《復(fù)變函數(shù)》課程實(shí)施大綱目錄1．教學(xué)理念12．課程介紹23．教師簡介24．先修課程35．課程目標(biāo)36．課程內(nèi)容37.課程實(shí)施48．課程要求759．課程考核7510．學(xué)術(shù)誠信7511．課堂規(guī)范7612．課程資源7613．教學(xué)合約7614．其他說明76PAGE21．教學(xué)理念大學(xué)教育圍繞一個(gè)“育人目標(biāo)”核心，著眼于人的全面發(fā)展需要，重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力、實(shí)踐能力和創(chuàng)新能力，即以“學(xué)生為中心、教師為主體”的教與學(xué)的關(guān)系。在具體的教學(xué)中，以課為教學(xué)活動(dòng)單位，將學(xué)生能力鍛煉作為核心，遵循理論聯(lián)系實(shí)際、學(xué)以致用和因材施教的原則，使學(xué)生在循序漸進(jìn)的教學(xué)過程中獲得系統(tǒng)、全面的掌握該課程的內(nèi)容。學(xué)好一門專業(yè)課，尤其是對于學(xué)生數(shù)學(xué)能力培養(yǎng)起著重要的課程，首先應(yīng)該在教師的引導(dǎo)下對這門課程有一個(gè)大致的了解。接下來教師應(yīng)全力的投入到教學(xué)中去，通過多種渠道創(chuàng)造條件讓學(xué)生理解為什么要學(xué)，學(xué)了有什么用。為了達(dá)到教學(xué)目的，除了讓學(xué)生掌握基本知識和基本理論以外，更重要的還需要把相關(guān)的重要研究成果融入課程體系中，并結(jié)合典型案例，形成科學(xué)的、系統(tǒng)的內(nèi)容框架。在學(xué)時(shí)允許的條件下，通過介紹與本課程相關(guān)的最新研究成果以及研究成果的應(yīng)用實(shí)例，進(jìn)一步拓展視野，充實(shí)學(xué)習(xí)內(nèi)容，深化課程認(rèn)識，為今后學(xué)習(xí)與工作打下扎實(shí)的基礎(chǔ)。復(fù)變函數(shù)這門課，是數(shù)學(xué)類專業(yè)的專業(yè)基礎(chǔ)課程，與許多課程有著密切聯(lián)系，例如，數(shù)學(xué)物理方程，泛函分析，計(jì)算方法等課程必備的基礎(chǔ)。課程的實(shí)施主要采用講授法、引導(dǎo)法、提問法、舉例法等多種教學(xué)方法，把教師自身的研究以及當(dāng)前該學(xué)科研究的熱點(diǎn)融入到教學(xué)過程中，盡量使死板的知識變的更生動(dòng)，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，使學(xué)生通過積極的思考，主動(dòng)獲取知識，確保學(xué)生學(xué)有所獲。在上課形式上，運(yùn)用多媒體與傳統(tǒng)板書相結(jié)合，既要保證重要理論、例題的黑板推到又要充分展現(xiàn)現(xiàn)代化的教學(xué)手段，在保證教學(xué)質(zhì)量的同時(shí)也要保證教學(xué)手段多樣化，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。在整個(gè)教學(xué)過程中，將秉承以下的教學(xué)風(fēng)格：（1）公平對待每一位學(xué)生。將對學(xué)生持民主與尊重的態(tài)度，對于不同特點(diǎn)的學(xué)生做到一視同仁，平等對待。（2）積極引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)。教學(xué)過程中，將通過案例分析、聯(lián)系實(shí)踐、歸納總結(jié)等多種方式引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生深刻體會(huì)所學(xué)知識對生產(chǎn)的指導(dǎo)作用。（3）多設(shè)置問題、多提問、充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，真正讓學(xué)生成為課堂的主人，最終讓苦澀難懂的數(shù)學(xué)課活躍起來，讓學(xué)生在快樂的學(xué)習(xí)中獲得知識，提升自我2認(rèn)同感。2．課程介紹2.1課程的性質(zhì)《復(fù)變函數(shù)》是數(shù)學(xué)專業(yè)的專業(yè)課、極其重要。2.2課程在學(xué)科專業(yè)結(jié)構(gòu)中的地位、作用《復(fù)變函數(shù)》是數(shù)學(xué)專業(yè)重要的專業(yè)課程，三大經(jīng)典基礎(chǔ)課程之一，與后續(xù)課程密切聯(lián)系，是培養(yǎng)分析學(xué)人才必不可少的課程。2.3課程的前沿及發(fā)展趨勢2.4學(xué)習(xí)本課程的必要性作為數(shù)學(xué)專業(yè)重要的專業(yè)課之一，數(shù)學(xué)科學(xué)的邏輯性和歷史繼承性決定了《復(fù)變函數(shù)》在數(shù)學(xué)科學(xué)中舉足輕重的地位，數(shù)學(xué)的許多新思想，新應(yīng)用都源于這堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。復(fù)變函數(shù)出于對微積分在理論體系上的嚴(yán)格化和精確化，從而確立了在整個(gè)自然科學(xué)中的基礎(chǔ)地位，并運(yùn)用于自然科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域。同時(shí)，數(shù)學(xué)研究的主體是經(jīng)過抽象后的對象，數(shù)學(xué)的思考方式有鮮明的特色，包括抽象化，邏輯推理，最優(yōu)分析，符號運(yùn)算等。這些知識和能力的培養(yǎng)需要通過系統(tǒng)、扎實(shí)而嚴(yán)格的基礎(chǔ)教育來實(shí)現(xiàn)，《復(fù)變函數(shù)》課程正是其中最重要的一個(gè)環(huán)節(jié)。3．教師簡介基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研究興趣：函數(shù)空間，函數(shù)空間上的算子與算子代數(shù)；應(yīng)用數(shù)學(xué)研究興趣：生物數(shù)學(xué)捕食模型，生物的基因轉(zhuǎn)錄.34．預(yù)修課程（先修課程）數(shù)學(xué)分析5．課程目標(biāo)5.1知識與技能方面本課程需要掌握的知識包括解析函數(shù)理論、解析函數(shù)的級數(shù)理論、復(fù)變函數(shù)的積分理論。5.2過程與方法方面在教學(xué)過程中，要做到講解內(nèi)容重點(diǎn)突出、詳略得當(dāng)，內(nèi)容準(zhǔn)確、表達(dá)清楚。在教學(xué)方法方面，盡量多提問、多舉案例、采用多媒體與板書相結(jié)合的教學(xué)手段，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生參與課堂教學(xué)，力爭讓課堂教學(xué)充滿活躍起來。5.3情感、態(tài)度與價(jià)值觀方面在教學(xué)過程中，多與學(xué)生交流，了解學(xué)生對本學(xué)科的態(tài)度、看法、學(xué)習(xí)興趣。引導(dǎo)學(xué)生端正學(xué)習(xí)態(tài)度，關(guān)注大學(xué)生對知識批判性的接受，提高思考問題、分析問題、解決問題的能力。6．課程內(nèi)容（教學(xué)大綱）6.1課程的內(nèi)容概要《數(shù)學(xué)分析》中的知識包括數(shù)列極限理論、函數(shù)極限理論、函數(shù)微積分理論。各部分內(nèi)容概要如下：第一章：實(shí)數(shù)集與函數(shù)。本章主要簡明扼要的介紹中學(xué)時(shí)代的函數(shù)與集合內(nèi)容。第二章：集合的上、下確界以及數(shù)列極限。本章是本課程的最基本內(nèi)容，首先是集合的上、下確界，然后是數(shù)列極限的定義、數(shù)列極限的性質(zhì)、數(shù)列存在極限的判斷以及簡單的求數(shù)學(xué)極限的方法。第三章：函數(shù)極限。本章是第二章的推廣與繼續(xù)，內(nèi)容是函數(shù)極限的定義、函數(shù)的左右極限、函數(shù)極限的性質(zhì)、函數(shù)極限的判斷。4第四章：函數(shù)的連續(xù)性。函數(shù)的連續(xù)是函數(shù)極限的一種特殊情況，在自然界中有很好的體現(xiàn)，例如河水不間斷的流淌。本章內(nèi)容是函數(shù)在某一點(diǎn)連續(xù)的定義、區(qū)間上連續(xù)的定義、函數(shù)不連續(xù)點(diǎn)的分類、連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)、連續(xù)函數(shù)的整體性質(zhì)、函數(shù)連續(xù)的Cauchy定理、初等函數(shù)的連續(xù)性。第五章：一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分。本章內(nèi)容是函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)的定義、左右導(dǎo)數(shù)的定義、區(qū)間上函數(shù)可導(dǎo)的定義、函數(shù)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，隱函數(shù)求導(dǎo)法則，掌握高階導(dǎo)數(shù)定義及運(yùn)算法則第六章：微分中值定理及應(yīng)用。本章內(nèi)容是微分中值定理、L’Hospital法則，泰勒公式及應(yīng)用，極值、函數(shù)凸性的定義、函數(shù)極值與最大(小)值求法，函數(shù)圖像的描繪。6.2教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)第一章：重點(diǎn)：函數(shù)的概念；難點(diǎn)：函數(shù)的復(fù)合。第二章：重點(diǎn)：數(shù)列極限的定義，數(shù)極限的性質(zhì)，數(shù)列極限的判定；難點(diǎn)：集合上、下確界的定義以及運(yùn)用，數(shù)列極限的判斷。