5.2導數(shù)的運算5.2.1基本初等函數(shù)的導數(shù)課標要求素養(yǎng)要求1.能根據(jù)導數(shù)定義求函數(shù)y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝eq\f(1,x)，y＝eq\r(x)的導數(shù).2.會使用導數(shù)公式表.在利用導數(shù)的定義求基本初等函數(shù)的導數(shù)的過程中，發(fā)展學生的數(shù)學運算素養(yǎng).新知探究已知函數(shù)：(1)y＝f(x)＝c；(2)y＝f(x)＝x；(3)y＝f(x)＝x2；(4)y＝f(x)＝eq\f(1,x)；(5)y＝f(x)＝eq\r(x).問題1函數(shù)y＝f(x)＝c的導數(shù)是什么？提示∵eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx)＝eq\f(c－c,Δx)＝0，∴y′＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝0.問題2函數(shù)(2)(3)(4)(5)的導數(shù)分別是什么？提示由導數(shù)的定義得(2)(x)′＝1，(3)(x2)′＝2x，(4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝－eq\f(1,x2)，(5)(eq\r(x))′＝eq\f(1,2\r(x)).問題3函數(shù)(2)(3)(5)均可表示為y＝xα(α∈Q*)的形式，其導數(shù)有何規(guī)律？提示∵(2)(x)′＝1·x1－1，(3)(x2)′＝2·x2－1，(5)(eq\r(x))′＝(xeq\s\up6(\f(1,2)))′＝eq\f(1,2)xeq\f(1,2)－1＝eq\f(1,2\r(x))，∴(xα)′＝αxα－1.1.幾個常用函數(shù)的導數(shù)原函數(shù)導函數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù))f′(x)＝0f(x)＝xf′(x)＝1f(x)＝x2f′(x)＝2xf(x)＝eq\f(1,x)f′(x)＝－eq\f(1,x2)f(x)＝eq\r(x)f′(x)＝eq\f(1,2\r(x))2.基本初等函數(shù)的導數(shù)公式原函數(shù)導函數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù))f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos__xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin__xf(x)＝axf′(x)＝axln__a(a>0)f(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logaxf′(x)＝eq\f(1,xlna)(a>0，且a≠1)f(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)拓展深化[微判斷]1.若y＝eq\r(2)，則y′＝eq\f(1,2)×2＝1.(×)提示若y＝eq\r(2)，則y′＝0.2.若f(x)＝eq\f(1,x3)，則f′(x)＝－eq\f(3,x4).(√)3.若f(x)＝4x，則f′(x)＝4xlog5e.(×)提示若f(x)＝4x，則f′(x)＝4xln4.[微訓練]1.已知f(x)＝x2，則f′(3)等于()A.0 B.2xC.6 D.9解析∵f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，∴f′(3)＝6.答案C2.求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)f(x)＝eq\r(4,x5)；(2)g(x)＝coseq\f(π,4)；(3)h(x)＝3x.解(1)f(x)＝xeq\f(5,4)，∴f′(x)＝eq\f(5,4)xeq\f(1,4)；(2)g(x)＝coseq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)，∴g′(x)＝0；(3)h′(x)＝3xln3.[微思考]1.如何求函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x4)的導數(shù)？提示把f(x)＝eq\f(1,x4)化為f(x)＝x－4，則f′(x)＝－4x－5.2.如何求f(x)＝2sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)的導數(shù)？提示把f(x)＝2sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)化為f(x)＝sinx，則f′(x)＝cosx.題型一利用導數(shù)公式求函數(shù)的導數(shù)【例1】求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)y＝sineq\f(π,3)；(2)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)；(3)y＝eq\f(1,\r(x))；(4)y＝eq\r(4,x3)；(5)y＝log3x.