導數應用專題之含參函數的單一性議論對函數(可求導函數)的單一性議論可歸納為對相應導函數在哪處正哪處負的議論，如有多個議論點時，要注意議論層次與次序，一般先依據參數對導函數種類進行分類，從簡單到復雜。一、經典例題例1、已知函數f(x)ax33x23x1,aR,議論函數f(x)的單一性.剖析：議論單一性就是確立函數在何區(qū)間上單一遞加，在何區(qū)間單一遞減。而確立函數的增區(qū)間就是確立f'(x)0的解區(qū)間；確立函數的減區(qū)間就是確立f'(x)0的解區(qū)間；議論單一性與議論不等式的解區(qū)間相應。解：因為f(x)ax33x23x1,aR，所以f/(x)3(ax22x1)(1)當a0時，f/(x)3(2x1)，當x1,時，f/(x)0；當x1,時，f/(x)0；22所以函數f(x)在(,1]上單一遞加，在[1,)上單一遞減；22(2)當a0時，f/(x)3(ax22x1)的圖像張口向上，36(1a)I)當a1時，36(1a)0,時，f/(x)0，所以函數f(x)在R上遞加；II)當0a1時，36(1a)0,時，方程f/(x)0的兩個根分別為x111a,x211a,且x1x2,aa所以函數f(x)在(,11a)，(11a,)上單一遞加，aa在(11a,11a)上單一遞減；aa(3)當a0時，f/(x)3(ax22x1)的圖像張口向下，且36(1a)0方程f/(x)0的兩個根分別為x111a,x211a,且x1x2,aa所以函數f(x)在(,11a)，(11a,)上單一遞減，aa在(11a,11a)上單一遞加。aa綜上所述，當a0時，所以函數f(x)在(11a,11a)上單一遞加，aa在(,11a)，(11a,)上單一遞減；aa當a0時，f(x)在(,1]上單一遞加，在[1,)上單一遞減；22當0a1時，所以函數f(x)在(,11a11aa)，(a,)上單一遞加，在(11a,11a)上單一遞減；aa當a1時，函數f(x)在R上遞加；小結：導函數為二次型的一股先依據二次項系數分三種狀況議論（先議論其為0情況），而后議論鑒別式（先議論鑒別式為負或為0的情況，對應導函數只有一種符號，原函數在定義域上為單一的），鑒別式為正的狀況下還要確立兩根的大?。ㄈ舨豢梢源_立的要進行一步議論），最后依據導函數正負確立原函數相應單一性，記得寫出綜述結論。例2．（2010山東理數改編）已知函數.議論的單一性；解：因為f(x)lnxax1a)x1的定義域為(0,所以'1a1ax2x1af(x)xax2x2x(0,)，令h(x)ax2x1a,x(0,)，則f'(x)與g(x)同號法一：依據熟知二次函數性質可知g(x)的正負符號與張口相關，所以可先分種類議論：①當a＜0時，因為11＜0<1，h(x)張口向下,聯(lián)合其圖象易知ax(0,1)'(x)＜0，函數f(x)單一遞減；，h(x)＞0,此時fx(1,)時，h(x)＜0，此時f'(x)＞0，函數f(x)單一遞加.