關(guān)于概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)方差第1頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五

4.2.1方差的概念與計(jì)算定義4.3

設(shè)X是隨機(jī)變量，若E{[X–E(X)]2}存在，則稱其為X的方差，記為D(X)(或Var(X))，即稱為X的標(biāo)準(zhǔn)差．特別地，如果X是離散型隨機(jī)變量，分布律為則如果X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為f(x)，則第2頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五

將方差定義式右端展開(kāi)，并利用數(shù)學(xué)期望性質(zhì)可得

即今后我們會(huì)經(jīng)常利用這個(gè)式子來(lái)計(jì)算隨機(jī)變量X的方差D(X).4.2.1方差的概念與計(jì)算第3頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五【例4.13】求例4-2中隨機(jī)變量X的方差D(X).

解：由于

1161

所以4.2.1方差的概念與計(jì)算第4頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五4.2.1方差的概念與計(jì)算【例4.14】設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ（λ>0）的泊松分布，求D(X)．

解：由于X的分布律為，k=0，1，2，…，在例4-4中已經(jīng)求出，下面計(jì)算E(X

2)：故第5頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五4.2.1方差的概念與計(jì)算【例4.15】設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為（

>0）的指數(shù)分布，求D(X)．

解：由于指數(shù)分布的概率密度為在例4-7中已求出，故有第6頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五4.2.1方差的概念與計(jì)算【例4.16】設(shè)隨機(jī)變量X服從(a，b)上的均勻分布，求D(X)．

解：由于均勻分布的概率密度為所以第7頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五4.2.1方差的概念與計(jì)算【例4.17】設(shè)(X，Y)的概率密度為求D(X)及D(Y)．解：記D：|y|<x，0<x<1，如圖，則

,第8頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五4.2.1方差的概念與計(jì)算【例4.18】已知隨機(jī)變量X的概率密度為又E(X)=0.5，D(X)=0.15，求a，b，c．

解：由于從上面三個(gè)方程中可以解得a=12,b=–12,c=3．第9頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五4.2.2方差的性質(zhì)

(1)設(shè)c是常數(shù)，則D(c)=0；

(2)設(shè)c是常數(shù)，X是隨機(jī)變量，則

D(cX)=c2D(X)，D(X+c)=D(X)；

(3)設(shè)X，Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，則有D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{[X–E(X)][Y–E(Y)]}；特別，當(dāng)X，Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量時(shí)，有

D(X+Y)=D(X)+D(Y)；

(4)D(X)=0的充要條件是X以概率1取常數(shù)c，即P{X=c}=1．第10頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五4.2.2方差的性質(zhì)(1)設(shè)c是常數(shù)，則D(c)=0；證明：

(2)設(shè)c是常數(shù)，X是隨機(jī)變量，則

D(cX)=c2D(X)，D(X+c)=D(X)；證明：

第11頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五4.2.2方差的性質(zhì)(3)設(shè)X，Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，則有

D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{[X–E(X)][Y–E(Y)]}；特別，當(dāng)X，Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量時(shí)，有

D(X+Y)=D(X)+D(Y)；證明：當(dāng)X，Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量時(shí)，

第12頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五4.2.2方差的性質(zhì)

性質(zhì)(4)證明從略.

由性質(zhì)(2)和(3)容易推廣得到，若X1，X2，…，Xn是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，為常數(shù)，則前面例4-3中已經(jīng)用定義求出了二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望，現(xiàn)在再用數(shù)學(xué)期望和方差的性質(zhì)來(lái)求它的期望和方差。第13頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五4.2.2方差的性質(zhì)【例4.19】設(shè)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(n，p)，求E(X)和D(X)．

解：X可視為n重伯努利試驗(yàn)中某個(gè)事件A發(fā)生的次數(shù)，p為每次試驗(yàn)中A發(fā)生的概率．引入隨機(jī)變量Xi（i=1，2，…，n）：則又第14頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五4.2.2方差的性質(zhì)因?yàn)閄1，X2，…，Xn相互獨(dú)立，且由數(shù)學(xué)期望和方差的性質(zhì)可得第15頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五4.2.2方差的性質(zhì)【例4.20】一機(jī)場(chǎng)班車載有20名乘客自機(jī)場(chǎng)開(kāi)出，途中有10個(gè)車站可以下車，如果到達(dá)一個(gè)車站沒(méi)人下車則不停車，用X表示班車的停車次數(shù)，求X的數(shù)學(xué)期望E(X)及標(biāo)準(zhǔn)差．（設(shè)每位乘客在各個(gè)車站下車是等可能的，且各位乘客是否下車相互獨(dú)立）解：依題意，每位乘客在第i個(gè)車站下車的概率均為1/10，不下車的概率均為9/10,則班車在第i個(gè)車站不停車的概率為所以第16頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五4.2.2方差的性質(zhì)從而，第17頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五4.2.2方差的性質(zhì)【例4.21】設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布求D(X)．

解：設(shè)，由于所以Z～N(0，1)，從而又E(Z)=0，所以故第18頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五【實(shí)驗(yàn)4-1】用Excel計(jì)算例4-2中隨機(jī)變量Ｘ的數(shù)學(xué)期望與方差．實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備：函數(shù)SUMPRODUCT的使用格式：SUMPRODUCT(array1,array2,array3,...)功能：返回多個(gè)區(qū)域array1,array2,array3,...對(duì)應(yīng)數(shù)值乘積之和．X1000050001000100100pi1/1052/10510/105100/1051000/105p0第19頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五

實(shí)驗(yàn)步驟：

(1)整理數(shù)據(jù)如圖4-2左所示．

圖4-2計(jì)算數(shù)學(xué)期望

(2)計(jì)算E(X)，在單元格B8中輸入公式：=SUMPRODUCT(A2:A7,B2:B7)得到期望E(X)如圖4-2右所示．第20頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五

(3)為了計(jì)算方差，首先計(jì)算[xi–E(X)]2，在單元格C2中輸入公式：=(A2-B$8)^2并將公式復(fù)制到單元格區(qū)域C3:C7中，如圖4-3左所示．

圖4-3計(jì)算方差

(4)計(jì)算方差，在單元格B9中輸入公式：=SUMPRODUCT(C2:C7,B2:B7)即得計(jì)算結(jié)果如圖4-3右所示．第