解(1)y′＝0；(2)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)lneq\f(1,2)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)ln2；(3)y′＝(x－eq\f(1,2))′＝－eq\f(1,2)x－eq\f(3,2)＝－eq\f(1,2x\r(x))；(4)y′＝(eq\r(4,x3))′＝(xeq\s\up6(\f(3,4)))′＝eq\f(3,4)x－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4\r(4,x))；(5)y′＝(log3x)′＝eq\f(1,xln3).規(guī)律方法求簡單函數(shù)的導函數(shù)的基本方法：(1)用導數(shù)的定義求導，但運算比較繁瑣；(2)用導數(shù)公式求導，可以簡化運算過程，降低運算難度.解題時根據(jù)所給問題的特征，將題中函數(shù)的結(jié)構(gòu)進行調(diào)整，再選擇合適的求導公式.【訓練1】求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)y＝x13；(2)y＝eq\r(4,x)；(3)y＝sinx；(4)y＝eq\f(1,\r(5,x2)).解(1)y′＝(x13)′＝13x13－1＝13x12；(2)y′＝(eq\r(4,x))＝(xeq\s\up6(\f(1,4)))′＝eq\f(1,4)xeq\f(1,4)－1＝eq\f(1,4)x－eq\f(3,4)；(3)y′＝(sinx)′＝cosx；(4)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(5,x2))))′＝(x－eq\f(2,5))′＝－eq\f(2,5)x－eq\f(2,5)－1＝－eq\f(2,5)x－eq\f(7,5).題型二利用導數(shù)公式解決切線問題角度1求切線的方程【例2－1】函數(shù)y＝eq\f(1,x)在點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))處的切線方程是()A.y＝4x B.y＝－4x＋4C.y＝4x＋4 D.y＝2x－4解析∵y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝－x－2，∴k＝y(tǒng)′|x＝eq\f(1,2)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(－2)＝－4，∴切線方程為y－2＝－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，即y＝－4x＋4.答案B角度2求參數(shù)值【例2－2】已知y＝kx是曲線y＝lnx的一條切線，則k＝________.解析設切點坐標為(x0，y0)，由題意得y′|x＝x0＝eq\f(1,x0)＝k，又y0＝kx0，而且y0＝lnx0，從而可得x0＝e，y0＝1，則k＝eq\f(1,e).答案eq\f(1,e)角度3曲線上的點到直線的最小距離問題【例2－3】設P是曲線y＝ex上任意一點，求點P到直線y＝x的最小距離.解如圖，設l是與直線y＝x平行，且與曲線y＝ex相切的直線，則切點到直線y＝x的距離最小.設直線l與曲線y＝ex相切于點P(x0，y0).因為y′＝ex，所以ex0＝1，所以x0＝0.代入y＝ex，得y0＝1，所以P(0，1).所以點P到直線y＝x的最小距離為eq\f(|0－1|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2).規(guī)律方法利用導數(shù)的幾何意義解決切線問題的兩種情況(1)若已知點是切點，則在該點處的切線斜率就是該點處的導數(shù).(2)如果已知點不是切點，則應先設出切點，再借助兩點連線的斜率公式進行求解.【訓練2】(1)求曲線y＝eq\r(x)在點B(1，1)處的切線方程；(2)求曲線y＝lnx的斜率等于4的切線方程.解(1)設所求切線的斜率為k.∵y′＝(eq\r(x))′＝eq\f(1,2)x－eq\f(1,2)，k＝y(tǒng)′|x＝1＝eq\f(1,2)，∴曲線y＝eq\r(x)在點B(1，1)處的切線方程為y－1＝eq\f(1,2)(x－1)，即x－2y＋1＝0.(2)設切點坐標為(x0，y0).∵y′＝eq\f(1,x)，曲線y＝lnx在點(x0，y0)處的切線的斜率等于4，∴y′|x＝x0＝eq\f(1,x0)＝4，得x0＝eq\f(1,4)，∴y0＝－ln4，∴切點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，－ln4))，∴所求切線方程為y＋ln4＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,4)))，即4x－y－1－ln4＝0.題型三導數(shù)公式的實際應用【例3】某城市近10年間房價年均上漲率為10%，房價p(單位：萬元)與時間t(單位：年)有如下函數(shù)關(guān)系：p(t)＝p0(1＋10%)t，假定p0＝1，那么在第5個年頭，房價上漲的速度大約是多少(精確0.01萬元/年)？