線性連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型離散化(1/5)3.4線性連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型離散化離散系統(tǒng)工作狀態(tài)能夠分為以下兩種情況。整個(gè)系統(tǒng)工作于單一離散狀態(tài)。對(duì)于這種系統(tǒng),其狀態(tài)變量、輸入變量和輸出變量全部是離散量,如現(xiàn)在全數(shù)字化設(shè)備、計(jì)算機(jī)集成制造系統(tǒng)等。系統(tǒng)工作在連續(xù)和離散兩種狀態(tài)混合狀態(tài)。對(duì)于這種系統(tǒng),其狀態(tài)變量、輸入變量和輸出變量現(xiàn)有連續(xù)時(shí)間型模擬量,又有離散時(shí)間型離散量，如連續(xù)被控對(duì)象采樣控制系統(tǒng)就屬于這種情況。第1頁線性連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型離散化(2/5)對(duì)于第2種情況系統(tǒng),其狀態(tài)方程現(xiàn)有一階微分方程組又有一階差分方程組。為了能對(duì)這種系統(tǒng)利用離散系統(tǒng)分析方法和設(shè)計(jì)方法,要求整個(gè)系統(tǒng)統(tǒng)一用離散狀態(tài)方程來描述。由此,提出了連續(xù)系統(tǒng)離散化問題。在計(jì)算機(jī)仿真、計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)中利用數(shù)字計(jì)算機(jī)分析求解連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程,或者進(jìn)行計(jì)算機(jī)控制時(shí),都會(huì)碰到離散化問題。第2頁線性連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型離散化(3/5)圖3-3所表示為連續(xù)系統(tǒng)化為離散系統(tǒng)系統(tǒng)框圖。圖3-3連續(xù)系統(tǒng)離散化實(shí)現(xiàn)第3頁線性連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型離散化(4/5)線性連續(xù)系統(tǒng)時(shí)間離散化問題數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì),就是在一定采樣方式和保持方式下,由系統(tǒng)連續(xù)狀態(tài)空間模型來導(dǎo)出等價(jià)離散狀態(tài)空間模型,并建立起二者各系數(shù)矩陣之間關(guān)系式。為使連續(xù)系統(tǒng)離散化過程是一個(gè)等價(jià)變換過程,必須滿足以下條件和假設(shè)。在離散化之后,系統(tǒng)在各采樣時(shí)刻狀態(tài)變量、輸入變量和輸出變量值保持不變。保持器為零階,即加到系統(tǒng)輸入端輸入信號(hào)u(t)在采樣周期內(nèi)不變,且等于前一采樣時(shí)刻瞬時(shí)值,故有u(t)=u(kT)kT≤t<(k+1)T

第4頁線性連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型離散化(5/5)采樣周期T選擇滿足申農(nóng)(Shannon)采樣定理,即采樣頻率2/T大于2倍連續(xù)信號(hào)x(k)上限頻率。滿足上述條件和假設(shè),即可推導(dǎo)出連續(xù)系統(tǒng)離散化狀態(tài)空間模型。下面分別針對(duì)線性定常連續(xù)系統(tǒng)和線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)討論離散化問題。第5頁線性定常連續(xù)系統(tǒng)離散化(1/3)3.4.1線性定常連續(xù)系統(tǒng)離散化本節(jié)主要研究線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型離散化,即研究怎樣基于采樣將線性定常連續(xù)系統(tǒng)進(jìn)行離散化,建立對(duì)應(yīng)線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)空間模型。主要討論問題為兩種離散化方法:準(zhǔn)確法和近似法第6頁線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型離散化,實(shí)際上是指在采樣周期T下,將狀態(tài)空間模型線性定常連續(xù)系統(tǒng)離散化(2/3)變換成離散系統(tǒng)以下狀態(tài)空間模型:因?yàn)殡x散化主要是對(duì)描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特征狀態(tài)方程而言,輸出方程為靜態(tài)代數(shù)方程,其離散化后應(yīng)保持不變,即C(T)=C

