二維形式的柯西不等式巴楚二中高三備課組楊潔1.認(rèn)識(shí)二維形式的柯西不等式．2.理解二維形式的柯西不等式的幾何意義．3.會(huì)用二維形式的柯西不等式證明一些簡(jiǎn)單問題，求一些特定函數(shù)的最值.1.二維柯西不等式的應(yīng)用．(重點(diǎn))2.常與不等式的性質(zhì)、最值問題等綜合考查．(難點(diǎn))3.等式中“＝”號(hào)成立的條件．(易錯(cuò)點(diǎn))4.牢記二維柯西不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、注意其變形．(易混點(diǎn))

目標(biāo)若a,b,c,d都是實(shí)數(shù),則(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc時(shí),等號(hào)成立.定理1（二維形式的柯西不等式）:你能證明嗎？變形

向量形式：定理2:（柯西不等式的向量形式）定理３（二維形式的三角不等式）代數(shù)法：先平方，用綜合法證明.xyP1(x1,y1)P2(x2,y2)0xyP1(x1,y1)P2(x2,y2)0根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式以及三角形的邊長(zhǎng)關(guān)系:觀察1．二維形式的柯西不等式可用________表示．(

)A．a(chǎn)2＋b2≥2ab(a，b∈R)B．(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ab＋cd)2(a，b，c，d∈R)C．(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(a，b，c，d∈R)D．(a2＋b2)(c2＋d2)≤(ac＋bd)2(a，b，c，d∈R)答案：

C

典例剖析：知識(shí)點(diǎn)一利用柯西不等式證明不等式變式訓(xùn)練：知識(shí)點(diǎn)二利用柯西不等式求函數(shù)的最值

【反思感悟】解題的關(guān)鍵是對(duì)函數(shù)解析式進(jìn)行變形，使形式上適合應(yīng)用柯西不等式，還要注意求出使函數(shù)取得最值時(shí)的自變量的值.4．設(shè)x，y∈R，且2x＋3y＝13，則x2＋y2的最小值為______.【解析】根據(jù)二維形式的柯西不等式可得：(2x＋3y)2≤(22＋32)(x2＋y2)，又因?yàn)?x＋3y＝13，所以x2＋y2≥13.答案：13變式訓(xùn)練：5.設(shè)a=(-2,2),｜b｜=6，則a·b的最小值是________，此時(shí)b=______.【解析】因?yàn)椋黙·b｜≤｜a｜·｜b｜,所以當(dāng)且僅當(dāng)存在實(shí)數(shù)k,使a=kb時(shí)等號(hào)成立，所以所以a·b的最小值為此時(shí)答案：二維形式的柯西不等式(ac＋bd)2

ad＝bc

|α|·|β|β＝0存在實(shí)數(shù)k，使α＝kβ

P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，O(0,0)三點(diǎn)共線，且P1，P2在原點(diǎn)兩旁課堂小結(jié)變形補(bǔ)充例題:變式引申:補(bǔ)充練習(xí)AB3練習(xí)：作業(yè)：3.若2x

+3y

=1,求4x

2

+9y2的最小值,并求