(參考數(shù)據(jù)：1.15＝1.611，ln1.1＝0.095)解由題意得p′(t)＝1.1tln1.1所以p′(5)＝1.15ln1.1≈1.611×0.095≈0.15(萬元/年)所以在第5個年頭，該市房價上漲的速度大約是0.15萬元/年.規(guī)律方法由導數(shù)的定義可知，導數(shù)是瞬時變化率，所以求某個量的變化速度，就是求相關(guān)函數(shù)在某點處的導數(shù).【訓練3】從時刻t＝0開始的t(s)內(nèi)，通過某導體的電量(單位：庫侖)可以由公式q＝cost表示.求第5秒和第7秒時的電流強度(單位：安)解由q＝cost得q′＝－sint，所以q′(5)＝－sin5，q′(7)＝－sin7，即第5秒，第7秒時的電流強度分別是－sin5安，－sin7安.一、素養(yǎng)落地1.通過學習導數(shù)公式及應用導數(shù)公式求基本初等函數(shù)的導數(shù)，提升數(shù)學運算素養(yǎng).2.利用常見函數(shù)的導數(shù)公式可以比較簡捷的求出函數(shù)的導數(shù)，其關(guān)鍵是牢記和運用好導數(shù)公式.解題時，能認真觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，積極地進行聯(lián)想化歸.3.有些函數(shù)可先化簡再應用公式求導.如求y＝1－2sin2eq\f(x,2)的導數(shù).因為y＝1－2sin2eq\f(x,2)＝cosx，所以y′＝(cosx)′＝－sinx.二、素養(yǎng)訓練1.函數(shù)y＝xe的導數(shù)是()A.y′＝xe B.y′＝exe－1C.y′＝exe D.y′＝lnx解析由(xα)′＝αxα－1得，y′＝exe－1.答案B2.若f(x)＝sinx，則f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝()A.－eq\f(1,2) B.－eq\f(\r(3),2)C.eq\f(1,2) D.eq\f(\r(3),2)解析f′(x)＝cosx，f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝coseq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),2).答案D3.已知f(x)＝x2，g(x)＝x.若m滿足f′(m)＋g′(m)＝3，則m的值為________.解析f′(x)＋g′(x)＝2x＋1，f′(m)＋g′(m)＝2m＋1＝3，故m＝1.答案14.曲線y＝eq\f(1,x)在點Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,3)))處的切線方程是________.解析∵y′＝－eq\f(1,x2)，∴在點Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,3)))處的斜率k＝－eq\f(1,9)，∴在點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,3)))的斜率為－eq\f(1,9)的切線方程為：y－eq\f(1,3)＝－eq\f(1,9)(x－3)，即x＋9y－6＝0.答案x＋9y－6＝05.曲線y＝ex在點(2，e2)處的切線與坐標軸所圍三角形的面積為________.解析∵y′＝(ex)′＝ex，∴在點(2，e2)處的切線斜率為k＝e2，∴曲線在點(2，e2)處的切線方程為y－e2＝e2(x－2)，即y＝e2x－e2.當x＝0時，y＝－e2，當y＝0時，x＝1.∴S△＝eq\f(1,2)×1×eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－e2))＝eq\f(1,2)e2.答案eq\f(1,2)e2基礎達標一、選擇題1.函數(shù)y＝3x在x＝2處的導數(shù)為()A.9 B.6C.9ln3 D.6ln3解析y′＝(3x)′＝3xln3，故所求導數(shù)為9ln3.答案C2.下列結(jié)論中，不正確的是()A.若y＝eq\f(1,x3)，則y′＝－eq\f(3,x4)B.若y＝eq\r(3,x)，則y′＝eq\f(\r(3,x),3)C.若y＝eq\f(1,x2)，則y′＝－2x－3D.若f(x)＝3x，則f′(1)＝3解析由(xn)′＝nxn－1知，選項A，y＝eq\f(1,x3)＝x－3，則y′＝－3x－4＝－eq\f(3,x4)；選項B，y＝eq\r(3,x)＝xeq\s\up6(\f(1,3))，則y′＝eq\f(1,3)x－eq\f(2,3)≠eq\f(\r(3,x),3)；選項C，y＝eq\f(1,x2)＝x－2，則y′＝－2x－3；選項D，由f(x)＝3x知f′(x)＝3，∴f′(1)＝3.∴選項A，C，D正確.故選B.答案B3.設正弦曲線y＝sinx上一點P，以點P為切點的切線為直線l，則直線l的傾斜角α的范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)) B.[0，π)C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))解析∵(sinx)′＝cosx，∴kl＝cosx，∴－1≤tanα≤1，又∵α∈[0，π)，∴α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)).答案A4.