關(guān)于概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)最新完整版第1頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五§1.1隨機(jī)事件及其概率的統(tǒng)計(jì)定義一、概率論的誕生及應(yīng)用1654年,一個(gè)名叫梅累的騎士就“兩個(gè)賭徒約定賭若干局,且誰(shuí)先贏(yíng)c局便算贏(yíng)家,若在一賭徒勝a局(a<c),另一賭徒勝b局(b<c)時(shí)便終止賭博,問(wèn)應(yīng)如何分賭本”為題求教于帕斯卡,帕斯卡與費(fèi)馬通信討論這一問(wèn)題,于1654年共同建立了概率論的第一個(gè)基本概念─數(shù)學(xué)期望。概率論是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支,它研究隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律.概率論的廣泛應(yīng)用幾乎遍及所有的科學(xué)領(lǐng)域,例如天氣預(yù)報(bào),地震預(yù)報(bào),產(chǎn)品的抽樣調(diào)查;另外在經(jīng)濟(jì)、金融、保險(xiǎn)；管理決策；生物醫(yī)藥；農(nóng)業(yè)（試驗(yàn)設(shè)計(jì)等）等領(lǐng)域都有廣泛應(yīng)用.第2頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象稱(chēng)為確定性現(xiàn)象.

“太陽(yáng)不會(huì)從西邊升起”,1.確定性現(xiàn)象

“可導(dǎo)必連續(xù)”,“水從高處流向低處”,實(shí)例自然界所觀(guān)察到的現(xiàn)象:確定性現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象

二、隨機(jī)現(xiàn)象

確定性現(xiàn)象的特征:

條件完全決定結(jié)果第3頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五在一定條件下可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象稱(chēng)為隨機(jī)現(xiàn)象.實(shí)例1“在相同條件下擲一枚均勻的硬幣,觀(guān)察正反兩面出現(xiàn)的情況”.2.隨機(jī)現(xiàn)象結(jié)果有可能出現(xiàn)正面也可能出現(xiàn)反面.第4頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五結(jié)果有可能為:“1”,“2”,“3”,“4”,“5”或“6”.實(shí)例3“拋擲一枚骰子,觀(guān)察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)”.實(shí)例2“用同一門(mén)炮向同一目標(biāo)發(fā)射同一種炮彈多發(fā),觀(guān)察彈落點(diǎn)的情況”.結(jié)果:“彈落點(diǎn)會(huì)各不相同”.第5頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五實(shí)例4

“從一批含有正品和次品的產(chǎn)品中任意抽取一個(gè)產(chǎn)品”.其結(jié)果可能為:

正品

、次品.實(shí)例5

“過(guò)馬路交叉口時(shí),可能遇上各種顏色的交通指揮燈”.實(shí)例6“一只燈泡的壽命”可長(zhǎng)可短.隨機(jī)現(xiàn)象的特征:條件不能完全決定結(jié)果第6頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五2.隨機(jī)現(xiàn)象在一次觀(guān)察中出現(xiàn)什么結(jié)果具有偶然性,但在大量重復(fù)試驗(yàn)或觀(guān)察中,這種結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性

,概率論就是研究隨機(jī)現(xiàn)象這種本質(zhì)規(guī)律的一門(mén)數(shù)學(xué)學(xué)科.隨機(jī)現(xiàn)象是通過(guò)隨機(jī)試驗(yàn)來(lái)研究的.問(wèn)題什么是隨機(jī)試驗(yàn)?如何來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象?說(shuō)明1.隨機(jī)現(xiàn)象揭示了條件和結(jié)果之間的非確定性聯(lián)系,其數(shù)量關(guān)系無(wú)法用函數(shù)加以描述.第7頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五1.可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行;2.每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè),并且能事先明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果;3.進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn).定義在概率論中,把具有以下三個(gè)特征的試驗(yàn)稱(chēng)為隨機(jī)試驗(yàn).三、隨機(jī)試驗(yàn)第8頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五說(shuō)明

