleofVirtualWork)一、功(Work)、實功(RealWork)和虛功(VirtualWork)力狀態(tài)位移狀態(tài)（虛力狀態(tài)）（虛位移狀態(tài)）注意：（1）屬同一體系；（2）均為可能狀態(tài)。即位移應滿足變形協(xié)調條件；力狀態(tài)應滿足平衡條件。（3）位移狀態(tài)與力狀態(tài)完全無關；第十四頁，共47頁。9.2虛功原理

(PrincipleofVirtualWork)二、廣義力(Generalizedforce)、廣義位移(Generalizeddisplacement)一個力系作的總虛功W=P×

P---廣義力;---廣義位移例:1)作虛功的力系為一個集中力2)作虛功的力系為一個集中力偶3)作虛功的力系為兩個等值反向的集中力偶4)作虛功的力系為兩個等值反向的集中力第十五頁，共47頁。剛體系的虛功原理

去掉約束而代以相應的反力，該反力便可看成外力。在具有理想約束的剛體體系上,如果力狀態(tài)中的力系滿足平衡條件,位移狀態(tài)中的剛體位移與幾何約束相容,則作用于剛體系的所有外力所做虛功之和為零。FPΔPΔB-FPΔP+FB

ΔB=0虛功原理第十六頁，共47頁。三、虛功原理的兩種應用

1）虛功原理用于虛設的協(xié)調位移狀態(tài)與實際的平衡力狀態(tài)之間----虛位移原理例.求A端的支座反力(ReactionatSupport)。解：去掉A端約束并代以反力X，構造相應的虛位移狀態(tài).ABaC(a)bPX(b)P(c)直線待分析平衡的力狀態(tài)虛設協(xié)調的位移狀態(tài)由外力虛功總和為零，即：將代入得:通常取單位位移法(Unit-DisplacementMethod)(1)對靜定結構，這里實際用的是剛體虛位移原理，實質上是實際受力狀態(tài)的平衡方程(2)虛位移與實際力狀態(tài)無關,故可設(3)求解時關鍵一步是找出虛位移狀態(tài)的位移關系。(4)用幾何法來解靜力平衡問題第十七頁，共47頁。例題9-1用單位位移法求圖a所示多跨靜定梁的支座反力FBy和截面E處的彎矩ME。解：（1）求支座反力FBy（2）求截面E處的彎矩ME第十八頁，共47頁。例.求A端支座發(fā)生豎向位移c時引起C點的豎向位移.

2）虛功原理用于虛設的平衡力狀態(tài)與實際的協(xié)調位移狀態(tài)之間----虛力原理解：首先構造出相應的虛設力狀態(tài)。即，在擬求位移之點（C點）沿擬求位移方向（豎向）設置單位荷載。ABaCbc1ABC由求得：解得：這是虛單位荷載法

(Dummy-UnitLoadMethod)它是Maxwell,1864和Mohr,1874提出，故也稱為Maxwell-MohrMethod(1)所建立的虛功方程,實質上是幾何方程。(2)虛設的力狀態(tài)與實際位移狀態(tài)無關，故可設單位廣義力P=1(3)求解時關鍵一步是找出虛力狀態(tài)的靜力平衡關系。(4)是用靜力平衡法來解幾何問題。虛功方程為：第十九頁，共47頁。單位位移法的虛功方程平衡方程單位荷載法的虛功方程幾何方程第一種應用一些文獻稱為“虛位移原理”，而將第二種應用稱為“虛力原理”。更確切的說法為，兩種應用的依據是上述兩原理的必要性命題。上述兩原理都是充分、必要性命題，它們和虛功原理是有區(qū)別的。

虛位移原理:一個力系平衡的充分必要條件是:對任意協(xié)調位移,虛功方程成立.虛力原理:一個位移是協(xié)調的充分必要條件是:對任意平衡力系,虛功方程成立”。第二十頁，共47頁?！?.3變形體的虛功原理第二十一頁，共47頁。微段上虛應變能為：微段虛應變能沿桿長進行積分，然后對結構所有桿件求和可得，結構體系虛應變能為：第二十二頁，共47頁。原理的表述：設變形體系在力系作用下保持平衡（力狀態(tài)），同時該變形體系在其他原因產生符合約束條件的微小連續(xù)變形（位移狀態(tài)），則力狀態(tài)的外力在位移狀態(tài)的位移上所做的虛功We，恒等于力狀態(tài)的內力在位移狀態(tài)的相應變形上所做的虛功，即虛應變能。外力虛功W

=虛應變能V§9.3變形體的虛功原理第二十三頁，共47頁?！?.3變形體的虛功原理對于桿件結構，虛功原理表達式為：第二十四頁，共47頁。第二十五頁，共47頁。第二十六頁，共47頁?！?-3位移計算的一般公式·單位荷載法——在虛擬的力狀態(tài)中，于所求位移點沿所求位移方向施加一個單位荷載，以使荷載虛功恰好等于所求位移的計算位移方法。單位荷載法：位移為廣義位移，力是與廣義位移對應的廣義力。第二十七頁，共47頁?！?-3位移計算的一般公式·單位荷載法說明：⒈荷載指向可任意，如果計算結果為正，位移和單位荷載方向相同，反之相反。⒉如何設置虛擬狀態(tài)：DDP=1M=1DCP=1P=1第二十八頁，共47頁。求A、B兩點沿連線方向的相對線位移第二十九頁，共47頁。求K截面的轉角求桁架中某一桿件的角位移第三十頁，共47頁。求兩個截面的相對角位移求桁架中兩個兩個桿件的相對角位移第三十一頁，共47頁?！?-4荷載作用下的位移計算線彈性結構——結構的位移與荷載成正比第三十二頁，共47頁?！?-4荷載作用下的位移計算

若MP、NP、QP表示實際狀態(tài)中微段上的內力。由材料力學知：第三十三頁，共47頁?！?-4荷載作用下的位移計算其中：E——材料彈性模量I——桿件截面的慣性矩A——桿件截面的面積G——剪切彈性模量K——剪應力沿截面分布不均勻引起的改正系數矩形：圓：第三十四頁，共47頁。§9-4荷載作用下的位移計算——平面桿系結構在荷載作用下的位移計算公式。第三十五頁，共47頁?！?-4荷載作用下的位移計算

說明：1.逐段、逐桿積分。2.精確于直桿、曲桿不精確。如其曲率不大（截面高≤R），可得較精確的解。3.對以受彎為主的結構（梁、剛架）：對只有軸力的結構（桁架）：組合結構則應分別對待。第三十六頁，共47頁。內力的正負號規(guī)定如下：軸力以拉力為正；剪力使微段順時針轉動者為正；彎矩只規(guī)定乘積的正負號。使桿件同側纖維受拉時，其乘積取為正。第三十七頁，共47頁。例9-2求△CV解:加單位荷載由于結構荷載對稱分別求出實際荷載和單位荷載作用下梁的彎矩第三十八頁，共47頁。aaABCqqa2/2MP圖a例9-4、求：解：第三十九頁，共47頁。第四十頁，共47頁。例9-6求5點撓度解:加單位荷載第四十一頁，共47頁。第四十二頁，共47頁。BA(b)試確定指定廣義位移對應的單位廣義力。