第三章：重點(diǎn)：函數(shù)極限的定義、函數(shù)極限的性質(zhì)、函數(shù)極限的判斷；難點(diǎn)：函數(shù)極限性質(zhì)的運(yùn)用、函數(shù)極限的判斷。第四章：重點(diǎn)：函數(shù)連續(xù)的定義、連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用、函數(shù)連續(xù)的Cauchy定理；難點(diǎn)：有界閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)一致連續(xù)性的證明、連續(xù)性判定定理的運(yùn)用。第五章：重點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的定義、在一點(diǎn)可導(dǎo)的定義、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，隱函數(shù)求導(dǎo)法則，高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算；難點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，隱函數(shù)求導(dǎo)法則，高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算。第六章：重點(diǎn)：微分中值定理及應(yīng)用、L’Hospital法則，泰勒公式及應(yīng)用，極值、函數(shù)凸性的定義、函數(shù)極值與最大(小)值求法；難點(diǎn)：微分中值定理及應(yīng)用、L’Hospital法則，泰勒公式及應(yīng)用，求函數(shù)極值與最大(小)值。6.3學(xué)時(shí)安排第一章安排4學(xué)時(shí)，第二章14學(xué)時(shí)，第三章14學(xué)時(shí)，第四章12學(xué)時(shí)，第五章12學(xué)時(shí)，第六章20學(xué)時(shí)，總復(fù)習(xí)4學(xué)時(shí)。PAGE76377.課程實(shí)施第一講課時(shí)/課次:教學(xué)日期（學(xué)年/學(xué)期）復(fù)數(shù)的表示及運(yùn)算2/12015-16/2教學(xué)目標(biāo)一、熟悉復(fù)數(shù)基本代數(shù)運(yùn)算;二、了解復(fù)數(shù)的幾種表達(dá)形式及相關(guān)概念;三、了解復(fù)數(shù)的方冪及方根運(yùn)算.教學(xué)內(nèi)容知識點(diǎn)：一、復(fù)數(shù)代數(shù)運(yùn)算;二、非零復(fù)數(shù)模、輻角、輻角主值的概念;三、復(fù)數(shù)三角形式、指數(shù)形式及Euler公式;四、復(fù)數(shù)方冪及方根運(yùn)算.重點(diǎn):復(fù)數(shù)三角形式、指數(shù)形式.難點(diǎn):復(fù)數(shù)方冪及方根運(yùn)算.教學(xué)過程及教學(xué)方法§1.1復(fù)數(shù)及其代數(shù)運(yùn)算一、復(fù)數(shù)的概念1.虛數(shù)單位.對虛數(shù)單位的規(guī)定:(1)(2)與實(shí)數(shù)在一起時(shí),按同樣的法則進(jìn)行四則運(yùn)算。2.復(fù)數(shù):對于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，稱或?yàn)閺?fù)數(shù)。其中分別稱為的實(shí)部和虛部，記作當(dāng)時(shí)，稱為純虛數(shù)；當(dāng)時(shí)，把看作實(shí)數(shù).復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)的推廣.兩對于復(fù)數(shù)：復(fù)數(shù)等于零：說明:兩個(gè)都退化成實(shí)數(shù)（兩個(gè)復(fù)數(shù)的虛部同時(shí)為零）的復(fù)數(shù)可以比較大小；否則,就不能比較大小.二、復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算設(shè)兩個(gè)復(fù)數(shù)，則兩復(fù)數(shù)的和差:兩復(fù)數(shù)的積:共軛復(fù)數(shù):實(shí)部相同而虛部是相反數(shù)的兩個(gè)復(fù)數(shù)稱為共軛復(fù)數(shù)，即的共軛復(fù)數(shù)例1計(jì)算復(fù)數(shù)與其共軛復(fù)數(shù)的乘積解根據(jù)平方差公式,有結(jié)論：任何復(fù)數(shù)與其共軛的乘積是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù).共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì):(1)(2)(3)5.兩復(fù)數(shù)的商:例2復(fù)數(shù)的實(shí)部虛部共軛復(fù)數(shù)與其共軛復(fù)數(shù)的乘積：商：例3實(shí)數(shù)取何值時(shí)，復(fù)數(shù)是（1）實(shí)數(shù)；（2）純虛數(shù)？解令（1）復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，則復(fù)數(shù)的虛部由有或（2）復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則由有或但由知應(yīng)舍去，所以只有§1.2復(fù)數(shù)的幾何表示1.復(fù)平面的定義任意復(fù)數(shù)都與有序?qū)崝?shù)對一一對應(yīng)。因此，一個(gè)建立了直角坐標(biāo)系的平面可以用來表示復(fù)數(shù)，通常把坐標(biāo)系的橫軸稱為實(shí)軸或軸，縱軸稱為虛軸或軸。這種用來表示復(fù)數(shù)的平面稱為復(fù)平面。2.復(fù)數(shù)的模(或絕對值)復(fù)數(shù)可以用復(fù)平面上起點(diǎn)為原點(diǎn)，終點(diǎn)為表示該復(fù)數(shù)的點(diǎn)所對應(yīng)的向量來表示。這個(gè)向量的長度稱為復(fù)數(shù)的?；蚪^對值，記作對于復(fù)數(shù)的模，有3.復(fù)數(shù)的輻角在復(fù)數(shù)時(shí)，以正實(shí)軸為始邊，表示的向量為終邊的角的弧度數(shù)稱為復(fù)數(shù)的輻角，記作注意:任意復(fù)數(shù)有無窮多個(gè)輻角。若是復(fù)數(shù)的任一個(gè)輻角，則該復(fù)數(shù)的所有輻角其中是任意整數(shù)。時(shí)，輻角沒有定義。在應(yīng)用中，為了避免復(fù)數(shù)有無窮多個(gè)輻角所帶來的不方便，把的所有輻角中，滿足條件的一個(gè)輻角稱為它的輻角主值，記作復(fù)數(shù)輻角主值的確定：（1）坐標(biāo)軸上復(fù)數(shù)的情形；（2）坐標(biāo)象限里復(fù)數(shù)的情形：首先根據(jù)復(fù)數(shù)點(diǎn)所在象限確定輻角主值的范圍，然后通過求解直角三角形求出角.例44.復(fù)數(shù)和差的模的性質(zhì)表示兩個(gè)復(fù)數(shù)之間的距離，則有三角不等式5.復(fù)數(shù)的三角表示和指數(shù)表示利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系復(fù)數(shù)可以表示成三角形式：其中利用實(shí)際應(yīng)用中,一般取根據(jù)Euler公式復(fù)數(shù)可以表示成指數(shù)形式：例5求的三角形式和指數(shù)形式解故三角形式為指數(shù)形式為§1.3復(fù)數(shù)的乘冪與方根一、乘積與商定理一兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的模等于它們的模的乘積;兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的輻角等于它們的輻角的和.定理二兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的模等于它們的模的商;兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的輻角之差.例6已知求解由有二、冪與根1.n次冪:n個(gè)相同復(fù)數(shù)的乘積稱為的n冪，記作對正整數(shù)，有規(guī)定當(dāng)是負(fù)整數(shù)是時(shí)，上式也成立。2.n次方根:對于方程的根稱為的次方根，記作則有其中推導(dǎo)過程如下:由于設(shè)則記已知,且記則有等式兩端同時(shí)取模,有在正實(shí)數(shù)意義下,有在復(fù)數(shù)相等的意義下,有則有第二講課時(shí)/課次:教學(xué)日期（學(xué)年/學(xué)期）區(qū)域及復(fù)變函數(shù)2/22015-16/2教學(xué)目標(biāo)一、熟悉區(qū)域、簡單閉曲線等概念;二、了解復(fù)變函數(shù)的概念及特點(diǎn);三、了解復(fù)變函數(shù)極限的概念及運(yùn)算法則;四、掌握復(fù)變函數(shù)連續(xù)的概念及性質(zhì).教學(xué)內(nèi)容知識點(diǎn)：一、區(qū)域、簡單閉曲線等相關(guān)概念;二、復(fù)變函數(shù)的概念、性質(zhì);三、復(fù)變函數(shù)極限;四、復(fù)變函數(shù)連續(xù)性.重點(diǎn):區(qū)域、簡單閉曲線、復(fù)變函數(shù)、復(fù)變函數(shù)極限、復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性等概念.難點(diǎn):復(fù)變函數(shù)極限、連續(xù)的判別方法及運(yùn)算法則.教學(xué)過程及教學(xué)方法§1.4區(qū)域一、區(qū)域的概念1.鄰域:復(fù)平面上以復(fù)數(shù)點(diǎn)為中心，任意正實(shí)數(shù)為半徑的圓內(nèi)部所有點(diǎn)的集合,稱為的鄰域.說明包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)且滿足的所有點(diǎn)的集合，稱為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的鄰域.2.