1.隨機(jī)試驗(yàn)簡(jiǎn)稱(chēng)為試驗(yàn),是一個(gè)廣泛的術(shù)語(yǔ).它包括各種各樣的科學(xué)實(shí)驗(yàn),也包括對(duì)客觀(guān)事物進(jìn)行的“調(diào)查”、“觀(guān)察”、或“測(cè)量”等.實(shí)例

“拋擲一枚硬幣,觀(guān)察正面,反面出現(xiàn)的情況”.分析

2.隨機(jī)試驗(yàn)通常用E來(lái)表示.(1)試驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行;第9頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五1.“拋擲一枚骰子,觀(guān)察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)”.2.“從一批產(chǎn)品中,依次任選三件,記錄出現(xiàn)正品與次品的件數(shù)”.同理可知下列試驗(yàn)都為隨機(jī)試驗(yàn)(2)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果:正面，反面;(3)進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn).故為隨機(jī)試驗(yàn).第10頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五3.記錄某公共汽車(chē)站某日上午某時(shí)刻的等車(chē)人數(shù).4.考察某地區(qū)10月份的平均氣溫.5.從一批燈泡中任取一只,測(cè)試其壽命.第11頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五四、概率的統(tǒng)計(jì)定義１、隨機(jī)事件：在試驗(yàn)的結(jié)果中，可能發(fā)生、也可能不發(fā)生的事件。比如，拋硬幣試驗(yàn)中，”徽花向上”是隨機(jī)事件；擲一枚骰子中，”出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”是一個(gè)隨機(jī)事件等。２、頻率：設(shè)A為實(shí)驗(yàn)E中的一個(gè)隨機(jī)事件，將E重復(fù)n次，A發(fā)生m次，稱(chēng)f(A)=m/n為事件A的頻率．隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)n的增加，頻率將處于穩(wěn)定狀態(tài)．比如投硬幣實(shí)驗(yàn)，頻率將穩(wěn)定在1/2附近．３、統(tǒng)計(jì)概率：將事件A的頻率的穩(wěn)定值p作為事件A出現(xiàn)的可能性的度量，即P(A)=p為事件A的統(tǒng)計(jì)概率．統(tǒng)計(jì)概率的缺點(diǎn)：（１）需要大量的重復(fù)試驗(yàn)．（２）得到的是概率的近似值．第12頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五§1.2樣本空間定義1

對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)E，它的每一個(gè)可能結(jié)果稱(chēng)為樣本點(diǎn)，由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集稱(chēng)為基本事件。所有樣本點(diǎn)構(gòu)成的集合稱(chēng)為E的樣本空間或必然事件，用或S表示我們規(guī)定不含任何元素的空集為不可能件，用表示。P(Ω)=1,P()=0第13頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五例１、設(shè)試驗(yàn)為拋一枚硬幣，觀(guān)察是正面還是反面，則樣本空間為：

Ω={正面，反面｝或｛ω1,ω2}例２、設(shè)試驗(yàn)為從裝有三個(gè)白球（記為１，２，３號(hào)）與兩個(gè)黑球（記為４，５號(hào)）的袋中任取兩個(gè)球．（１）觀(guān)察取出的兩個(gè)球的顏色，則樣本空間為：

Ω={ω00,ω11,ω01}ω00

表示“取出兩個(gè)白球”，ω11

表示“取出兩個(gè)黑球”，ω01

表示“取出一個(gè)白球與一個(gè)黑球”第14頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五（２）觀(guān)察取出的兩個(gè)球的號(hào)碼，則樣本空間為：

Ω={ω12,ω13,ω14,ω15,ω23,ω24,ω25,ω34,ω35,ω45}ωij表示“取出第i號(hào)與第j號(hào)球”．注：試驗(yàn)的樣本空間是根據(jù)試驗(yàn)的內(nèi)容確定的！第15頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五隨機(jī)事件隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間

