問題的提出?設(shè)向量值函數(shù)F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j在平面區(qū)域D

上連續(xù)，A

和B

是D

中兩點?對于從A

到B

的有向曲線Γ，第二類曲線積分∫Pdx

+Qdy

通常與積分路徑Γ有關(guān)。Γ問題：?對哪些向量值函數(shù)F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j？第二類曲線積分與路徑無關(guān)，只與路徑的起點和終點有關(guān)，即，任意的兩條從A

到B

的有向曲線Γ1

和Γ2，有∫

∫Pdx

+

Qdy=

Pdx

+

QdyΓ1

Γ22

/

23問題的提出實例?設(shè)原點處一電量為q

的電荷，產(chǎn)生靜電場.?由Coulomb

定律，該靜電場在點(x,y,z)的電場強度為E

=

q

r

,4πε

∥r∥3√其中

r

=

(x,

y,

z)

且

∥r∥

=

x2

+

y2

+

z2

.?另一單位電荷在電場中從A點移動到B點，電場力所做的功與路徑無關(guān)。3

/

23與路徑無關(guān)的第二類曲線積分定理設(shè)D

是平面區(qū)域（未必單連通），函數(shù)P(x,y)和Q(x,y)在D

上有定義。4

/

23則第二類曲線積分∫Pdx

+Qdy

與路徑Γ無關(guān)的充要條件是Γ存在D

上的函數(shù)u(x,y)使得?u

=(P,Q),或等價地du

=Pdx

+Qdy.5

/

23保守場與勢函數(shù)?保守場：設(shè)F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j是平面區(qū)域D上的向量值函數(shù)，若存在D

上的函數(shù)u，使得F

=?u，則稱F(x,y)是區(qū)域D

上的保守場。?勢函數(shù)函數(shù)u(x,y)稱為保守場F(x,y)的一個勢函數(shù)。6

/

23術(shù)語：數(shù)學(xué)中的場?數(shù)量場：數(shù)值函數(shù)?向量場：

向量值函數(shù)7

/

23保守場與勢函數(shù)?保守場F(x,y)的勢函數(shù)不唯一，不同的勢函數(shù)之間相差一常數(shù)。?設(shè)u(x,y)是保守場F(x,y)=P(x,y)i

+Q(x,y)j的勢函數(shù)。給定區(qū)域D

中的兩點A(a1,a2)和B(b1,b2)，對于D

中任意∫從A

到B

的曲線ΓAPdx

+

Qdy=

u|B

:=

u(B

)

?

u(A).Γ（第二類曲線積分的Newton-Leibniz

公式）?勢函數(shù)u(x,y)可以理解為保守場F(x,y)對應(yīng)于第二類曲線積分的原函數(shù)。8

/

23保守場與勢函數(shù)?因為保守場F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j

的第二類曲線積分與路徑無關(guān)。因此，對于D

中從A

到B

的曲線Γ，也可將第二類曲線積分寫為∫

BA∫Pdx

+

Qdy

:=

Pdx

+

Qdy.Γ保守場例設(shè)函數(shù)f

(t)連續(xù)，判斷向量場F(x,

y)

=

f

(x

+

y)(i

+

j)是否為保守場。利用定義判斷向量場是否為保守場需找到它的勢函數(shù)u，這通常比較

，因此有必要尋找更為直接的保守場判別法。9

/

23單連通域上保守場的判別定理10

/

23f設(shè)D是平面上的一個單連通開區(qū)域，函數(shù)P(x,y),Q(x,y)在D上連續(xù)且有連續(xù)的一階偏導(dǎo)函數(shù).則下列四個命題等價：(1)

對于D

中的任意閉曲線Γ，P

dx

+Qdy

=0.?！业诙惽€積分

Pdx

+

Qdy

與

D

內(nèi)的積分路徑Γ無關(guān)，Γ只與Γ的起點和終點有關(guān)。存在D

上的函數(shù)u(x,y)，使得?u

=(P,Q)，或等價地，du

=

Pdx

+

Qdy.?y

?x(4)

在D

內(nèi)，有?P

=?Q

.單連通域上保守場的判別例11

/

23設(shè)曲線積分∫xy2

dx

+yφ(x)dy

與路徑無關(guān)，Γ其中φ(x)有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)且φ(0)=0。計算∫

(1,1)xy2

dx

+

yφ(x)dy.(0,0)利用保守場簡化曲線積分的計算例設(shè)Γ為參數(shù)曲線x

=

a(t?

sin

t),

y

=

a(1

?

cos

t),

0

?

t

?