D(T)=D離散化主要針對(duì)連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程(A,B)怎樣經(jīng)過采樣周期T,變換成離散系統(tǒng)狀態(tài)方程(G,H)。第7頁在上述條件和假設(shè)下,即可推導(dǎo)出連續(xù)系統(tǒng)離散化狀態(tài)空間模型。下面介紹兩種離散化方法:準(zhǔn)確法、近似法。線性定常連續(xù)系統(tǒng)離散化(3/3)主要推薦?第8頁準(zhǔn)確離散化方法(1/4)現(xiàn)在只考慮在采樣時(shí)刻t=kT和t=(k+1)T時(shí)刻之間狀態(tài)響應(yīng),即對(duì)于上式,取t0=kT,t=(k+1)T,于是1.準(zhǔn)確離散化方法所謂線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程準(zhǔn)確離散化方法,就是利用狀態(tài)方程求解公式以確保狀態(tài)在采樣時(shí)刻連續(xù)狀態(tài)方程和離散化狀態(tài)方程有相同解來進(jìn)行離散化。連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程求解公式以下:第9頁準(zhǔn)確離散化方法(2/4)考慮到u(t)在采樣周期內(nèi)保持不變假定,所以有將上式與線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)方程x((k+1)T)=(I+AT)x(kT)+BTu(kT)比較,可知兩式對(duì)任意x(kT)和u(kT)成立條件為G(T)=(T)=eAT對(duì)上式作變量代換,令t=(k+1)T-,則上式可記為上兩式即為準(zhǔn)確離散化法計(jì)算式。第10頁準(zhǔn)確離散化方法(3/4)—例3-11解首先求出連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣:例3-11

試用準(zhǔn)確離散化方法寫出以下連續(xù)系統(tǒng)離散化系統(tǒng)狀態(tài)方程:第11頁準(zhǔn)確離散化方法(4/4)—例3-11依據(jù)準(zhǔn)確法計(jì)算式有于是該連續(xù)系統(tǒng)離散化狀態(tài)方程為第12頁近似離散化方法(1/6)2.近似離散化方法所謂線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程近似離散化方法是指在采樣周期較小,且對(duì)離散化精度要求不高情況下,用狀態(tài)變量差商代替微商來求得近似差分方程。即,因?yàn)閤’(kT)=LimT0[x((k+1)T)-x(kT)]/T故當(dāng)采樣周期較小時(shí),有x’(kT)[x((k+1)T)-x(kT)]/T第13頁近似離散化方法(2/6)將上式代入連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程,有[x((k+1)T)-x(kT)]/T=Ax(kT)+Bx(kT)即x((k+1)T)=(I+AT)x(kT)+BTu(kT)將上式與線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)空間模型狀態(tài)方程比較,則可得以下近似離散化計(jì)算公式:G(T)=I+ATH(T)=BT將上述近似離散法和準(zhǔn)確離散法比較知,因?yàn)镮+AT和BT分別是eAT和eAtdtBTaylor展開式中一次近似,所以近似離散化方法其實(shí)是取準(zhǔn)確離散化方法對(duì)應(yīng)計(jì)算式一次Taylor近似展開式。第14頁近似離散化方法(3/6)—例3-12由上述推導(dǎo)過程可知,普通說來,采樣周期T越小,則離散化精度越高。但考慮到實(shí)際計(jì)算時(shí)舍入誤差等原因,采樣周期T不宜太小。例3-12

試用近似離散化方法寫出以下連續(xù)系統(tǒng)離散化系統(tǒng)狀態(tài)方程:第15頁解

由近似離散化法計(jì)算公式,對(duì)本例有近似離散化方法(4/6)—例3-12于是該連續(xù)系統(tǒng)離散化狀態(tài)方程為第16頁近似離散化方法(5/6)—例3-12近似法