的子集(或某些樣本點(diǎn)的子集），稱(chēng)為E的隨機(jī)事件,簡(jiǎn)稱(chēng)事件.試驗(yàn)中,骰子“出現(xiàn)1點(diǎn)”,“出現(xiàn)2點(diǎn)”,…,“出現(xiàn)6點(diǎn)”,“點(diǎn)數(shù)不大于4”,“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”等都為隨機(jī)事件.實(shí)例

拋擲一枚骰子,觀(guān)察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).第16頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五例3寫(xiě)出擲骰子試驗(yàn)的樣本點(diǎn),樣本空間,基本事件,事件A—出現(xiàn)偶數(shù),事件B—出現(xiàn)奇數(shù)

基本事件解：用

表示擲骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為

第17頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五

小結(jié)隨機(jī)現(xiàn)象的特征:1條件不能完全決定結(jié)果.2.隨機(jī)現(xiàn)象是通過(guò)隨機(jī)試驗(yàn)來(lái)研究的.(1)可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行;(2)每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè),并且能事先明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果;(3)進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn).隨機(jī)試驗(yàn)3.隨機(jī)試驗(yàn)、樣本空間與隨機(jī)事件的關(guān)系第18頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五隨機(jī)試驗(yàn)、樣本空間與隨機(jī)事件的關(guān)系每一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)相應(yīng)地有一個(gè)樣本空間,樣本空間的子集就是隨機(jī)事件.隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間子集隨機(jī)事件必然事件不可能事件是兩個(gè)特殊的隨機(jī)事件第19頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五

1.包含關(guān)系若事件A出現(xiàn),必然導(dǎo)致B出現(xiàn),則稱(chēng)事件B包含事件A,記作實(shí)例

“長(zhǎng)度不合格”必然導(dǎo)致“產(chǎn)品不合格”所以“產(chǎn)品不合格”包含“長(zhǎng)度不合格”.圖示

B包含

A.BA§1.3事件的關(guān)系及運(yùn)算一.隨機(jī)事件間的關(guān)系第20頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五若事件A包含事件B,而且事件B包含事件A,則稱(chēng)事件A與事件B相等,記作A=B.2.事件的和(并)實(shí)例

某種產(chǎn)品的合格與否是由該產(chǎn)品的長(zhǎng)度與直徑是否合格所決定,因此“產(chǎn)品不合格”是“長(zhǎng)度不合格”與“直徑不合格”的并.圖示事件

A與

B的并.

BA第21頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五3.事件的交

(積)推廣第22頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五圖示事件A與B

的積事件.ABAB實(shí)例某種產(chǎn)品的合格與否是由該產(chǎn)品的長(zhǎng)度與直徑是否合格所決定,因此“產(chǎn)品合格”是“長(zhǎng)度合格”與“直徑合格”的交或積事件.第23頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五和事件與積事件的運(yùn)算性質(zhì)第24頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五實(shí)例拋擲一枚硬幣,“出現(xiàn)花面”與“出現(xiàn)字面”是互不相容的兩個(gè)事件.4.事件的互不相容(互斥)若事件A、B滿(mǎn)足則稱(chēng)事件A與B互不相容.第25頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五“骰子出現(xiàn)1點(diǎn)”“骰子出現(xiàn)2點(diǎn)”圖示A與B互斥AB互斥實(shí)例拋擲一枚骰子,觀(guān)察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).說(shuō)明當(dāng)AB=時(shí),可將AB記為“直和”形式A+B.