去心鄰域:滿足不等式所有點(diǎn)的集合,稱為的空心鄰域.說明不包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)且滿足的所有點(diǎn)的集合，稱為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的空心鄰域.也表示為.3.內(nèi)點(diǎn):如果點(diǎn)存在一個(gè)鄰域是平面點(diǎn)集的子集，則稱是的內(nèi)點(diǎn).4.開集:如果內(nèi)每一點(diǎn)都是它的內(nèi)點(diǎn)，則稱為開集.5.區(qū)域:如果平面點(diǎn)集滿足以下兩個(gè)條件：（1）是一個(gè)開集；（2）是連通的，即中任何兩點(diǎn)都可以用完全屬于的一條線連結(jié)起來，則稱為一個(gè)區(qū)域.圓域:圓環(huán)域:都是常用的區(qū)域.6.邊界點(diǎn)、邊界:設(shè)是復(fù)平面內(nèi)的一個(gè)區(qū)域,如果點(diǎn)不屬于，但在的任意小的鄰域內(nèi)總有中的點(diǎn)，這樣的點(diǎn)稱為的邊界點(diǎn).的所有邊界點(diǎn)組成的邊界.說明(1)區(qū)域的邊界可能是由幾條曲線和一些孤立的點(diǎn)所組成的；(2)區(qū)域與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域.7.有界區(qū)域和無界區(qū)域:如果一個(gè)區(qū)域可以被包含在一個(gè)以原點(diǎn)為中心的圓內(nèi)，即存在，使區(qū)域內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)都滿足,稱是有界的，否則稱為無界的.二、單連通域與多連通域1.連續(xù)曲線:如果和是兩個(gè)連續(xù)的實(shí)變函數(shù)，則稱方程組：表示的一條平面曲線為連續(xù)曲線.平面曲線可以有復(fù)數(shù)表示：2.光滑曲線:對于上述平面曲線，如果在上，和都是連續(xù)的，且對的每一個(gè)值，有則稱曲線為光滑的.由幾段依次相接的光滑曲線所組成的曲線稱為逐段（分段）光滑曲線.3.簡單曲線:設(shè)是一條連續(xù)曲線，與分別稱為的起點(diǎn)和終點(diǎn).對于滿足的有則稱為曲線的重點(diǎn).沒有重點(diǎn)的曲線稱為簡單曲線(或若爾當(dāng)曲線).如果簡單曲線的起點(diǎn)和終點(diǎn)重合，即則稱曲線為簡單閉曲線（自身不相交）.簡單閉曲線的性質(zhì):任意一條簡單閉曲線將復(fù)平面唯一地分成三個(gè)互不相交的點(diǎn)集.4.單連通域與多連通域的定義:復(fù)平面上的一個(gè)區(qū)域，如果在其中任作一條簡單閉曲線，而曲線的內(nèi)部總屬于，就稱為單連通域.一個(gè)區(qū)域如果不是單連通域，就稱為多連通域.§1.5復(fù)變函數(shù)1.復(fù)變函數(shù)的定義:設(shè)是復(fù)數(shù)的集合.如果有一個(gè)確定的法則使得對集合中的每一個(gè)復(fù)數(shù),都有一個(gè)或幾個(gè)復(fù)數(shù)與之對應(yīng),則稱復(fù)變數(shù)是的函數(shù),簡稱復(fù)變函數(shù)，記作2.復(fù)變函數(shù)的多值性:在復(fù)變函數(shù)中如果一個(gè)對應(yīng)著一個(gè)的值，則稱函數(shù)是單值的;如果一個(gè)對應(yīng)著兩個(gè)或兩個(gè)以上值，則稱函數(shù)是多值的.有多值的復(fù)變函數(shù)存在,如3.復(fù)變函數(shù)與實(shí)變函數(shù)之間的關(guān)系:任何復(fù)變函數(shù)總可以寫成因此一個(gè)復(fù)變函數(shù)對應(yīng)于兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù).4.反函數(shù)的定義:對于復(fù)變函數(shù)如果是已知，需要去確定的值,這樣就定義了一個(gè)新的函數(shù)稱為的反函數(shù).§1.6復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性一、函數(shù)的極限1.函數(shù)極限的定義設(shè)復(fù)變函數(shù)定義在的去心鄰域內(nèi),如果對任意給定的存在一確定數(shù)和一正數(shù)使得當(dāng)時(shí)，成立則稱為當(dāng)趨向于時(shí)的極限.記作需要注意的是：在復(fù)平面上,的方式是任意的！2.極限的相關(guān)定理定理一設(shè)則定理的作用在于把復(fù)變函數(shù)的極限問題轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)的極限.定理二若存在,則例9設(shè)則當(dāng)時(shí)，有證明由Euler公式,有根據(jù)定理一,有注意到是實(shí)數(shù)，則即是有界量.又當(dāng)時(shí),即當(dāng)時(shí),是無窮小量.則有所以當(dāng)時(shí),類似的,當(dāng)時(shí),例如二、函數(shù)的連續(xù)性1.連續(xù)的定義如果則稱函數(shù)在點(diǎn)連續(xù).如果在區(qū)域內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱在內(nèi)連續(xù).定理三函數(shù)在連續(xù)在連續(xù).所有初等函數(shù)在有定義的點(diǎn)都是連續(xù)的！定理四（1）在一點(diǎn)連續(xù)的兩個(gè)函數(shù)的和、差、積、商（分母在點(diǎn)不能為零）在點(diǎn)也連續(xù)。（2）如果函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，函數(shù)在連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)連續(xù).重要結(jié)論:有理整函數(shù)(多項(xiàng)式)在復(fù)平面內(nèi)所有點(diǎn)都連續(xù)；有理分式函數(shù),其中都是多項(xiàng)式，在復(fù)平面內(nèi)使分母不為零的點(diǎn)連續(xù).作業(yè)安排及課后反思:(1)歸納，總結(jié)重要概念和結(jié)論.(2)第一章習(xí)題:22,29,30.本課程使用教材：P17-29把對應(yīng)相同角的去掉，只保留不同的，有由此得到上述公式。例7對正整數(shù),化簡解注意到則有例8記方程的兩個(gè)根為求的值解由題意有注意到所以由此得則作業(yè)安排及課后反思:(1)歸納，總結(jié)重要概念，公式和方法.(2)第一章習(xí)題:2,6,8,14,15.本課程使用教材：P2-17第三講課時(shí)/課次:教學(xué)日期（學(xué)年/學(xué)期）解析函數(shù)2/32015-16/2教學(xué)目標(biāo)一、了解復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念及求導(dǎo)方法;二、掌握復(fù)變函數(shù)解析的概念以及確定奇點(diǎn)的方法;三、掌握復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)、解析的充要條件及條件的應(yīng)用.教學(xué)內(nèi)容知識點(diǎn)：一、復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念及求導(dǎo)方法;二、復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)、可微、連續(xù)的關(guān)系;三、復(fù)變函數(shù)解析,奇點(diǎn)的概念及確定奇點(diǎn)的方法;四、復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)、解析的充要條件及充要條件的應(yīng)用.重點(diǎn):復(fù)變函數(shù)奇點(diǎn)的概念及確定具體函數(shù)奇點(diǎn)的方法.難點(diǎn):復(fù)變函數(shù)與實(shí)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的差異及復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)、解析的充要條件.教學(xué)過程及教學(xué)方法§2.1解析函數(shù)的概念復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分1.導(dǎo)數(shù)的定義:設(shè)復(fù)變函數(shù)定義在區(qū)域內(nèi),是內(nèi)兩點(diǎn)，如果極限存在,則稱在可導(dǎo).這個(gè)極限值稱為在導(dǎo)數(shù).記作在定義中應(yīng)注意:的方式是任意的.即在區(qū)域內(nèi)以任意方式趨于時(shí)，比值都趨于同一個(gè)復(fù)數(shù)值.如果函數(shù)在區(qū)域內(nèi)處處可導(dǎo),則稱在區(qū)域內(nèi)可導(dǎo).例1求的導(dǎo)數(shù)解對任意的都有所以對任意的都可導(dǎo),且有例2問是否可導(dǎo)？解函數(shù)的實(shí)部虛部根據(jù)上一章的方法可知,實(shí)部和虛部對任意都連續(xù),則是復(fù)平面上的連續(xù)函數(shù),而且實(shí)部和虛部都是無窮次可微函數(shù),由他們所構(gòu)成的復(fù)變函數(shù)是否可導(dǎo)呢？根據(jù)復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義,有首先設(shè)沿著平行于軸的直線趨于則有再設(shè)沿著平行于軸的直線趨于則有由此表明，當(dāng)沿著不同方式趨于時(shí)，極限值不同.由此可知，極限不存在.所以函數(shù)在任意的導(dǎo)數(shù)不存在.2.可導(dǎo)與連續(xù):函數(shù)在處可導(dǎo)則連續(xù)；但連續(xù)不一定可導(dǎo).證根據(jù)可導(dǎo)定義知，有令則有這時(shí)所以即在連續(xù).3.