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§1.3整除的概念一、帶余除法二、綜合除法三、整除對(duì)一定存在使成立，其中或一、帶余除法定理并且這樣的是唯一決定的．稱為除的商，為除的余式．①若則令結(jié)論成立．②若設(shè)的次數(shù)分別為Proof：當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立．顯然取即有下面討論的情形，假設(shè)對(duì)次數(shù)小于n的，結(jié)論已成立．先證存在性．對(duì)作數(shù)學(xué)歸納法．次數(shù)為０時(shí)結(jié)論顯然成立．設(shè)的首項(xiàng)為的首項(xiàng)為則

與首項(xiàng)相同，因而，多項(xiàng)式

的次數(shù)小于n或f1為0．若

令

即可．

若

由歸納假設(shè)，存在

使得

現(xiàn)在來看次數(shù)為n的情形．其中

或者

于是即有使成立．的存在性得證．由歸納法原理，對(duì)再證唯一性．若同時(shí)有其中其中和則

即但

矛盾．

所以從而

唯一性得證．＋)

二、綜合除法的商式

和余式可按下列計(jì)算格式求得：這里，若

則

除去除①求一次多項(xiàng)式的商式及余式．②把表成的方冪和，即表成的形式．Remark：綜合除法用于例1．求除的商式和余式解:由＋)

１－１－１０１有１4１解:∵

1０００００例２.把表成的方冪和．１１１１１１１１１１１１=１232345=１１１136１3614１41110=5=10=三、整除1．定義設(shè)若存在使則稱整除

記作①時(shí)，稱為的因式，為的倍式．②不能整除時(shí)記作：２．說明③允許，此時(shí)有即區(qū)別：零多項(xiàng)式整除零多項(xiàng)式，有意義．除數(shù)為零，無意義．④當(dāng)時(shí)，如果則除所得的商可表成定理1

３．整除的判定４．整除的性質(zhì)1)對(duì)

有

對(duì)

有

即，任一多項(xiàng)式整除它自身；零多項(xiàng)式能被任一多項(xiàng)式整除；零次多項(xiàng)式整除任一多項(xiàng)式．時(shí)，與有相同的因式和倍式．2)

若，則3)

若則

證：

若

則

使得

使得

若

則

皆為非空常數(shù)．4)若

（整除關(guān)系的傳遞性）成立．

故有

5)若

則對(duì)

有

注：反之不然．如

但

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