任意事件A與不可能事件為互斥.第26頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五5.事件的差圖示A與B的差A(yù)BB實(shí)例“長(zhǎng)度合格但直徑不合格”是“長(zhǎng)度合格”與“直徑合格”的差.A事件“A出現(xiàn)而B(niǎo)不出現(xiàn)”，稱(chēng)為事件A與B的差.記作A-B(或)第27頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五若事件A、B滿(mǎn)足則稱(chēng)A與B為互逆(或?qū)α?事件.A的逆記作實(shí)例

“骰子出現(xiàn)1點(diǎn)”“骰子不出現(xiàn)1點(diǎn)”圖示A與B的對(duì)立.BA6.事件的互逆（對(duì)立）對(duì)立第28頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五若事件A、B滿(mǎn)足則稱(chēng)A與B為互逆(或?qū)α?事件.A的逆記作實(shí)例

“骰子出現(xiàn)1點(diǎn)”“骰子不出現(xiàn)1點(diǎn)”圖示A與B的對(duì)立.BA6.事件的互逆（對(duì)立）對(duì)立第29頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五二.事件間的運(yùn)算規(guī)律第30頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五三

完備事件組第31頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五例1設(shè)A,B,C表示三個(gè)隨機(jī)事件,試將下列事件用A,B,C表示出來(lái).(1)A出現(xiàn),B,C不出現(xiàn);(5)三個(gè)事件都不出現(xiàn);(2)A,B都出現(xiàn),C不出現(xiàn);(3)三個(gè)事件都出現(xiàn);(4)三個(gè)事件至少有一個(gè)出現(xiàn);第32頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五解(6)不多于一個(gè)事件出現(xiàn);第33頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五逆分配律第34頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五概率論與集合論之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系記號(hào)概率論集合論樣本空間,必然事件不可能事件基本事件隨機(jī)事件A的對(duì)立事件A出現(xiàn)必然導(dǎo)致B出現(xiàn)事件A與事件B相等空間(全集)空集元素子集A的補(bǔ)集A是B的子集A集合與B集合相等四、小結(jié)第35頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五事件A與事件B的差A(yù)與B兩集合的差集事件A與B互不相容A與B兩集合中沒(méi)有相同的元素事件A與事件B的和A集合與B集合的并集事件A與B的積事件

A集合與B集合的交集第36頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五一.古典概型§1.4概率的古典定義１、定義如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)E具有以下特征（1）、試驗(yàn)的樣本空間中僅含有有限個(gè)樣本點(diǎn)；（2）、每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相同。則稱(chēng)該隨機(jī)試驗(yàn)為古典概型。第37頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五

設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間由n個(gè)樣本點(diǎn)構(gòu)成,A為E的任意一個(gè)事件,且包含

m個(gè)樣本點(diǎn),則事件A出現(xiàn)的概率記為:2.古典概型中事件概率的計(jì)算公式稱(chēng)此為概率的古典定義.

第38頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五3.古典概型的基本模型:摸球模型(1)無(wú)放回地摸球問(wèn)題1

設(shè)袋中有M個(gè)白球和

N個(gè)黑球,現(xiàn)從袋中無(wú)放回地依次摸出m+n個(gè)球,求所取球恰好含m個(gè)白球,n個(gè)黑球的概率?樣本點(diǎn)總數(shù)為A所包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為解設(shè)A={所取球恰好含m個(gè)白球,n個(gè)黑球}第39頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五(2)有放回地摸球問(wèn)題2

設(shè)袋中有4只紅球和6只黑球,現(xiàn)從袋中有放回地摸球3次,求前2次摸到黑球、第3次摸到紅球的概率.解第1次摸球10種第2次摸球10種第3次摸球10種6種第1次摸到黑球6種第2次摸到黑球4種第3次摸到紅球第40頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五樣本點(diǎn)總數(shù)為A所包含樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為第41頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五4.古典概型的基本模型:球放入杯子模型(1)杯子容量不限制問(wèn)題1

把

4個(gè)球放到

3個(gè)杯子中去,求第1、2個(gè)杯子中各有兩個(gè)球的概率,其中假設(shè)每個(gè)杯子可放任意多個(gè)球.