求導(dǎo)法則:由于復(fù)變函數(shù)中導(dǎo)數(shù)的定義與一元實(shí)變函數(shù)中導(dǎo)數(shù)的定義在形式上完全一致,并且復(fù)變函數(shù)中的極限運(yùn)算法則也和實(shí)變函數(shù)中一樣,因而實(shí)變函數(shù)中的求導(dǎo)法則都可以不加更改地推廣到復(fù)變函數(shù)中來,且證明方法也是相同的.例3求導(dǎo)4.微分的概念:復(fù)變函數(shù)微分的概念在形式上與一元實(shí)變函數(shù)的微分概念完全一致.函數(shù)可導(dǎo)可微.解析函數(shù)的概念解析函數(shù)的定義:如果函數(shù)在以及的一個(gè)鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)，則稱在解析.如果函數(shù)在區(qū)域內(nèi)每一點(diǎn)都解析,則稱在區(qū)域內(nèi)解析，或稱是區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)（全純函數(shù)，正則函數(shù)).2.奇點(diǎn)的定義:函數(shù)不解析的點(diǎn)，統(tǒng)稱為的奇點(diǎn).根據(jù)定義可知:函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析區(qū)域內(nèi)可導(dǎo).但是，函數(shù)在一點(diǎn)處解析與在一點(diǎn)處可導(dǎo)是不等價(jià)的.而函數(shù)在一點(diǎn)處解析比在該點(diǎn)處可導(dǎo)的要求要高得多.例4研究函數(shù)解析性.解由本節(jié)例1和例3知:在復(fù)平面內(nèi)處處可導(dǎo)，也解析，而處處不可導(dǎo)，也不解析.下面從可導(dǎo)的定義開始來討論的解析性.(1)若則可導(dǎo).(2)若假設(shè)沿著直線趨于則由的任意性知，上式在時(shí)的極限不存在.因此,函數(shù)僅僅在可導(dǎo)，而在其他點(diǎn)都不可導(dǎo).根據(jù)復(fù)變函數(shù)解析的定義可知，這個(gè)函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處不解析.定理（1）在同一個(gè)點(diǎn)或區(qū)域內(nèi)解析的兩個(gè)函數(shù)的和、差、積、商（除去分母為零的點(diǎn)）在該區(qū)域內(nèi)解析；(20兩個(gè)解析函數(shù)的復(fù)合函數(shù)解析.根據(jù)定理可知:(1)多項(xiàng)式函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處解析；（2）有理分式函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)除了分母為零的點(diǎn)不解析以外，其余點(diǎn)都解析，分母為零的點(diǎn)：是有理分式函數(shù)的奇點(diǎn)；（3）一般分式函數(shù)的奇點(diǎn)由三部分構(gòu)成：①分子的奇點(diǎn)；②分母的奇點(diǎn)；③分母的零點(diǎn)：另外,函數(shù)在簡單閉曲線內(nèi)解析函數(shù)在內(nèi)沒有奇點(diǎn)函數(shù)的所有奇點(diǎn)在外.§2.2函數(shù)解析的充要條件一、主要定理由上一節(jié)例2可知，有些看起來可導(dǎo)的函數(shù)，嚴(yán)格應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的定義標(biāo)準(zhǔn)來驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)卻處處不可導(dǎo)，所以復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)或解析所需要的條件較多，要求很高.對于實(shí)部和虛部已經(jīng)分出來了，或者容易分出來的函數(shù)在判斷可導(dǎo)或解析時(shí)，有定理一定義在區(qū)域內(nèi)的函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)在點(diǎn)(1)函數(shù)可微；⑵滿足Cauchy-Riemann方程定理必要性和充分性的證明.在定理一的證明過程中可知，若函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo),則有導(dǎo)數(shù)公式：定理二定義在區(qū)域內(nèi)函數(shù)解析在區(qū)域內(nèi)⑴函數(shù)可微；⑵滿足Cauchy-Riemann方程.判定函數(shù)解析的方法:(1)如果直接用求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則在區(qū)域內(nèi)求出了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，則根據(jù)解析函數(shù)的定義可斷定在內(nèi)解析.對函數(shù),如果在內(nèi)的各一階偏導(dǎo)存在且連續(xù)，并滿足Cauchy-Riemann（C-R）方程，則根據(jù)函數(shù)解析的充要條件可斷定在內(nèi)解析.二、典型例題例5判定下列函數(shù)在何處可導(dǎo),在何處解析:(1)(2)(3)解(1)則有由此可知,偏導(dǎo)存在且連續(xù),在任意點(diǎn)可微,但是不滿足柯西－黎曼方程,故在復(fù)平面內(nèi)處處不可導(dǎo)，也處處不解析.(2)則有四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)均處處存在且連續(xù),故可微,而且也處處滿足C-R方程.則根據(jù)定理可知，函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處可導(dǎo)，處處解析.且由導(dǎo)數(shù)公式有(3),則四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)均處處存在且連續(xù),故可微.但是僅當(dāng)時(shí)，滿足C-R方程，故函數(shù)僅在處可導(dǎo)，在復(fù)平面內(nèi)處處不解析.例6如果在區(qū)域內(nèi)處處為零，則在區(qū)域內(nèi)為常數(shù).證由已知條件有因此是常數(shù)，則在區(qū)域內(nèi)是常數(shù).作業(yè)安排及課后反思(1)歸納，總結(jié)重要概念和結(jié)論.(2)第二章習(xí)題:3,4,6,10.本課程使用教材：P35-44第四講課時(shí)/課次:教學(xué)日期（學(xué)年/學(xué)期）初等函數(shù)2/42015-16/2教學(xué)目標(biāo)一、掌握幾個(gè)常見初等復(fù)變函數(shù)的定義及計(jì)算公式;二、掌握初等復(fù)變函數(shù)的主要性質(zhì);三、掌握Euler公式及其應(yīng)用.教學(xué)內(nèi)容知識點(diǎn)：一、復(fù)指數(shù)函數(shù)的定義及性質(zhì);二、復(fù)對數(shù)函數(shù)的定義公式、計(jì)算公式及解析性;三、復(fù)三角函數(shù)的定義、性質(zhì);四、Euler公式.重點(diǎn):初等復(fù)變函數(shù)的定義、計(jì)算及解析性質(zhì).難點(diǎn):復(fù)對數(shù)函數(shù)的解析性、復(fù)三角函數(shù)的計(jì)算.教學(xué)過程及教學(xué)方法§2.3初等函數(shù)一、指數(shù)函數(shù)1.指數(shù)函數(shù)的定義:性質(zhì)加法定理:周期性:是任意整數(shù).解析性：在復(fù)平面解析.二、對數(shù)函數(shù)定義指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，即已知，求稱為對數(shù)函數(shù)，記作:由于對任意則已知的有指數(shù)形式記未知的,則有對上式兩端取模，并注意到復(fù)指數(shù)函數(shù)的周期性,有注意到可記由此有按照表示函數(shù)值和自變量所用字母的習(xí)慣，有對數(shù)函數(shù)由此可知，是無窮多值函數(shù).一般可取對數(shù)主值為這時(shí)有例7求以及相應(yīng)主值。解主值:例8求解方程解由2.性質(zhì)⑴⑵⑶的各個(gè)分支在除去負(fù)實(shí)軸及原點(diǎn)的復(fù)平面內(nèi)解析，且有3.典型問題⑴函數(shù)的奇點(diǎn)？⑵函數(shù)在圓內(nèi)解析嗎？⑶函數(shù)在單位圓內(nèi)解析？三、三角函數(shù)和雙曲函數(shù)1.三角函數(shù)的定義由有把上述函數(shù)中的自變量推廣到復(fù)數(shù)，有2.性質(zhì)⑴根據(jù)定義，有所以，不再成立，除非取實(shí)值。⑵除了⑴與實(shí)值不同以外，復(fù)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)具有實(shí)值時(shí)完全相同的性質(zhì)，比如奇偶性：周期性：三角公式：求導(dǎo)公式：⑶正弦和余弦函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)解析.求的奇點(diǎn)？3.其他函數(shù)的類似定義⑴正切，余切函數(shù)：⑵雙曲正弦，余弦函數(shù)：作業(yè)安排及課后反思(1)歸納，總結(jié)重要概念和結(jié)論.(2)第二章習(xí)題:12,15,18.本課程使用教材：P45-51第五講課時(shí)/課次:教學(xué)日期（學(xué)年/學(xué)期）積分概念及基本定理2/52015-16/2教學(xué)目標(biāo)一、了解復(fù)變函數(shù)積分的概念;二、熟悉復(fù)變函數(shù)積分的性質(zhì);三、掌握Cauchy-Goursat基本定理.教學(xué)內(nèi)容知識點(diǎn)：一、復(fù)變函數(shù)積分概念及存在條件;二、復(fù)變函數(shù)積分的性質(zhì);三、直接計(jì)算復(fù)變函數(shù)積分的典型例題;四、Cauchy-Goursat基本定理.重點(diǎn):復(fù)變函數(shù)積分的性質(zhì)、Cauchy-Goursat基本定理.