第2章力學(xué)中的守恒定律§2.2動(dòng)量動(dòng)量守恒定律本節(jié)從沖量作用和質(zhì)點(diǎn)(系)動(dòng)量變化的因果關(guān)系出發(fā)，把牛頓運(yùn)動(dòng)定律所揭示的力的瞬時(shí)效應(yīng)延長為力對(duì)時(shí)間的累積效應(yīng)，導(dǎo)出反映沖量與動(dòng)量之間聯(lián)系的動(dòng)量定理,將動(dòng)量定理應(yīng)用于質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)，可導(dǎo)出力學(xué)中又一守恒定律——?jiǎng)恿渴睾愣?。?dòng)量定理和動(dòng)量守恒定律，為我們求解動(dòng)力學(xué)問題開辟了又一條不同于動(dòng)能角度的新途徑。一、沖量動(dòng)量及動(dòng)量定理.沖量力學(xué)中的沖量概念，也是從實(shí)踐中概括出來的.大量事實(shí)表明，一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)速度的變化，決定了兩個(gè)因素：第一是作用力的大?。坏诙橇Φ淖饔脮r(shí)間長短.例如:當(dāng)火車啟動(dòng)時(shí)，要達(dá)到一定的速度，必須是機(jī)車的作用力作用一段時(shí)間，如果機(jī)車的牽引力很大，在較短的時(shí)間內(nèi)就可以達(dá)到這個(gè)速度；若機(jī)車的牽引力較小，那么就需要較長的時(shí)間才能達(dá)到這個(gè)速度.由此可見，物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的改變，不僅與作用力有關(guān)，還與力的作用時(shí)間有關(guān).為此，我們研究力對(duì)時(shí)間的累積作用，這種累積作用可用沖量來表示.何力的沖量設(shè)從to到t的這段時(shí)間內(nèi)，有一包力F作用在物體上，我們把力與力所作用時(shí)間的乘積稱為力的沖量，用I表示，即IF(tto) (2.20)變力的沖量對(duì)于變力，不能用式(2.20)計(jì)算沖量.但在極短時(shí)間問隔t內(nèi)，可認(rèn)為力的大小和方向都恒定，若F表示極短時(shí)間t內(nèi)的作用力，則IFt叫力F在t時(shí)間內(nèi)的元沖量.對(duì)于to—t較長的時(shí)間，可將其分割為許多很小的時(shí)間間隔 ti，在任意ti中力都可以并取極限，即可得到力在limIt0視為恒定并用Fi并取極限，即可得到力在limIt0時(shí)間內(nèi)的總沖量，即tFiti Fdt(2.21)to這就是說，定義變力F在一段時(shí)間內(nèi)對(duì)時(shí)間t的積分為該力在該段時(shí)間內(nèi)的沖量.顯然，由于力是矢量，力的沖量也是矢量.

在研究變力對(duì)時(shí)間累積作用時(shí)，還常用到平均力（力對(duì)時(shí)間白平均值）概念，于是變力的沖量又可表小為tIFdtF（tt0） （2.22）t0亦即變力的沖量等于的平均力與力作用時(shí)間的乘積。在國際單位制中，沖量的單位是牛頓秒（NS）量綱為MLT1.當(dāng)力的方向沿某一直線時(shí)，變力的沖量也可用圖線進(jìn)行直觀的討論：如圖2.12所示,變力的沖量其大小可用圖中力曲線之下從to到t的曲邊梯形面積表示；若取寬為t-to的矩形并使其面積與力曲線之下的曲邊梯形面積相等 ，則此矩形的高即等于平均力的大小..動(dòng)量早在牛頓定彳t建立之前，人們?cè)谘芯课矬w的碰撞和打擊等現(xiàn)象時(shí)，就萌發(fā)了運(yùn)動(dòng)量的概念.例如,17世紀(jì)惠更斯就曾經(jīng)指出：質(zhì)量相等的兩個(gè)物體正碰后交換速度;用錘擊釘，錘子的運(yùn)動(dòng)就傳給了釘子，使釘子獲得“運(yùn)動(dòng)”并鉆進(jìn)木頭或墻壁.總之,在碰撞、打擊等現(xiàn)象中，均發(fā)生著“運(yùn)動(dòng)量”的傳遞.這種在機(jī)械運(yùn)動(dòng)中被傳遞的"運(yùn)動(dòng)量”如何量度？人們?cè)趯?shí)踐中總結(jié)出這種“運(yùn)動(dòng)量”與物體的質(zhì)量、速度均有關(guān)系.牛頓在1687年發(fā)表的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》中，已明確了動(dòng)量的定義：”運(yùn)動(dòng)的量是用它的速度和質(zhì)量一起來量度的”.也就是把物體（即質(zhì)點(diǎn)）的質(zhì)量與速度的乘積定義為質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)量.用P表示，即(2.23)在國際單位制中，動(dòng)量的單位為千克米/秒（kg?m/s）。由動(dòng)量定義可知，動(dòng)量是矢量，其方向與速度方向相同；且它是比速度更具有普遍意義的狀態(tài)量，它反映運(yùn)動(dòng)物體所具有的機(jī)械作用能力的大小.