4個(gè)球放到3個(gè)杯子的所有放法第42頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五因此第1、2個(gè)杯子中各有兩個(gè)球的概率為第43頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五(2)每個(gè)杯子只能放一個(gè)球問(wèn)題2

把4個(gè)球放到10個(gè)杯子中去,每個(gè)杯子只能放一個(gè)球,求第1至第4個(gè)杯子各放一個(gè)球的概率.解第1至第4個(gè)杯子各放一個(gè)球的概率為第44頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五解5、典型例題第45頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五在N件產(chǎn)品中抽取n件,其中恰有k件次品的取法共有于是所求的概率為解在N件產(chǎn)品中抽取n件的所有可能取法共有第46頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五

例3（分房問(wèn)題）有n個(gè)人，每個(gè)人都以同樣的概率1/N被分配在間房中的每一間中，試求下列各事件的概率：(1)某指定間房中各有一人

;(2)恰有間房，其中各有一人；

(3)某指定一間房中恰有人。

解先求樣本空間中所含樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)。首先，把n個(gè)人分到N間房中去共有種分法，其次，求每種情形下事件所含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)。第47頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五(b)恰有n間房中各有一人，所有可能的分法為

(a)某指定n間房中各有一人，所含樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即可能的的分法為：(c)某指定一間房中恰有m人，可能的分法為

進(jìn)而我們可以得到三種情形下事件的概率，其分別為:（2）

（3）

(1)第48頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五

把有限個(gè)樣本點(diǎn)推廣到無(wú)限個(gè)樣本點(diǎn)的場(chǎng)合,人們引入了幾何概型.由此形成了確定概率的另一方法

——幾何方法.概率的古典定義具有可計(jì)算性的優(yōu)點(diǎn),但它也有明顯的局限性.要求樣本點(diǎn)有限,如果樣本空間中的樣本點(diǎn)有無(wú)限個(gè),概率的古典定義就不適用了.二、幾何概型第49頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五定義1第50頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五定義2

當(dāng)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間是某個(gè)區(qū)域,并且任意一點(diǎn)落在度量(長(zhǎng)度,面積,體積)相同的子區(qū)域是等可能的,則事件A的概率可定義為說(shuō)明當(dāng)古典概型的試驗(yàn)結(jié)果為連續(xù)無(wú)窮多個(gè)時(shí),就歸結(jié)為幾何概率.第51頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五那末兩人會(huì)面的充要條件為例1

甲、乙兩人相約在0到T這段時(shí)間內(nèi),在預(yù)定地點(diǎn)會(huì)面.先到的人等候另一個(gè)人,經(jīng)過(guò)時(shí)間t(t<T)后離去.設(shè)每人在0到T這段時(shí)間內(nèi)各時(shí)刻到達(dá)該地是等可能的,且兩人到達(dá)的時(shí)刻互不牽連.求甲、乙兩人能會(huì)面的概率.會(huì)面問(wèn)題解第52頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五故所求的概率為若以x,y

表示平面上點(diǎn)的坐標(biāo),則有第53頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五§1.5概率加法定理(1)對(duì)于任意事件A,

對(duì)于前面討論的古典概型和幾何概型，我們?nèi)菀椎玫较旅鎯蓚€(gè)性質(zhì)：第54頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五證明：只要證明P(A+B)=P(A)+P(B)即可，這里根據(jù)古典概型來(lái)證明．設(shè)試驗(yàn)的樣本空間Ω共有N個(gè)等可能的基本事件，事件A包含M1個(gè)基本事件，事件B包含M2個(gè)基本事件．由于事件A與B是互不相容的，因此A與B的并A+B所包含的基本事件共有M1+M2個(gè)．于是有

P(A+B)=(M1+M2)/N=M1/N+M2/N=P(A)+P(B)第55頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五推論2對(duì)立事件的概率和等于一：第56頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五證明第57頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五證明由圖可得又由定理２

得因此得第58頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五推廣三個(gè)事件和的情況n個(gè)事件和的情況第59頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五解第60頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五ABAB第61頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五第62頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五（先從５雙中?。措p，再?gòu)拿侩p中任取一只）（先從５雙中取出１雙，在從剩下的８只鞋中取２只）第63頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五例3

在1~2000的整數(shù)中隨機(jī)地取一個(gè)數(shù),問(wèn)取到的整數(shù)既不能被6整除,又不能被8整除的概率是多少?