難點(diǎn):復(fù)變函數(shù)積分概念、Cauchy-Goursat基本定理.教學(xué)過程及教學(xué)方法§3.1復(fù)變函數(shù)積分的概念一、積分的定義1.有向曲線:設(shè)C為平面上給定的一條光滑(或按段光滑)曲線,如果選定C的兩個(gè)可能方向中的一個(gè)作為正方向(或正向),那么我們就把C理解為帶有方向的曲線,稱為有向曲線.如果A到B作為曲線C的正向,那么B到A就是曲線C的負(fù)向,記為關(guān)于曲線方向的說明:在今后的討論中,常把兩個(gè)端點(diǎn)中的一個(gè)作為起點(diǎn),另一個(gè)作為終點(diǎn),除特殊聲明外,正方向總是指從起點(diǎn)到終點(diǎn)的方向.簡單閉曲線正向的規(guī)定:如無特殊申明均是指逆時(shí)針方向?yàn)檎较?2.積分的定義:設(shè)復(fù)變函數(shù)定義在區(qū)域內(nèi),是區(qū)域內(nèi)起點(diǎn)為,終點(diǎn)為的一條光滑有向曲線.(1)曲線劃分:把曲線任意劃分成個(gè)弧段,分點(diǎn)依次記為由此曲線被分成個(gè)弧段：其長度為近似作和:在弧段中任取,有函數(shù)值作近似乘積然后作和:取極限：記當(dāng)無限增加，且時(shí)，如果不論對的分法及的取法如何，有唯一極限，則稱這個(gè)極限值(復(fù)數(shù)值)為函數(shù)沿曲線的積分.記為如果是閉曲線，則沿此閉曲線的積分記為關(guān)于定義的說明:如果是軸上的區(qū)間而這時(shí)復(fù)變函數(shù)的積分與一元實(shí)變函數(shù)定積分的一致.根據(jù)定義，復(fù)變函數(shù)沿有向曲線的積分是否存在完全取決于極限的存在性.⑶根據(jù)定義,如果積分存在，則是一個(gè)依賴于被積函數(shù)和積分曲線的復(fù)數(shù)值.二、積分的性質(zhì)根據(jù)復(fù)變函數(shù)積分的定義，容易得到下列性質(zhì):⑴積分曲線可分可加性：如果是由等光滑曲線依次首尾連接所組成的逐段光滑曲線，即則在等式中，由左到右稱為曲線可分，由右到左稱為曲線可加；(2)反向反號性：⑶被積函數(shù)線性性：對任意常數(shù)有(4)估值性：設(shè)曲線的長度為,函數(shù)在上滿足則有估值不等式三、積分存在的條件及其計(jì)算法1.存在的條件：如果復(fù)變函數(shù)在光滑曲線上連續(xù)，則積分存在.2.積分的計(jì)算方法:在已知積分曲線參數(shù)方程的情況下,積分可以通過兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)的線積分來直接計(jì)算:在以后的討論中,總假定積分是存在的.例1計(jì)算從原點(diǎn)到點(diǎn)的直線段解：取直線參數(shù)方程為則例2計(jì)算其中是以為圓心，為半徑的正向圓周，為整數(shù).解：積分路徑的參數(shù)方程為代入積分表達(dá)式得當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),所以§3.2Cauchy－Goursat基本定理第一節(jié)中介紹的計(jì)算復(fù)變函數(shù)積分的方法有很大局限，那就是必須要知道積分曲線的參數(shù)方程，而且參數(shù)方程還得比較簡單，否則轉(zhuǎn)化出來的定積分很復(fù)雜.這會(huì)限制積分的應(yīng)用，也體現(xiàn)不出復(fù)變函數(shù)積分的優(yōu)勢.從下面講解的結(jié)論中可以發(fā)現(xiàn)，其實(shí)復(fù)變函數(shù)的積分和以前的積分比較起來更簡單.只要掌握好方法，計(jì)算起來更容易！Cauchy－Goursat基本定理如果函數(shù)在單連通區(qū)域內(nèi)解析，則對內(nèi)任何一條封閉曲線都有簡單證明：設(shè)函數(shù)則有設(shè)封閉曲線圍成的區(qū)域?yàn)?，根?jù)平面上封閉曲線積分的Green公式,有由于函數(shù)在單連通區(qū)域內(nèi)解析，根據(jù)函數(shù)解析的充要條件知，在內(nèi)成立Cauchy-Riemann方程:由此有所以定理也稱為Cauchy積分定理.在實(shí)際應(yīng)用中，無論什么類型的復(fù)變函數(shù),只要其在積分曲線內(nèi)解析（沒有奇點(diǎn)），而不論在外有沒有奇點(diǎn)，都有這樣一來，復(fù)雜的復(fù)變函數(shù)積分計(jì)算問題就轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)的奇點(diǎn)和判斷在積分曲線內(nèi)有沒有被積函數(shù)的奇點(diǎn)了.例3計(jì)算積分解因?yàn)楹投荚诜e分曲線圍成的區(qū)域內(nèi)解析，根據(jù)Cauchy－Goursat定理得例4設(shè)正向.計(jì)算積分解被積函數(shù)的奇點(diǎn)包括:分子是對數(shù)函數(shù),奇點(diǎn)為正實(shí)軸上2右邊所有點(diǎn);分母是多項(xiàng)式函數(shù),在復(fù)平面上沒有奇點(diǎn);使分母為零的點(diǎn):即.由此可知,分式函數(shù)所有這些奇點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不小于1,所以都在的外面,即在積分曲線內(nèi)沒有被積函數(shù)的奇點(diǎn),或被積函數(shù)在積分曲線內(nèi)解析.所以根據(jù)Cauchy－Goursat定理有作業(yè)安排及課后反思(1)歸納，總結(jié)重要概念、結(jié)論和方法.(2)第三章習(xí)題:5,6.本課程使用教材：P69-77第六講課時(shí)/課次:教學(xué)日期（學(xué)年/學(xué)期）復(fù)合閉路定理2/62015-16/2教學(xué)目標(biāo)一、了解閉路變形原理;二、掌握復(fù)合閉路定理的結(jié)論和方法;三、了解復(fù)變函數(shù)原函數(shù)的概念及原函數(shù)的應(yīng)用.教學(xué)內(nèi)容知識點(diǎn)：一、閉路變形原理;二、復(fù)合閉路定理;三、復(fù)變函數(shù)的原函數(shù);四、用復(fù)變函數(shù)原函數(shù)方法計(jì)算積分.重點(diǎn):復(fù)合閉路定理.難點(diǎn):復(fù)合閉路定理、復(fù)變函數(shù)的原函數(shù)的存在條件.教學(xué)過程及教學(xué)方法§3.3復(fù)合閉路定理1.閉路變形原理設(shè)函數(shù)在多連通域內(nèi)解析，是該區(qū)域內(nèi)任意兩條正向簡單閉曲線.通過重新構(gòu)造閉曲線,根據(jù)Cauchy－Goursat定理可以證明:只要在所夾的區(qū)域內(nèi)解析,則有由于可以稱是由連續(xù)變形而來,一般稱上述公式為閉路變形原理.實(shí)際應(yīng)用中，可以把沿不規(guī)則曲線C的積分計(jì)算轉(zhuǎn)化為沿規(guī)則曲線，比如圓周的積分，以求簡化.例5求其中為包含的任一簡單閉曲線，是整數(shù).解因?yàn)樵谇€內(nèi)部，故可取很小的正數(shù)，使得圓周在的內(nèi)部.則被積函數(shù)在以為邊界的復(fù)連通域內(nèi)解析.根據(jù)閉路變形原理，有再根據(jù)3.1節(jié)的例題結(jié)果，有2.復(fù)合閉路定理復(fù)合閉路：如果簡單閉曲線滿足條件：①在的內(nèi)部；②互不包含；③互不相交，則稱構(gòu)成復(fù)合閉路，而且作為復(fù)合閉路的組成部分取逆時(shí)針,取順時(shí)針為正向.記作復(fù)合閉路定理：設(shè)是多連通區(qū)域內(nèi)的復(fù)合閉路，并且以為邊界的區(qū)域全含于內(nèi).如果函數(shù)在以為邊界的區(qū)域內(nèi)解析，則(1)(2)定理中的⑴也看成是Cauchy-Goursat基本定理的推廣.根據(jù)積分曲線的有限可分可加性和積分的反向反號性，容易知道⑴和⑵是等價(jià).復(fù)合閉路定理可以應(yīng)用證明閉路變形原理同樣的方法給予證明。復(fù)合閉路定理的作用在于把積分曲線內(nèi)含有被積函數(shù)多個(gè)奇點(diǎn)的積分轉(zhuǎn)化成各個(gè)只含有一個(gè)奇點(diǎn)的積分，然后求和.例6計(jì)算積分為包含單位圓周的任意正向簡單閉曲線.解被積函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的兩個(gè)有限奇點(diǎn)都在積分曲線的內(nèi)部.分別以為中心，作適當(dāng)小的兩個(gè)正向圓周和使得構(gòu)成復(fù)合閉路.根據(jù)復(fù)合閉路定理及Cauchy－Goursat基本定理，有§3.4原函數(shù)與不定積分1.兩個(gè)主要定理:定理一如果函數(shù)在單連通域內(nèi)處處解析，則積分與連接起點(diǎn)及終點(diǎn)的路徑無關(guān)。記單連通區(qū)域內(nèi)的積分曲線的起點(diǎn)為，終點(diǎn)為，則由定理一可知:解析函數(shù)沿的積分只與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān),則可記如果固定，在內(nèi)變動(dòng)，并令則可確定內(nèi)的一個(gè)單值函數(shù).定理二如果函數(shù)在單連通域內(nèi)處處解析，則是內(nèi)的一個(gè)解析函數(shù)，且證利用導(dǎo)數(shù)的定義來證.設(shè)為內(nèi)任一點(diǎn)，以為中心作一個(gè)含于內(nèi)的小圓，取充分小使得在內(nèi)，由的定義，有由于上述積分與路線無關(guān)，的積分路徑可取為從沿與相同的路徑先到，然后再沿直線到.于是有則注意到所以有由在內(nèi)解析知,在內(nèi)連續(xù).故時(shí),上述積分表達(dá)式中的積分變量在小圓內(nèi),此時(shí)則有根據(jù)積分的估值性質(zhì)，有于是有則所以2.原函數(shù)的定義:如果函數(shù)在區(qū)域內(nèi)的導(dǎo)數(shù)為即則稱為在區(qū)域內(nèi)的原函數(shù).顯然是的一個(gè)原函數(shù).原函數(shù)之間的關(guān)系：的任何兩個(gè)原函數(shù)相差一個(gè)常數(shù).3.