如高速飛行的質(zhì)量很小的子彈，命中敵人時(shí)可給敵人以致命的打擊；低速行駛但質(zhì)量很大的汽車也會(huì)給予不慎相撞的行人可怕的傷害，都是由于運(yùn)動(dòng)物體動(dòng)量大，而具有很大機(jī)械作用能力的結(jié)果..動(dòng)量定理牛頓第二定律可寫為Fmad(m)dt牛頓第二定律可寫為Fmad(m)dtd(m)Fdt積分可得(2.24)Fdtmm(2.24)上式表明：物體（即質(zhì)點(diǎn)）所受的合外力的沖量（過程量）等于物體動(dòng)量（狀態(tài)量）的增量（即末動(dòng)量與初動(dòng)量的矢量差），此即為動(dòng)量定理.動(dòng)量定理在直角坐標(biāo)系中的分量式為tIx Fxdtmxm0xt0tly Fydtmym0ytotIz Fzdtmzm0zto對(duì)動(dòng)量定理的理解應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：（1）質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理是從牛頓定律導(dǎo)出的，它們都是說明物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)與外力作用的關(guān)系.所不同的是，牛頓第二定律說明任意時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的變化率與該時(shí)刻外力之間的關(guān)系，而動(dòng)量定理則說明任意時(shí)間問隔內(nèi)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的變化量與該時(shí)問間隔內(nèi)外力沖量之間的關(guān)系.（2）質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理表明合外力的沖量方向與受力質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量的增量方向一致，而不是與質(zhì)點(diǎn)某時(shí)刻的動(dòng)量方向相同.例如:在質(zhì)點(diǎn)作斜上拋運(yùn)動(dòng)并達(dá)到最高點(diǎn)的過程中，質(zhì)點(diǎn)所受合外力為重力（不計(jì)空氣阻力），故合力的沖量方向鉛直向下質(zhì)點(diǎn)在這段時(shí)間內(nèi)動(dòng)量的增量 m也同樣鉛直向下.（3）質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理應(yīng)用于碰撞、打擊問題時(shí)十分方便.因?yàn)檫@類問題的特點(diǎn)是力的作用時(shí)間僅為百分之幾秒，甚至千分之幾秒，而在這極短的時(shí)間內(nèi)力急劇地上升至很大數(shù)值，然后又急劇地減小為零，這種力稱為沖力.沖力的方向一般是不變的，但大小不易測(cè)定.然而物體的動(dòng)量變化比較容易確定，因此可以根據(jù)動(dòng)量定理來計(jì)算力的沖量大小，而無需考慮運(yùn)動(dòng)過程中沖量變化的細(xì)節(jié).（4）同牛頓第二定律一樣，質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理僅適用于慣性系.而且在一切慣性系中形式都相同.例題2.7質(zhì)量為M3103kg的重錘，從高度為h=1.5m處自由落到受鍛壓的工件上，使工件發(fā)生形變，如果作用時(shí)間t103s,試求錘對(duì)工件的平均沖力.假設(shè)錘不反彈.解：取重錘為研究對(duì)象，在錘與工件相互作用前，錘是一個(gè)自由落體，在與工件剛接觸時(shí)，錘的速度為 質(zhì).t時(shí)間后，錘靜止在工件上.在這段時(shí)間內(nèi)，錘除了受向下的重力P以外，還受到工件對(duì)它的向上的沖力 N作用.用平均沖力N代替N.由動(dòng)量定理得(PN)t0M取鉛直向下為坐標(biāo)軸的正向，有PN—M/2ghttNPM72gh1.63107N則錘對(duì)工件的平均沖力方向向下，大小與N相等.由于N/P560，表示若將錘靜止放在工件上，工件所受壓力等于重力，而打擊時(shí)，卻能產(chǎn)生比錘所受重力大560倍的沖力，此即為鍛壓的基本原理.由此例可見：(1)當(dāng)沖力很大時(shí)(很小時(shí)),一些常見的力(如重力)與它比較，可忽略；(2)動(dòng)量定理是矢量關(guān)系，解題時(shí)一定要把各力和速度的方向弄清楚，列出矢量式,選好坐標(biāo)系，再用分量式進(jìn)行計(jì)算.例題2.8:人從多高處跳落到地面上會(huì)發(fā)生骨折？解：若人從高為h處落到地面而又不反彈，人體的質(zhì)量為m,則作用于人體的平均沖力為：F—t若人雙足著地，借助腳腕腳掌及雙膝來控制碰撞時(shí)間 t,對(duì)t的估算:設(shè)人從落地速度減到0時(shí),身體的重心移動(dòng)了一段距離 h，假設(shè)彎膝期間重心作勻減速運(yùn)動(dòng)，則有2h2ht- -2-a2(2h) .2gh將此式代入上式得二hFmg(一，直腿下跳 h0.01m,h2mF200mgh這表明，地面對(duì)人的沖擊力等于人所受重力乘以跳落高度與人體重心移動(dòng)距