設(shè)A為事件“取到的數(shù)能被6整除”,B為事件“取到的數(shù)能被8整除”則所求概率為解第64頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五于是所求概率為第65頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五例４

甲、乙兩人約定在下午1時(shí)到2時(shí)之間到某站乘公共汽車(chē),又這段時(shí)間內(nèi)有四班公共汽車(chē)它們的開(kāi)車(chē)時(shí)刻分別為1:15、1:30、1:45、2:00.如果它們約定見(jiàn)車(chē)就乘;求甲、乙同乘一車(chē)的概率.假定甲、乙兩人到達(dá)車(chē)站的時(shí)刻是互相不牽連的,且每人在1時(shí)到2時(shí)的任何時(shí)刻到達(dá)車(chē)站是等可能的.第66頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五見(jiàn)車(chē)就乘的概率為設(shè)x,y分別為甲、乙兩人到達(dá)的時(shí)刻,則有解第67頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五概率的統(tǒng)計(jì)定義和古典定義都存在一定的缺點(diǎn)和局限性，有必要尋找概率的統(tǒng)一定義．經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的研究，到1933年,蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯?tīng)柲缏宸蛟诳偨Y(jié)了前人研究成果基礎(chǔ)上，提出了概率論的公理化結(jié)構(gòu),給出了概率的嚴(yán)格定義,使概率論有了迅速的發(fā)展.§1.6概率的公理化體系第68頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五第69頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五概率的可列可加性二.概率的公理化定義第70頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五第71頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五證明由概率的可列可加性得三.概率的性質(zhì)第72頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五概率的有限可加性證明由概率的可列可加性得第73頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五引例：投擲骰子，觀(guān)察點(diǎn)數(shù)，A表示“出現(xiàn)３點(diǎn)”，B表示“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，求P(A)及已知B發(fā)生的條件下A發(fā)生的概率P(A|B).解：P(A)=1/6,P(B)=1/2,P(AB)=1/6,P(A|B)=1/3,從而P(A)≠P(A|B),但

P(A|B)=P(AB)/P(B)§1.7條件概率與概率乘法定理第74頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五定理１ABAB證明：利用古典概型來(lái)證明．設(shè)樣本空間為Ω包含N個(gè)樣本點(diǎn)，A包含M1個(gè)樣本點(diǎn),B包含M2個(gè)樣本點(diǎn)，A,B的交包含M個(gè)樣本點(diǎn)．則第75頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五條件概率的性質(zhì)第76頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五例1

擲兩顆均勻骰子,已知第一顆擲出6點(diǎn),問(wèn)“擲出點(diǎn)數(shù)之和不小于10”的概率是多少?解:解:設(shè)A={擲出點(diǎn)數(shù)之和不小于10}B={第一顆擲出6點(diǎn)}應(yīng)用定義第77頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五定理2乘法定理第78頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五例2

一盒子裝有4只產(chǎn)品,其中有3只一等品,1只二等品.從中取產(chǎn)品兩次,每次任取一只,作不放回抽樣.設(shè)事件A為“第一次取到的是一等品”,事件B為“第二次取到的是一等品”,試求條件概P(B|A).解第79頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五由條件概率的公式得第80頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五例3

某種動(dòng)物由出生算起活20歲以上的概率為0.8,活到25歲以上的概率為0.4,如果現(xiàn)在有一個(gè)20歲的這種動(dòng)物,問(wèn)它能活到25歲以上的概率是多少?