函數(shù)f(x)＝x3的斜率等于1的切線有()A.1條 B.2條C.3條 D.不確定解析∵f′(x)＝3x2，設切點為(x0，y0)，則3xeq\o\al(2,0)＝1，得x0＝±eq\f(\r(3),3)，即在點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(3),9)))和點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),9)))處有斜率為1的切線.所以有2條切線.答案B5.若曲線y＝x4的一條切線l與直線x＋4y－8＝0垂直，則l的方程為()A.4x－y－3＝0 B.x＋4y－5＝0C.4x－y＋3＝0 D.x＋4y＋3＝0解析由題意，知切線l的斜率k＝4.設切點坐標為(x0，y0).∵y′＝4x3，∴k＝4xeq\o\al(3,0)＝4，解得x0＝1，∴切點為(1，1)，∴l(xiāng)的方程為y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0.答案A二、填空題6.曲線y＝lnx在x＝a處的切線傾斜角為eq\f(π,4)，則a＝______.解析y′＝eq\f(1,x)，∴y′|x＝a＝eq\f(1,a)＝1.∴a＝1.答案17.若y＝10x，則y′|x＝1＝________.解析y′＝10xln10，∴y′|x＝1＝10ln10.答案10ln108.已知函數(shù)y＝x2(x>0)的圖象在點(ak，aeq\o\al(2,k))處的切線與x軸交點的橫坐標為ak＋1，其中k∈N*，若a1＝16，則a1＋a3＋a5的值是________.解析∵y′＝2x，∴y＝x2(x>0)的圖象在點(ak，aeq\o\al(2,k))處的切線方程為y－aeq\o\al(2,k)＝2ak(x－ak).又該切線與x軸的交點為(ak＋1，0)，∴ak＋1＝eq\f(1,2)ak，即數(shù)列{ak}是首項a1＝16，公比q＝eq\f(1,2)的等比數(shù)列，∴a3＝4，a5＝1，∴a1＋a3＋a5＝21.答案21三、解答題9.求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)y＝eq\r(5,x3)；(2)y＝eq\f(1,x4)；(3)y＝－2sineq\f(x,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－2cos2\f(x,4)))；(4)y＝log2x2－log2x.解(1)y′＝(eq\r(5,x3))′＝(xeq\s\up6(\f(3,5)))′＝eq\f(3,5)xeq\f(3,5)－1＝eq\f(3,5)x－eq\f(2,5)＝eq\f(3,5\r(5,x2)).(2)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x4)))′＝(x－4)＝－4x－4－1＝－4x－5＝－eq\f(4,x5).(3)∵y＝－2sineq\f(x,2)(1－2cos2eq\f(x,4))＝2sineq\f(x,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2cos2\f(x,4)－1))＝2sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx.(4)∵y＝log2x2－log2x＝log2x，∴y′＝(log2x)′＝eq\f(1,x·ln2).10.已知兩條曲線y1＝sinx，y2＝cosx，是否存在這兩條曲線的一個公共點，使得在這一點處，兩條曲線的切線互相垂直？并說明理由.解不存在，理由如下：因為y1＝sinx，y2＝cosx，所以y1′＝cosx，y2′＝－sinx.設兩條曲線的一個公共點為點P(x0，y0)，則兩條曲線在點P(x0，y0)處的切線斜率分別為k1＝cosx0，k2＝－sinx0.若兩條切線互相垂直，則cosx0·(－sinx0)＝－1，即sinx0·cosx0＝1，所以sin2x0＝2，顯然不成立，所以這兩條曲線不存在這樣的公共點，使得在這一點處的兩條切線互相垂直.能力提升11.如圖所示，水波的半徑以1m/s的速度向外擴張，當半徑為5m時，這水波面的圓面積的瞬時膨脹率是________m2/s.解析因為水波的半徑以v＝1m/s的速度向外擴張，水波面的圓面積S＝πr2＝π(vt)2＝πt2.所以利用瞬時變化率，可求水波面的圓面積在時刻t0時的瞬時膨脹率S′|t＝t0＝2πt0.當半徑為5m時，t＝5s，所以S′|t＝5＝2π×5＝10π，即半徑為5m時，這水波面的圓面積的瞬時膨脹率是10πm2/s.答案10π12.已知點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－1))，B(2，1)，函數(shù)f(x)＝log2x.(1)過坐標原點O作曲線y＝f(x)的切線，求切線方程.(2)在曲線y＝f(x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)≤x≤2))上是否存在點P，使得過點P的切線與直線AB平行？若存在，求出點P的橫坐標；若不存在，請說明理由.解(1)設切點為(m，log2m)(m>0).因為f(x)＝log2x，所以f′(x)＝eq\f(1,xln2).由題意可得eq\f(1,mln2)＝eq\f(log2m,m)，解得m＝e，所以切線方程為y－lo