不定積分的定義:稱原函數(shù)的一般表達(dá)式（為任意常數(shù)）為的不定積分，記作:定理三(類似于牛頓-萊布尼茲公式)如果函數(shù)在單連通域內(nèi)解析,是內(nèi)的兩點(diǎn),為的一個(gè)原函數(shù)，則說明:根據(jù)上述公式,復(fù)變函數(shù)的積分可以用與微積分學(xué)中類似的方法去計(jì)算.例7求的值.解：此方法使用了微積分中“分部積分法”作業(yè)安排及課后反思(1)歸納，總結(jié)重要概念、結(jié)論和方法.(2)第三章習(xí)題:8(1,4).本課程使用教材：P77-84第七講課時(shí)/課次:教學(xué)日期（學(xué)年/學(xué)期）積分公式2/72015-16/2教學(xué)目標(biāo)一、掌握Cauchy積分公式;二、掌握解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)公式;三、了解調(diào)和函數(shù)的概念；四、了解偏積分方法.教學(xué)內(nèi)容知識點(diǎn)：一、Cauchy積分公式;二、解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)公式;三、調(diào)和函數(shù);四、偏積分方法.重點(diǎn):Cauchy積分公式、解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)公式.難點(diǎn):Cauchy積分公式、解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)公式及偏積分方法.教學(xué)過程及教學(xué)方法§3.5Cauchy積分公式定理如果函數(shù)在區(qū)域內(nèi)處處解析；為內(nèi)的任意一條正向簡單閉曲線，的內(nèi)部完全在內(nèi)；是內(nèi)任意一點(diǎn)，則有（Cauchy積分公式）證顯然在連續(xù)，則當(dāng)時(shí)，有：設(shè)以為中心,半徑為的正向圓周全在的內(nèi)部.根據(jù)閉路變形原理，有根據(jù)積分估值性質(zhì),有上不等式表明，只要足夠小，左端積分的模就可以任意小，根據(jù)閉路變形原理知，左端積分的值與無關(guān)，所以只有在對所有的積分值為零時(shí)才有可能.故有關(guān)于柯西積分公式的說明:Cauchy積分公式成立需要滿足三個(gè)條件：⑴被積函數(shù)是特殊的分式形式；⑵被積函數(shù)的分子須在積分曲線內(nèi)解析，即在積分曲線內(nèi)沒有奇點(diǎn)，而不管在積分曲線外有沒有奇點(diǎn)；⑶被積函數(shù)分母的零點(diǎn)，也就是被積函數(shù)的唯一奇點(diǎn)必須在積分曲線內(nèi).二、典型例題例8求積分解因?yàn)樵趶?fù)平面解析，被積函數(shù)的唯一奇點(diǎn)在積分曲線圍成的區(qū)域內(nèi)，根據(jù)Cauchy積分公式，有例9計(jì)算積分解由于可取則在積分曲線圍成的區(qū)域內(nèi)解析，被積函數(shù)在積分曲線內(nèi)有唯一奇點(diǎn)根據(jù)Cauchy積分公式，有例10求積分解被積函數(shù)在積分曲線內(nèi)有兩個(gè)奇點(diǎn)現(xiàn)分別以這兩個(gè)奇點(diǎn)為中心，適當(dāng)小的正實(shí)數(shù)為半徑作兩個(gè)正向圓周和則根據(jù)復(fù)合閉路定理有注意到積分中被積函數(shù)的分子在積分曲線內(nèi)解析;分母在內(nèi)有唯一零點(diǎn).因此積分滿足Cauchy積分公式應(yīng)用的條件.根據(jù)Cauchy積分公式，有同理也有所以有根據(jù)Euler公式，有所以有§3.6高階導(dǎo)數(shù)一、主要定理定理解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然解析，在點(diǎn)的階導(dǎo)數(shù)為其中為在函數(shù)的解析區(qū)域內(nèi)圍繞的任意一條正向簡單閉曲線.高階導(dǎo)數(shù)公式的作用：不在于通過積分來求導(dǎo)，而在于通過求導(dǎo)來求積分.二、典型例題例11計(jì)算下列積分:(1)(2)其中為正向圓周：解（1）被積函數(shù)在積分曲線內(nèi)有唯一奇點(diǎn)分子在內(nèi)解析.根據(jù)解析函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)公式，有（2）被積函數(shù)在積分曲線內(nèi)有兩個(gè)奇點(diǎn).在內(nèi)分別以為中心,適當(dāng)小正數(shù)為半徑,作正向圓周使得構(gòu)成復(fù)合閉路.則函數(shù)在由圍成區(qū)域內(nèi)解析.根據(jù)復(fù)合閉路定理，有注意到被積函數(shù)在內(nèi)只有一個(gè)奇點(diǎn)分子在內(nèi)解析.根據(jù)解析函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)公式,有被積函數(shù)在內(nèi)只有一個(gè)奇點(diǎn)分子在內(nèi)解析.根據(jù)解析函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)公式,有根據(jù)Euler公式，于是有Cauchy積分公式和解析函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)公式的總結(jié)：都是對分式函數(shù)，不一定是有理分式函數(shù)，的積分；積分曲線都是復(fù)平面內(nèi)任意簡單正向閉曲線；⑶被積分分式函數(shù)的分子都必須在積分曲線圍成區(qū)域內(nèi)解析被積函數(shù)在積分曲線圍成區(qū)域內(nèi)沒有奇點(diǎn)被積函數(shù)如果有奇點(diǎn)，奇點(diǎn)都在積分曲線外部；(4)被積分式函數(shù)分母的唯一零點(diǎn)，是被積函數(shù)在積分曲線圍成區(qū)域內(nèi)的唯一奇點(diǎn)；§3.7解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系一、調(diào)和函數(shù)的定義定義如果二元實(shí)變函數(shù)在區(qū)域內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)，并且滿足Laplace方程則稱是區(qū)域內(nèi)的調(diào)和函數(shù).調(diào)和函數(shù)在流體力學(xué)和電磁場理論等實(shí)際問題中有很重要的應(yīng)用.二、解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系1.兩者的關(guān)系定理任何在區(qū)域D內(nèi)解析的函數(shù),它的實(shí)部和虛部都是內(nèi)的調(diào)和函數(shù).2.共軛調(diào)和函數(shù)的定義設(shè)是區(qū)域內(nèi)給定的調(diào)和函數(shù)，則稱使在內(nèi)構(gòu)成解析函數(shù)的為的共軛調(diào)和函數(shù).即區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)的虛部為實(shí)部的共軛調(diào)和函數(shù).3.偏積分法已知解析函數(shù)的實(shí)部或虛部函數(shù),可以根據(jù)C-R方程，通過積分求得另外一個(gè).這種方法稱為偏積分法.例10證明是調(diào)和函數(shù)，并求其共軛調(diào)和函數(shù)及由它們構(gòu)成的解析函數(shù).解由可知,函數(shù)二階偏導(dǎo)存在且連續(xù),而且滿足Laplace方程故是調(diào)和函數(shù).由解析,根據(jù)解析函數(shù)的充要條件可知,C-R方程成立,則有積分第一個(gè)式子得其中是任意一階可導(dǎo)且連續(xù)函數(shù).由可知,所以其中是常數(shù).則有作業(yè)安排及課后反思(1)歸納，總結(jié)重要概念、結(jié)論和方法.(2)第三章習(xí)題:14,21,31.本課程使用教材：P84-95第八講課時(shí)/課次:教學(xué)日期（學(xué)年/學(xué)期）復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)2/82015-16/2教學(xué)目標(biāo)一、了解復(fù)數(shù)列收斂的概念和求法;二、掌握復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂的概念和求法;三、了解冪級數(shù)的概念；四、掌握冪級數(shù)收斂半徑和收斂圓的求法.教學(xué)內(nèi)容知識點(diǎn)：一、復(fù)數(shù)列;二、復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù);三、冪級數(shù);四、冪級數(shù)收斂半徑和收斂圓.重點(diǎn):復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂性、冪級數(shù)收斂半徑和收斂圓.難點(diǎn):復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂性、冪級數(shù)收斂半徑和收斂圓.教學(xué)過程及教學(xué)方法§4.1復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)一、復(fù)數(shù)列的極限1.定義設(shè)是一復(fù)數(shù)列，而是一確定復(fù)數(shù).如果對任意給定的，都存在相應(yīng)的正整數(shù)，使得對所有，都有，則稱為復(fù)數(shù)列當(dāng)時(shí)的極限，記作此時(shí)也稱復(fù)數(shù)列收斂于.2.復(fù)數(shù)列收斂的充要條件定理1由此說明，復(fù)數(shù)列的斂散性問題可以等價(jià)轉(zhuǎn)化為判別兩個(gè)實(shí)數(shù)列的斂散性.例1證明：當(dāng)時(shí)，證：當(dāng)時(shí)，結(jié)論顯然成立.當(dāng)時(shí)，有根據(jù)復(fù)數(shù)列數(shù)列的判別方法，有注意到對輻角和任意有而在時(shí)，是無窮小量，因此有根據(jù)復(fù)數(shù)列數(shù)列的充要條件，有二、級數(shù)的概念1.定義設(shè)是一復(fù)數(shù)列，表達(dá)式稱為復(fù)數(shù)項(xiàng)無窮級數(shù).