②當a0時，h(x)張口向上,但x2能否在定義域需要議論：因110a0或a1所以a當a1時，因為11＜0<1，h(x)張口向上,聯(lián)合其圖象易知ax(0,1)，h(x)＜0，此時f'(x)＞0，函數f(x)單一遞加.x(1,)時，h(x)＞0,此時f'(x)＜0，函數f(x)單一遞減；ii)當0a1時，g(x)張口向上且x1,x2(0,)，但兩根大小需要議論：a)當a1x2,h(x)≥0恒建立，時，x12此時'f(x)（0，+）f(x)≤0，函數在上單一遞減；b)111＞1＞0，g(x)張口向上且在（0，）有兩根當0＜a＜時，a(0,1)時，h(x)＞0，此時f'(x)＜0，函數f(x)單一遞減；x(1,11)時h(x)＜0，此時f'(x)＞0，函數f(x)單一遞加；ax(11,)時，h(x)＞0，此時f'(x)＜0，函數f(x)單一遞減；ac)當1a1時，0111，g(x)張口向上且在（0，）有兩根2ax(0,11)時，h(x)＞0，此時f'(x)＜0，函數f(x)單一遞減；ax(11,1)時h(x)＜0，此時f'(x)＞0，函數f(x)單一遞加；ax(1,)時，h(x)＞0，此時f'(x)＜0，函數f(x)單一遞減；小結：此法是把單一區(qū)間議論化歸為導函數符號議論，而確立導函數符號的分子是常有二次型的，一般要先議論二次項系數，確立種類及張口；而后因為定義域限制議論其根能否在定義域內，再議論兩根大小注，聯(lián)合g(x)的圖象確立其在相應區(qū)間的符號，得出導函數符號。議論重點與解含參不等式的討論相應。法二：①110a0或a1ai)當a＜0時，因為1＜a10<1，h(x)張口向下,聯(lián)合其圖象易知x(0,1)，h(x)＞0,此時f'(x)＜0，函數f(x)單一遞減；x(1,)時，h(x)＜0，此時f'(x)＞0，函數f(x)單一遞加.ii)當a1時，因為11＜0<1，h(x)張口向上,聯(lián)合其圖象易知ax(0,1)，h(x)＜0，此時f'(x)＞0，函數f(x)單一遞加.x(1,)時，h(x)＞0,此時f'(x)＜0，函數f(x)單一遞減；②1100a1時g(x)張口向上且x1,x2(0,)ai)當a1x2,h(x)≥0恒建立，時，x12此時f'(x)≤0，函數f(x)在（0，+）上單一遞減；ii)當0＜a＜111＞1＞0，g(x)張口向上且在（0，）有兩根時，a(0,1)時，h(x)＞0，此時f'(x)＜0，函數f(x)單一遞減；x(1,11)時h(x)＜0，此時f'(x)＞0，函數f(x)單一遞加；ax(11,')時，h(x)＞0，此時f(x)＜0，函數f(x)單一遞減；aiii)當1a1時，0111，g(x)張口向上且在（0，）有兩根2ax(0,11)時，h(x)＞0，此時f'(x)＜0，函數f(x)單一遞減；ax(11,1)時h(x)＜0，此時f'(x)＞0，函數f(x)單一遞加；ax(1,)時，h(x)＞0，此時f'(x)＜0，函數f(x)單一遞減；小結：單一性議論化歸為議論導函數符號的問題，多半導數是連續(xù)函數，其正負所以區(qū)間可由其根區(qū)分，所以可依據相應導函數的零點個數（從少到多）分類，先議論零點可能沒意義的（如分母或偶次根等含參數，要先議論分母能否為零，被開方式能否非負），而后議論解出的根能否為增根（解方程時因為去分母，去根號，去對數符號時致使范圍擴大而得出根，要議論其能否在定義域內），再對有多個零點的議論其大小，最后由導數的根將定義域區(qū)分為若干區(qū)間并聯(lián)合導函數圖象確立相應區(qū)間上確立導函數的正負（不可以確立的再議論何時正何時負）而獲得相應單一性質。最后確記要綜合議論狀況，寫出綜上所述結論。函數問題必定要注意先確立定義域，單一區(qū)間是定義域的子集。為議論導函數的根及導函數的符號狀況，一般能因式分解的要先分解（包含分式先通分）。例2．（2011

