14（1（75次x

cosx,0t,則x2ydyy2xdx y 1 sin2sin0

sin dt 2

2cos20

sin2tdt1 1 2

20

sintdt 2

2cos20

sin2tdt2.**（1）計算xdyydxLx2y2a2a0)Lx2y解：令xacost,yasint

xdy Lx2yLx2y00**（2）計 ，其中L是曲線xa(tsint),(0t2)的ya(1 ，到xx dx2xydy，其中L是由y 與yx2構(gòu)成的簡單閉曲線x

Lxx

dxLx1( 4x4)dx0( 0x 1x**(5)

111(4x4x)dx(4x51x2 x2y2dyxy2dxLx2y2R2在第一象限中自點BR,0(x2y2A0,R的弧段R

y2

2

3 35R 2sin2dsin5RR 2 **3.fyi2xyjA0,0（1）y

(0)；（2）x

eye

ytanx4 2 解：力fyi A B（1）W y2dx2xydy x22xxx1dx1(12)x2dx11 12（2）W22

y2dx2xydy1y

2e

eye

ydy

e

1y2(ey0

1W y2dx2xydy tan2x2xtanxsec2x1 0

44tanxxxtan2x4tanxx

**4.計算曲線積分LycosxydxxsinxydyL

．：ycosxydxxsinL 1

)dx

sinydy cosxsin x2 (cosy)1(lnx)1sinx02ln ***5.fAa,0xa

y

1x2yB0,bfPx2y x2yx2x2yx2y

j) x2yxx2yw dx Lx2y x2yacost(asint)bsint(b2 dt a2cos2tb2sin2(a2b2)sint 1 (b2a2)dsin22 dt 2 0a2cos2tb2sin2 20a2(b2a2)sin21lna2(b2a2)sin2t21(lnb2lna2)lna **6．計算曲線積分I fdS，其中C是曲線r(t)titC

jt3k自點(0,0,0(1,1,1ff(xyzx解 yt t:0zt

ixyj+yz2kI12tt3tt22tt2t63t2012t42t43t10dt3 x2x2y2z122（t2122

xdx

Cxtcostytsintz2tcostcosttsinttsintsintcost t2t解：原式t2t

dt14（2（76次*(1)設(shè)L是圓周 **(2)L|y|=1－x2

2xdxydy 2x2y(A) (B) (C)2 (D)4ln2*(1)計算曲線積分，式中L是由x2+y2≤x,x2+y2≤y所確定的公共閉區(qū)*(2)計算曲線積分，式中L是由y=|x|及y=x2－2所圍成的有**(3)計算曲線積 A(10)，B(01)(－10)界．解L1:

L2:1原式1

ydxxdy

ydxxdy0d(2)d0212

xacos3解A

xdyydx

1

(a

t3bsin

tcostbsin

t3a

tsin2 23ab2sin2tcos2tdt3ab

x1t

,y

1t

(0t) a 2t2t t22t5 a t2tDA2xdyydxD

2

a16(1ta16(1t3

(1

3)3dt

)3a2

t dt3

a60 (1t0**（1）xysinxsinydxx2cosxcosydy，其L自O(shè)0,0點出發(fā)，沿曲Lyxx2（０，０，L L

xD D1(x2x3)dx(11)000而

10dx0

∴

L

1***（2）計算曲線積 ，式中L是從O(0,0)沿曲線ytanxA

4***5.計算曲線積分，式中L是從原點O(0,0)沿擺線到達(dá)A(2a,0)的一拱有向弧段(a>0)．解：P

(xπa)2π2y[(xπa)2π2y2

，點(πa0)xπ(aa取L1為曲線yasin t從到則

0asint(aπsint)(aπcostacost)dt0d0

a2π ***6.把第二型（對坐標(biāo)的）曲線積分PxydxQxydy化為第一型（對弧長的）LL是從O(0,0)x2y22xA(1,1)14（3（77次教學(xué)內(nèi)容：§14.2公式（續(xù)**（1）曲線積分的 關(guān)．答：（B）**（2）設(shè)C是從A(1，1)到B(2，3)的直線，則C(x3y)dx(y3x)dy （3）若可微函數(shù)ux,ydu(x,y)(x2pxyy2)dx(3x2qxyy2)dy， （A）p6,q2 （B）p3,q1（C）p6,q2 （D）p3,q1．（**2．驗證下列曲線積分的積分路徑無關(guān)性，并據(jù)此而另取一特殊路徑 以計算其值22 122 (2,0)至 (0,2)L xyLP