其前項(xiàng)的和稱為這個(gè)級數(shù)的部分和.如果復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)的部分和數(shù)列收斂，則稱級數(shù)收斂，此時(shí)數(shù)列極限稱為級數(shù)的和.如果部分和數(shù)列不收斂，則稱級數(shù)發(fā)散.例2級數(shù)的斂散性注意到級數(shù)的部分和由于在時(shí)，有因此所以當(dāng)時(shí)，級數(shù)收斂.2.復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂的條件定理2設(shè),級數(shù)收斂都收斂.級數(shù)收斂的必要條件由實(shí)數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂的必要條件有復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂的必要條件為定理3收斂收斂，且有注意:（1)這只是判別復(fù)數(shù)項(xiàng)收斂的充分條件;(2)對應(yīng)該應(yīng)用正項(xiàng)級數(shù)的審斂法則判定.3.絕對收斂與條件收斂定義如果收斂，則稱級數(shù)絕對收斂，不是絕對收斂的收斂級數(shù)，稱為條件收斂級數(shù).例3級數(shù)是否絕對收斂？解由正項(xiàng)級數(shù)的比值判別法知：收斂,根據(jù)定理3知,原級數(shù)收斂,且是絕對收斂.例4級數(shù)的斂散性解由知，級數(shù)收斂的必要條件滿足.但是,調(diào)和級數(shù)發(fā)散，應(yīng)用定理3判斷此級數(shù)的斂散性失效.注意到應(yīng)用Leibniz法則可知，實(shí)部和虛部對應(yīng)的兩個(gè)交錯(cuò)級數(shù)都收斂.根據(jù)定理2知，級數(shù)收斂，且是條件收斂.§4.2冪級數(shù)一、冪級數(shù)的概念1.復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級數(shù)定義設(shè)為區(qū)域內(nèi)的一復(fù)變函數(shù)序列.表達(dá)式稱為復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級數(shù),記作.級數(shù)最前面項(xiàng)的和稱為這級數(shù)的部分和.和函數(shù)如果對于內(nèi)的某一點(diǎn),極限存在,則稱級數(shù)在收斂,稱為它的和.如果級數(shù)在內(nèi)任意點(diǎn)都收斂,那末它的和是的一個(gè)函數(shù),稱為該級數(shù)在區(qū)域上的和函數(shù).2.冪級數(shù)當(dāng)或時(shí),有函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的特殊情形或這種級數(shù)稱為冪級數(shù).二、冪級數(shù)的斂散性1.收斂定理(阿貝爾Abel定理)如果級數(shù)在收斂，則對滿足的任意,級數(shù)必絕對收斂；如果級數(shù)在發(fā)散,則對滿足的任意,級數(shù)發(fā)散.2.收斂圓與收斂半徑根據(jù)阿貝爾Abel定理可知,冪級數(shù)的收斂范圍是以原點(diǎn)為中心的圓域,圓域半徑稱為收斂半徑.3.收斂半徑的求法比值法：根值法：則收斂半徑例5求下列冪級數(shù)的收斂半徑:(1)(并討論在收斂圓周上的情形)(2)(并討論時(shí)的情形)解（1）由知，收斂半徑，則級數(shù)在圓內(nèi)收斂，在圓外發(fā)散.在圓周上，級數(shù)是收斂的級數(shù).根據(jù)復(fù)級數(shù)收斂的充分條件（定理3）知，原級數(shù)在收斂圓周上處處絕對收斂.(2)由有，收斂半徑.當(dāng)時(shí)，原級數(shù)成為，是收斂的交錯(cuò)級數(shù);當(dāng)時(shí),原級數(shù)成為，是發(fā)散的調(diào)和級數(shù).一般來說，冪級數(shù)在收斂圓周上既有級數(shù)的收斂點(diǎn),也有級數(shù)的發(fā)散點(diǎn).而在應(yīng)用中,圓周內(nèi)是可以確保收斂的.作業(yè)安排及課后反思(1)歸納，總結(jié)重要概念、結(jié)論和方法.(2)第四章習(xí)題:2,3(2,4),6(1,3,5)本課程使用教材：P105-114第九講課時(shí)/課次:教學(xué)日期（學(xué)年/學(xué)期）冪級數(shù)2/92015-16/2教學(xué)目標(biāo)一、了解冪級數(shù)的運(yùn)算方法;二、掌握冪級數(shù)的性質(zhì);三、了解函數(shù)的Taylor展開定理；四、掌握函數(shù)Taylor展開的方法.教學(xué)內(nèi)容知識點(diǎn)：一、冪級數(shù)的運(yùn)算;二、冪級數(shù)的性質(zhì);三、Taylor展開定理;四、函數(shù)Taylor展開.重點(diǎn):冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)的性質(zhì)、解析函數(shù)的Taylor展開.難點(diǎn):解析函數(shù)的Taylor展開.教學(xué)過程及教學(xué)方法三、冪級數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)1.冪級數(shù)的有理運(yùn)算設(shè)則2.冪級數(shù)的代換(復(fù)合)運(yùn)算3.復(fù)變冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)的分析性質(zhì)定理四設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為,則和函數(shù)在收斂圓內(nèi)解析；(2)收斂圓內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)：(3)收斂圓內(nèi)逐項(xiàng)求積：§4.3Taylor級數(shù)一、Taylor展開定理定理設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析，為內(nèi)任一點(diǎn)，為到的邊界上各點(diǎn)的最短距離，則當(dāng)時(shí)，有的Taylor展開式:等式右邊的級數(shù)稱為Taylor級數(shù).其中稱為Taylor系數(shù).二、將函數(shù)展開成Taylor級數(shù)1.直接法:直接計(jì)算系數(shù),然后根據(jù)展開定理把函數(shù)在展開成冪級數(shù).例6，求在的Taylor展開式因在復(fù)平面內(nèi)解析，所以展開成冪級數(shù)的收斂半徑.注意到由此得到基本展開式2.間接展開法:利用一些已知函數(shù)的展開式,結(jié)合解析函數(shù)的性質(zhì),冪級數(shù)運(yùn)算性質(zhì)(逐項(xiàng)求導(dǎo),積分等)和其它數(shù)學(xué)技巧(代換等),求函數(shù)的泰勒展開式.其優(yōu)點(diǎn)是：不需要求各階導(dǎo)數(shù)與收斂半徑.因而比直接展開更為簡潔,使用范圍也更為廣泛.例7根據(jù)Euler公式和指數(shù)函數(shù)的基本展開式,有三、常見函數(shù)的Taylor展開式四、函數(shù)的Taylor展開有理分式函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的展開.以基本冪級數(shù)為基礎(chǔ),利用函數(shù)代換以及收斂圓內(nèi)冪級數(shù)的各種分析性質(zhì),得到函數(shù)的Taylor展開式.例8把函數(shù)展開成的冪級數(shù).解函數(shù)展開的中心點(diǎn)為可以先確定函數(shù)展開的范圍.需要展開的函數(shù)的奇點(diǎn)為,此奇點(diǎn)到展開中心點(diǎn)的距離,根據(jù)展開定理知，函數(shù)可在內(nèi)展開成的冪級數(shù).由基本冪級數(shù)有對上式兩邊求導(dǎo)，且右邊逐項(xiàng)求導(dǎo)，由此得到展開式則有例9求對數(shù)函數(shù)的主值在的展開式.解由函數(shù)奇點(diǎn)的分布可知,在內(nèi)有展開式.注意到將上式從到任意積分，對右邊級數(shù)逐項(xiàng)積分，有由此得到例10把函數(shù)展開成的冪級數(shù).解由函數(shù)奇點(diǎn)可知,在內(nèi)有展開式..2.指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的展開.以基本冪級數(shù)為基礎(chǔ),利用函數(shù)代換以及收斂圓內(nèi)冪級數(shù)的各種分析性質(zhì),得到指數(shù)函數(shù)的Taylor展開式.三角函數(shù)可以利用Euler公式先轉(zhuǎn)化成指數(shù)函數(shù),然后再按照指數(shù)函數(shù)展開.例11求函數(shù)在的冪級數(shù).解根據(jù)三角公式和Euler公式,有所以有根據(jù)指數(shù)函數(shù)的基本展開式,有所以有注意到則有所以有作業(yè)安排及課后反思(1)歸納，總結(jié)重要概念、結(jié)論和方法.(2)第四章習(xí)題:11(2,4,6),12(2,4,6)本課程使用教材：P114-124第十講課時(shí)/課次:教學(xué)日期（學(xué)年/學(xué)期）Laurent級數(shù)2/102015-16/2教學(xué)目標(biāo)一、了解雙邊冪級數(shù)的概念;二、了解雙邊冪級數(shù)的性質(zhì);三、了解函數(shù)的Laurent展開定理;四、掌握函數(shù)Laurent展開的方法.教學(xué)內(nèi)容知識點(diǎn)：一、雙邊冪級數(shù);二、雙邊冪級數(shù)的性質(zhì);三、Laurent展開定理;四、函數(shù)Laurent展開.重點(diǎn):Laurent展開定理、函數(shù)的Laurent展開.難點(diǎn):函數(shù)的Laurent展開.教學(xué)過程及教學(xué)方法§4.4Laurent級數(shù)一、雙邊冪級數(shù)1.