年廣東卷文

19題）設a

0，議論函數

f(x)

lnx

a(1

a)x2

2(1

a)x的單一性．解：函數f(x)的定義域為(0,)f(x)12a(1a)x2(1a)2a(1a)x22(1a)x1(x>0)xx令g(x)2a(1a)x22(1a)x1,則f'(x)與g(x)同號（1）當a1時，g(x)1,f'(x)10,f(x)lnx在定義域(0,)上為增函數x(2)當a1時,4(1a)28a(1a)12a216a44(3a1)(a1)當01a1時，g(x)張口向上，圖象在x軸上方，所以g(x)03所以f(x)0，則f(x)在(0,)上單一遞加當0a1或a1,此季節(jié)f(x)0，解得x11a,x21a32a(1a)2a(1a)因為2a(1a)00a1g(x)張口向上且0x1x2，所以可進一步分類議論以下：i)當a1時，2a(1a)0g(x)張口向下，x0x12∵x0，f(x)00xx1;f(x)0xx1則f(x)在(0,1a(3a1)(a1))上單一遞加，2a(1a)在(1a(3a1)(a1),)上單一遞減2a(1a)ii)當0a1f(x)00xx或xx;f(x)0xxx時，23121則f(x)在(0,1a(3a1)(a1))，(1a(3a1)(a1),)上單一遞加，2a(1a)2a(1a)在(1a(3a1)(a1),1a(3a1)(a1))上單一遞減2a(1a)2a(1a)綜上所述，f(x)的單一區(qū)間依據參數a議論狀況以下表：增減增增增增（此中)小結：求單一區(qū)間要確立定義域，確立導函數符號的重點是看分子相應函數，所以議論點有：第一是類型（一次與二次的根個數明顯不一樣)；第二有沒有根（二次的看鑒別式），第三是有根能否為增根（在不在定義根內；第四有根確實定誰大；第五看區(qū)間內導函數的正負號（二次函數要看張口）。確記要數形聯(lián)合，多半考題不會所有議論點都要議論的，題中常常有特別條件，許多議論點會同時確立（即知一個就同時確立另一個）。鑒別式與張口的議論點先誰都能夠，但從簡單優(yōu)先原則下可先依據鑒別式議論，因為當導函數無根時它只有一種符號，相應原函數在定義域內（每個連續(xù)的區(qū)間）為單一函數較簡單。二、穩(wěn)固作業(yè)：1.已知函數f(x)lnxa.，求f(x)的單一區(qū)間.x解：1axa），fxxx2x2,函數的定義域為（0，+令f'x0得：xa若a即a，則fx0,fx在(0,)上單一遞加；00若a即a，則由fx得x>-a,由fx得x<-a0000fx在(a,)上單一遞加,在0,-a上單一遞減.總之，當a0時，fx在(0,)上單一遞加；當a0時，fx在(a,)上單一遞加,在0,-a上單一遞減.已知函數f(x)=x－ax+(a－1)，議論函數的單一性,求出其單一區(qū)間。解：的定義域為.x1xa1=x令f'x0得:x1,x2a11(1)若a10即a1時，f'(x)0x1;f'(x)00x1此時f(x)在(1,)單一遞加,在(0,1)單一遞減若a10即a1時，①若即時，>0,故在單一遞加.②若0<,即時，由得，a1x1；由得，0xa1或x1故在單一遞減，在單一遞加.③若,即時，由得，1xa1；由得，0x1或xa1故在單一遞減，在單一遞加.綜上所述，當a1，單一增區(qū)為(1,),減區(qū)間是(0,1);當時，的減區(qū)間是，增區(qū)間是；當時，在定義域上遞加，單一增區(qū)為（不存在減區(qū)間）;當時，的減區(qū)間是，在增區(qū)間是.3.已知函數f(x)=ln(1+x)-x+x2(k≥0)，求f(x)的單一區(qū)間.解：x(1,)，f'(x)x(kxk1).1x令f'x0得:x0,x21k,k01k（1）當k0時，f'(x)x.1x所以，在區(qū)間(1,0)上，f'(x)0；在區(qū)間(0,)上，f'(x)0.故f(x)的單一遞加區(qū)間是(1,0)，單一遞減區(qū)間是(0,).（2）當x21即1k1時，考慮到k>0得，無解.k（3）當x2x1即k1時，f'(x)x20故f(x)的單一遞加區(qū)間是(1,).1x（4）當x2x1即0k1（Qk0）時，由得，0x1k1x1k；由得，0或xkk故f(x)的單一遞加區(qū)間是(1,0)和(1k,)，單一遞減區(qū)間是(