1,(xy

Q (xyP

xy1,(xy1)3

Q

xy，(xy則PQxy1xy1 (1y)dxxdy

2

(xy

(y

(x**3.驗證：存在uxy使(2xeyy)dxx2eyx2y)dydu(xy，并求uxy**4．試用求原函數(shù)增量 uA的方法，計算下述與路徑無關(guān)的曲線積分(1,2)(3x24xyy2)dx(2x22xy9y2)dy解：(1,2(3x24xyy2dx2x22xy9y2(x32x2yxy23y3)(1,2)(23)(3)20**（1）(cosyysinx)dx(cosxxsiny)dy0(x,解：(xy(0,0)(cosyysinx)dxcosxx(x, 0dx0(cosxxsiny)dyxycosxxcosyxycosxxcosy， ycosxxcosyC．**（2）(eyyex1)dx(exxey1)dy0解：(xy)

(x,y)(eyyex1)dx(exxey x(11)dxy(exxey1)dyyexxeyxy yexxeyxyC**6.試確定的值，使得的值與路徑無關(guān)，其中C為與X軸不相交(或不相接觸)；并計算

x(x

y2

x，Q (x2y2x yP x(x2y2)1[2y2(x2y2 yQ y

(x2y2)1[2x22(x2y2由P

Q，推出2y2x2y22x22(x2y2，即 即當(dāng)2

(0,2)

2 I

y

2dx2(x2y2

2d(1,1) 11

dx

212 212(02y2)2dy 1 2 1 **7. f(x,y)(xycosx)isin是否為梯度場？若是，則求出函數(shù)(xy，使gradf f(xyxycosx)isinxj ∵ (xycosx)cosx (sinx) (x,y)C(x,y)(xycosx)dxsinCxxdxysinxdy1x2ysinxC 14（4（78次**1．x2y21z0z3zdxdyxdydzydxdz 11 3 dxdy11 Dx 1y1y 2 dydz1y1y Dy （C）3d

1r2rdr （D）

d

rcosdr S**2．(xyz1)2dxdy，其中SzxyS(x1)2y1)21部分，積分沿的上側(cè)．解xyz12SDxyxy12dxdyDx12y12D x12y12dxdy2d15sin2cos2 D121cos4d1216 S**3．z(x2y2dydzdxdz，其中S為球面在第一、四卦限（x0z0）的部分，積分沿S的上側(cè)；S

x2y2z2

x2y2z

x2x2y2zx2y2z

x,y,zzx2y2dydzdxdz1zx2y2,zx2y2,0x,y, R1zx2y2xydSR2R2x2yyR2x2R2R2x2R2x2y

，z R2x2ydS1z2zR2x2y R2x2yR2x2yR

R2x2y2x2y2x 2

R3cossind

5．5 2 S**4．vaibjck，其中a，b，c為常數(shù)，S為單位閉球面．試證vds0．證：利用第一型與第二型曲面積分的聯(lián)系及S的方程x2y2z21，S的單位為S x2y2x2y2zx2y2z

x,y,zx2x2y2z 可 vdsa,b,cn0dsaxbyczds 由于axx為奇函數(shù)，且Syz坐標(biāo)面對稱，故axds0s bydsczds0．從而 vds0 ***5．計算下列閉曲面上的曲面積分（之邊界曲面的外側(cè)ezx2yx2dxdy，其中(x,ezx2yx2x2 1x2x2x2y