2π.曲線方向為參數(shù)增加的方向。計算第二類曲線積分∫(cos(x

+

y2

)d

x

+2y

cos(x

+

y2)

?

√11

+

y412

/

23)dy.Γ因為保守場的第二類曲線積分與路徑無關(guān)，計算保守場的第二類曲線積分時可重新選取適當(dāng)?shù)姆e分路徑。利用保守場簡化曲線積分的計算例2設(shè)Γ為曲線y

=cos

x

從A(?π,0)到B(π,0)的一段，求13

/

23∫Γ?ydx

+

xdy

x2

+

4y2.計算保守場的第二類曲線積分時可更換積分路徑，但需注意：新的積分路徑和原積分路徑所圍的區(qū)域上不能有向量場的奇點。14

/

23勢函數(shù)的求法I：取特殊的積分路徑?若F(x,y)=P(x,y)i

+Q(x,y)j

為區(qū)域D

上的保守場。?取定D

內(nèi)一點(a,b)，則函數(shù)（變上限的曲線積分）∫

(x,y)u(x,

y)

:=

P(ξ,

η)dξ

+

Q(ξ,

η)dη,

(x,

y)

∈

D,(a,b)是保守場F(x,y)的一個勢函數(shù)。?其中(x,y)是D

內(nèi)的動點，積分路徑為D

中任意從(a,b)到(x,y)的曲線。?保守場F(x,y)的任意勢函數(shù)為u(x,y)+C，C

為常數(shù)。?勢函數(shù)可通過取特殊的積分路徑做第二類曲線積分求出。勢函數(shù)的求法I：取特殊的積分路徑例判斷向量場(ey

+x)i

+(xey

?2y)j是否為保守場。若為保守場，求出其勢函數(shù)。寫勢函數(shù)時， 記

+C.15

/

2316

/

23勢函數(shù)的求法II：湊微分?函數(shù)u(x,y)是保守場P(x,y)i

+Q(x,y)j

當(dāng)且僅當(dāng)du

=

Pdx

+

Qdy.?利用微分的基本公式和性質(zhì)將Pdx

+Qdy

湊成全微分du，則保守場P(x,y)i

+Q(x,y)j

的勢函數(shù)為u(x,y)+C.?常用的湊微分d(xy)

=

ydx

+

xdy.d(

x

)yydx

?

xdy

y2=.勢函數(shù)的求法II：湊微分例?求保守場(ey

+x)i+(xey

?2y)j

的勢函數(shù)。?求保守場(x2

+x3

+y)i

+(1+x)j

的勢函數(shù)。例設(shè)D

是xOy

平面上除y

的負半軸和原點外的開區(qū)域，驗證xdx

+

ydyx2

+

y2是某個函數(shù)u(x,y)的全微分，并求出其原函數(shù)。17

/

23勢函數(shù)的求法II：湊微分例設(shè)f

(x)在(?∞,∞)有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，Γ是從A

(3,2

)到B(1,2)的直線段。3計算曲線積分∫Γy1

+

y2f

(xy)

dx

+18

/

23x

(y2)y2

f

(xy)

?

1

dy.勢函數(shù)的求法III：偏積分?函數(shù)u(x,y)是保守場P(x,y)i+Q(x,y)j的勢函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)?u

=(P,Q)，即，?u

?u?x

=

P,

?y

=

Q.19

/

23?令∫u(x,

y)

=

P(x,

y)dx+

φ(y).其中φ(y)為y

的函數(shù)（待定），與x

無關(guān)。?x?此時，u

滿足?u

=P。勢函數(shù)的求法III：偏積分?y?由?u

=Q，可得Q(x,

y)

==?u

?

∫?y

?yP(x,

y)dx

+

φ′

(y).由此可解出?

∫?y20

/

23∫

()φ(y)

=Q(x,

y)

?P(x,

y)dx

dy

+

C.勢函數(shù)的求法III：偏積分?保守場P(x,y)i+Q(x,y)j

的勢函數(shù)為∫u

=

P(x,

y)dx

+

φ(y).其中，∫

(?

∫?y21

/

23)φ(y)

=Q(x,