設(shè)A表示“能活20歲以上”的事件;B表示“能活25歲以上”的事件,則有解第81頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五例4

五個(gè)鬮,其中兩個(gè)鬮內(nèi)寫(xiě)著“有”字,三個(gè)鬮內(nèi)不寫(xiě)字,五人依次抓取,問(wèn)各人抓到“有”字鬮的概率是否相同?解則有抓鬮是否與次序有關(guān)?

第82頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五第83頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五依此類(lèi)推故抓鬮與次序無(wú)關(guān).第84頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五1.8全概率公式全概率公式1、全概率公式第85頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五圖示證明化整為零各個(gè)擊破第86頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五說(shuō)明

全概率公式的主要用途在于它可以將一個(gè)復(fù)雜事件的概率計(jì)算問(wèn)題,分解為若干個(gè)簡(jiǎn)單事件的概率計(jì)算問(wèn)題,最后應(yīng)用概率的可加性求出最終結(jié)果.第87頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五例1

有一批同一型號(hào)的產(chǎn)品,已知其中由一廠(chǎng)生產(chǎn)的占30%,二廠(chǎng)生產(chǎn)的占50%,三廠(chǎng)生產(chǎn)的占20%,又知這三個(gè)廠(chǎng)的產(chǎn)品次品率分別為2%,1%,1%,問(wèn)從這批產(chǎn)品中任取一件是次品的概率是多少?設(shè)事件A為“任取一件為次品”,解第88頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五由全概率公式得30%20%50%2%1%1%第89頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五稱(chēng)此為貝葉斯公式.

２.貝葉斯公式第90頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五證明[證畢]第91頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五例2第92頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五解第93頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五(1)由全概率公式得(2)由貝葉斯公式得第94頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五第95頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五上題中概率0.95是由以往的數(shù)據(jù)分析得到的,叫做先驗(yàn)概率.而在得到信息之后再重新加以修正的概率0.97叫做后驗(yàn)概率.先驗(yàn)概率與后驗(yàn)概率第96頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五解例3第97頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五由貝葉斯公式得所求概率為即平均1000個(gè)具有陽(yáng)性反應(yīng)的人中大約只有87人患有癌癥.第98頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五1.條件概率全概率公式貝葉斯公式小結(jié)乘法定理第99頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五第100頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五§1.9隨機(jī)事件的獨(dú)立性(一)兩個(gè)事件的獨(dú)立性由條件概率，知一般地，這意味著：事件B的發(fā)生對(duì)事件A發(fā)生的概率有影響.然而，在有些情形下又會(huì)出現(xiàn)：第101頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五則有1.引例第102頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五2.定義注.1o說(shuō)明

事件A與B相互獨(dú)立,是指事件A的發(fā)生與事件B發(fā)生的概率無(wú)關(guān).第103頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五2o獨(dú)立與互斥的關(guān)系這是兩個(gè)不同的概念.兩事件相互獨(dú)立兩事件互斥例如二者之間沒(méi)有必然聯(lián)系獨(dú)立是事件間的概率屬性互斥是事件間本身的關(guān)系11由此可見(jiàn)兩事件相互獨(dú)立但兩事件不互斥.兩事件相互獨(dú)立兩事件互斥.第104頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五由此可見(jiàn)兩事件互斥但不獨(dú)立.又如：兩事件相互獨(dú)立.兩事件互斥第105頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五可以證明：

特殊地，A與B

獨(dú)立A與B

相容(不互斥)

或A與B

互斥A與B

不獨(dú)立證若A與B獨(dú)立,則

即A與B

不互斥(相容).第106頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五若A與B互斥，則AB=B發(fā)生時(shí)，A一定不發(fā)生.這表明:B的發(fā)生會(huì)影響A發(fā)生的可能性(造成A不發(fā)生),即B的發(fā)生造成A發(fā)生的概率為零.所以A與B不獨(dú)立.理解:BA第107頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五3.性質(zhì)(1)必然事件及不可能事件與任何事件A相互獨(dú)立.證∵A=A,P()=1∴P(A)=P(A)=1?P(A)=P()P(A)即與A獨(dú)立.∵A=,P()=0∴P(A)=P()=0=P()P(A)即與A獨(dú)立.第108頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五(2)若事件A與B相互獨(dú)立,則以下三對(duì)事件也相互獨(dú)立.①②③證①注