dxdy

x2y

dxdy0d0de12 dxdy

dxdy

1d

de2x2x2yx2y

0

x2y

dxdy2 z2dxdySz2x2y21（z1）Sx2y22ax部分，積分沿S 2

2a

1

da2

3a4xx2yxx2y2z

2

n0

x2y2x2y2zx2y2zzxzx2y2zySy

dS1x21x21x21x2y

，zy 1x2y12x22y1x2y12x22y1x2y x2y212x12x22y1x2y12x2212x22y

1x2y2dxdya23a4 ***7．計算下列閉曲面上的曲面積分（之邊界曲面xzdydzx3y3dzdxx3y3dxdy

的外側(cè)(x,y,z)|x2y2 x y 0z解：在曲面x0,y0,z0z1部分的S

0 1y11y1y

dydz dy

在曲面x0,z0z1部分的S上x3z3dzdx0S 23

dzdx

dzdx

Dxz

1x2dzdx 在曲面x0,y0x2y21部分的S上x3y3dxdy0Sx3y3dxdyx3y3dxdyx3y3dxdy0 原式5

14（5（79次教學(xué)內(nèi)容：§14.4奧-*（1．向量場fsin(xy)ieyzj+zxk的散度f sinxycosxyeyz

zeyz，zx divfcosxyzeyzx**（2．設(shè)A4xy,3yz,2zx,Bx,y,z,則div(AB)= ={3yz2－2xyz,2x2z－4xyz,4xy2－3xyz}.**（3． 答：f11+2yf12+(x2+y2)f 及平面z1圍成，而 的邊界曲面，積分沿的外側(cè)解：由奧高公式，原式y(tǒng)2z2z2x21dz2d12z22d7

x2y2**3．計算(x3zxz3dydzy3zdxdzz4dxdy，其中∑是球體Ω：x2+y2+z2≤2z**4．計算(yz)dxdy(xz)dydz，其中∑是平面x+z=1曲面 及坐標(biāo)**5．計算其中∑是由x2+y2+z2≥a2,x2z及y 所確定 Ω的表x2zS***6．計算曲面積分：(x3ey)dydzz(x2ysinz)dzdxx2y2z2dxdy，其中Sz1x2y2z0的部分，積分沿Sx22 x22 1SS

3x2zx22zx2V1dz2d1z32cos23z2cos2d3V 2x

dxdy `37 ***7．計算x2dydzy2dzdxz2dxdy，其中x2y2z22zx2x2

∑：z=1,x2+y2≤1，2(xyz)dv2zd 2zd dxdy2z(2zz2)dz

11 6 2 6xy2z 11()17 S

rdSS4rS上點(xy|rxdydzydzdxxdydzydzdxSx2y2zxdydzydzdxzdxdy13dV344364 4 41x2***9．求流速為vx2iy2j+z2k的不可壓縮流體（流體密度(x,y,z)常數(shù)）在單位時間內(nèi)，流經(jīng)上半1x2

zS解 S

fdsS1x2y2

1 fds2x2y2zdV

S

121

d

2 02x2y2 fds

0dxdy0x2y2

fds 6（教學(xué)內(nèi)容：§14.5公*（1）設(shè)rx,y,z，r=|r|,則下列表達(dá)式中有意義的 （A）rot(gradr) （B）grad(rot（C）div(divr)； *（2）向量場f(xyz)(xiyjzk）的旋度 ijkijkx2xyxyy2xzyzz

zy,xz,y, (A)F,G都是無旋場 (B)F是無旋場，G是無源場(C)F是無源場，G是無旋場． **（4）設(shè)函數(shù)f(u,v,w)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則rot[gradf(x,xy,xyz)] 答：0**2I

yz2)dxxz3)dyxy5)dz解 Pyz2，Qxz3，Rxy5PzQ RyP QxR PQ,R都是C1類函數(shù) I

22dx

3dy

5dz3 **3fex[cos(yz)isinyz)jsin(yz)k

PQR、、

Q、

Pexsin(yz)Q，Rexsin(yz)P，Qexcos(yz)R **4．驗證向量場A4x32xyzy2zx2z2xyzx2yxy24z3u(xyz，使（１）u(0,0,0)1（２）duA

PQR、、

Q、

ijkijk4x32xyzy2x2zx2yxy24zA為無u(x,y, u(0,0,0) (x,y,z)4x32xyzy2z,x2z2xyz,x2yxy24z

0 1 x4x3dx y