稱(chēng)此為二事件的獨(dú)立性關(guān)于逆運(yùn)算封閉.第109頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五又∵A與B相互獨(dú)立③第110頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五第111頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五甲,乙兩人同時(shí)向敵人炮擊,已知甲擊中敵機(jī)的概率為0.6,乙擊中敵機(jī)的概率為0.5,求敵機(jī)被擊中的概率.解設(shè)A={甲擊中敵機(jī)}B={乙擊中敵機(jī)}C={敵機(jī)被擊中}依題設(shè),∴A與B不互斥例1

(P(A)+P(B)=1.1>1≥P(A+B))第112頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五由于甲，乙同時(shí)射擊，甲擊中敵機(jī)并不影響乙擊中敵機(jī)的可能性，所以A與B獨(dú)立,進(jìn)而=0.8第113頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五1.三事件兩兩相互獨(dú)立的概念(二)多個(gè)事件的獨(dú)立性定義第114頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五2.三事件相互獨(dú)立的概念定義第115頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五

設(shè)A1，A2，…，An為n個(gè)事件，若對(duì)于任意k(1≤k≤n),及1≤i1<i2<···<ik≤n

3.n個(gè)事件的獨(dú)立性定義若事件A1，A2，…，An

中任意兩個(gè)事件相互獨(dú)立，即對(duì)于一切1≤i<j≤n,有定義第116頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五注.第117頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五兩個(gè)結(jié)論第118頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五n個(gè)獨(dú)立事件和的概率公式:設(shè)事件相互獨(dú)立,則

也相互獨(dú)立即n個(gè)獨(dú)立事件至少有一個(gè)發(fā)生的概率等于1減去各自對(duì)立事件概率的乘積.結(jié)論的應(yīng)用第119頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五則“

至少有一個(gè)發(fā)生”的概率為

P(A1…An)=1-(1-p1)…(1-pn)若設(shè)n個(gè)獨(dú)立事件發(fā)生的概率分別為類(lèi)似可以得出：至少有一個(gè)不發(fā)生”的概率為“=1-p1

…pn

第120頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五事件的獨(dú)立性在可靠性理論中的應(yīng)用：一個(gè)元件的可靠性：該元件正常工作的概率.一個(gè)系統(tǒng)的可靠性：由元件組成的系統(tǒng)正常工作的概率.第121頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五§1.10獨(dú)立試驗(yàn)序列1.定義(獨(dú)立試驗(yàn)序列)設(shè){Ei

}(i=1,2,…)是一列隨機(jī)試驗(yàn),Ei的樣本空間為i,設(shè)Ak

是Ek中的任一事件,Ak

k,若Ak出現(xiàn)的概率都不依賴(lài)于其它各次試驗(yàn)Ei(ik)的結(jié)果,則稱(chēng){Ei

}是相互獨(dú)立的隨機(jī)試驗(yàn)序列,簡(jiǎn)稱(chēng)獨(dú)立試驗(yàn)序列.第122頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五則稱(chēng)這n次重復(fù)試驗(yàn)為n重貝努里試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱(chēng)為貝努里概型.若n

次重復(fù)試驗(yàn)具有下列特點(diǎn)：2.n重貝努利(Bernoulli)試驗(yàn)1)每次試驗(yàn)的可能結(jié)果只有兩個(gè)A或2)各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立，(在各次試驗(yàn)中p是常數(shù)，保持不變）第123頁(yè)，共142頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)59分，星期五實(shí)例1

拋一枚硬幣觀(guān)察得到正面或反面.若將