雙邊冪級數(shù)及其收斂域稱為雙邊冪級數(shù),或含有負(fù)冪項(xiàng)的冪級數(shù),其中正冪項(xiàng)部分也稱為解析部分,負(fù)冪項(xiàng)部分稱為主要部分.當(dāng)正冪項(xiàng)部分和負(fù)冪項(xiàng)部分同時(shí)收斂時(shí),雙邊冪級數(shù)才收斂,由此得到結(jié)論：若雙邊冪級數(shù)收斂，則收斂域?yàn)閳A環(huán)域.2.雙邊冪級數(shù)收斂域內(nèi)的性質(zhì)：若雙邊冪級數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)收斂，則（1)和函數(shù)在收斂的圓環(huán)域內(nèi)解析；（2）收斂圓環(huán)域內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)：（3）收斂圓環(huán)域內(nèi)可逐項(xiàng)求積.二、Laurent級數(shù)1.Laurent展開定理:若函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)解析，則函數(shù)在此圓環(huán)域內(nèi)可展開成Laurent級數(shù)其中稱為Laurent系數(shù)，積分曲線是圓環(huán)域內(nèi)繞的任一正向簡單閉曲線.2.Laurent級數(shù)與Taylor級數(shù)的關(guān)系1）若函數(shù)不僅在環(huán)域內(nèi)解析，也在環(huán)域的內(nèi)圓內(nèi)解析，則Laurent展開得到的實(shí)際上是Taylor級數(shù)；因?yàn)樵诖藯l件下，Laurent系數(shù)的積分計(jì)算公式中，被積函數(shù)的分子在解析，則也在積分曲線C圍成區(qū)域內(nèi)解析.當(dāng)時(shí)，是復(fù)平面內(nèi)解析的多項(xiàng)式函數(shù)，所以在C內(nèi)函數(shù)解析.則根據(jù)Cauchy－Goursat基本定理，有所以Laurent展開式中沒有負(fù)冪項(xiàng).當(dāng)時(shí),根據(jù)解析函數(shù)的高價(jià)導(dǎo)數(shù)公式有則有Taylor展開式若函數(shù)僅在環(huán)域內(nèi)解析，在環(huán)域的內(nèi)圓內(nèi)有奇點(diǎn)，則Laurent展開時(shí),一般會(huì)得到真正的Laurent級數(shù).這種情況下也可能沒有負(fù)冪項(xiàng),例如：由于在時(shí)有則在上式也成立.在此環(huán)域內(nèi)有Laurent展開式其他函數(shù)如等在環(huán)域內(nèi)的Laurent展開式也沒有負(fù)冪項(xiàng).在判斷出Laurent級數(shù)含有負(fù)冪項(xiàng)時(shí)，原則上只要對負(fù)冪項(xiàng)作倒數(shù)變換，變換成正冪項(xiàng)的冪級數(shù)，就可以根據(jù)一般間接展開法求得.三、函數(shù)的Laurent展開式1.直接展開法：利用定理中的公式計(jì)算Laurent系數(shù),然后得到Laurent展開式.缺點(diǎn):計(jì)算往往很麻煩.2.間接展開法：根據(jù)正、負(fù)冪項(xiàng)組成的的Laurent級數(shù)的唯一性,可利用已知函數(shù)的展開式得到Laurent展開式.優(yōu)點(diǎn):簡捷,快速.四、典型例題例12在內(nèi)，把函數(shù)展開成Laurent級數(shù).解由基本冪級數(shù)有.在內(nèi),,在上式兩端同除以,有例13函數(shù)在圓環(huán)域(1),(2),(3)內(nèi)解析的，試把在這些區(qū)域內(nèi)展開成Laurent級數(shù).解首先有1）在時(shí),有，則根據(jù)基本冪級數(shù),有所以2）在內(nèi),由于,根據(jù)基本冪級數(shù),有由于,根據(jù)基本冪級數(shù),有所以3）在內(nèi)，由于,根據(jù)基本冪級數(shù),有由于,根據(jù)基本冪級數(shù),有所以為了得到函數(shù)的Laurent級數(shù)，也會(huì)應(yīng)用級數(shù)的分析性質(zhì)等多種方法.例14求函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)的Laurent展開分析：函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)的Laurent展開應(yīng)該具有形式所以，可先得到在內(nèi)的Laurent展開，然后在展開式兩端同除以即可.解根據(jù)基本冪級數(shù),有上式兩端求導(dǎo)，右端級數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)，有則有在內(nèi),,則上式兩端同時(shí)除以有函數(shù)的Laurent展開作業(yè)安排及課后反思(1)歸納，總結(jié)重要概念、結(jié)論和方法.(2)第四章習(xí)題:16(1,3,5)本課程使用教材：P124-135第十一講課時(shí)/課次:教學(xué)日期（學(xué)年/學(xué)期）孤立奇點(diǎn)2/112015-16/2教學(xué)目標(biāo)一、了解孤立奇點(diǎn)的概念;二、了解孤立奇點(diǎn)的分類方法;三、掌握判斷函數(shù)極點(diǎn)級數(shù)的方法.教學(xué)內(nèi)容知識點(diǎn)：一、孤立奇點(diǎn);二、孤立奇點(diǎn)的分類;三、函數(shù)零點(diǎn);四、函數(shù)極點(diǎn).重點(diǎn):判斷函數(shù)極點(diǎn)級數(shù).難點(diǎn):函數(shù)零點(diǎn)及極點(diǎn)級數(shù).教學(xué)過程及教學(xué)方法§5.1孤立奇點(diǎn)一、孤立奇點(diǎn)的概念1.定義：若是函數(shù)的有限奇點(diǎn)，但在的某一空心鄰域內(nèi)函數(shù)解析,則稱是的孤立奇點(diǎn).例1是函數(shù)的孤立奇點(diǎn);而是函數(shù)的孤立奇點(diǎn).有理分式函數(shù)的所有有限奇點(diǎn)都是孤立奇點(diǎn).注意:存在不是孤立奇點(diǎn)的奇點(diǎn)，如的所有奇點(diǎn)都不是孤立奇點(diǎn).例2討論函數(shù)在的奇點(diǎn)特性解：函數(shù)的奇點(diǎn)為由于則在的不論多么小的空心鄰域內(nèi)，總有函數(shù)的其他奇點(diǎn),所以不是孤立奇點(diǎn).2.孤立奇點(diǎn)的分類如果是函數(shù)的孤立奇點(diǎn).由孤立奇點(diǎn)的定義知，函數(shù)在一個(gè)空心鄰域內(nèi)解析.現(xiàn)在把這個(gè)空心鄰域看成環(huán)域,根據(jù)Laurent展開定理可知,在此鄰域內(nèi)有函數(shù)的Laurent展開式根據(jù)函數(shù)的Laurent展開式中含有負(fù)冪項(xiàng)的個(gè)數(shù)情況，可以把孤立奇點(diǎn)分為可去奇點(diǎn)、極點(diǎn)和本性奇點(diǎn)三類.1)．可去奇點(diǎn)如果函數(shù)在孤立奇點(diǎn)的空心鄰域內(nèi)的Laurent級數(shù)不含的負(fù)冪項(xiàng),則稱孤立奇點(diǎn)為的可去奇點(diǎn).例3函數(shù)在孤立奇點(diǎn)的任意空心鄰域內(nèi)的Laurent級數(shù)中不含的負(fù)冪項(xiàng),所以是可去奇點(diǎn).例4說明為的可去奇點(diǎn).解在此孤立奇點(diǎn)的任意空心鄰域內(nèi),函數(shù)的Laurent級數(shù)所以是的可去奇點(diǎn).2).極點(diǎn)如果函數(shù)在孤立奇點(diǎn)的空心鄰域內(nèi)的Laurent級數(shù)含有的有限多個(gè)負(fù)冪項(xiàng)，其中關(guān)于的最高方冪為則稱是函數(shù)的級極點(diǎn).即在上式兩端同乘，則有上式右端級數(shù)在內(nèi)收斂，顯然在也收斂，所以右端級數(shù)在內(nèi)收斂.根據(jù)冪級數(shù)收斂圓內(nèi)的分析性質(zhì)可知,上式右端冪級數(shù)收斂于一個(gè)解析函數(shù),設(shè)為.容易看出:由此可得函數(shù)級極點(diǎn)的等價(jià)定義:對函數(shù),若存在在點(diǎn)的某一領(lǐng)域內(nèi)解析，且的函數(shù),使得則是的級極點(diǎn).例5是有理分式函數(shù)的孤立奇點(diǎn),令,則在的鄰域內(nèi)解析,且,所以是的二級極點(diǎn).同樣可知,是的一級極點(diǎn).3).本性奇點(diǎn)如果函數(shù)在孤立奇點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)的Laurent級數(shù)含有的無窮多個(gè)負(fù)冪項(xiàng),則稱是函數(shù)的本性奇點(diǎn).例6由可知,是函數(shù)的本性奇點(diǎn).二、函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系1.零點(diǎn)的定義：不恒等于零的解析函數(shù)，如果能表示成其中①在的某個(gè)鄰域內(nèi)解析,②，則稱為的級零點(diǎn).例7是函數(shù)的一級零點(diǎn)，是二級零點(diǎn).2.零點(diǎn)級數(shù)的判定⑴是解析函數(shù)的級零點(diǎn)的充要條件：如果函數(shù)在的某一鄰域內(nèi)的Taylor展開式中的最低方冪項(xiàng)是,即則是的級零點(diǎn).方法(2)主要用于判斷零點(diǎn)的級數(shù),而⑴可以用于更一般的零點(diǎn)級數(shù).例8的零點(diǎn)是滿足方程:的所有根由于,所以這些零點(diǎn)都是函數(shù)的一級零點(diǎn).由常見函數(shù)的Taylor展開式容易判斷出函數(shù)零點(diǎn)級數(shù).3.零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系定理:是函數(shù)的級零點(diǎn)是的級極點(diǎn).在具體判斷函數(shù)極點(diǎn)的級數(shù)時(shí)，更常應(yīng)用下面兩個(gè)結(jié)論提供的方法。結(jié)論1：若分別是函數(shù)的級零點(diǎn)，則是乘積函數(shù)的級零點(diǎn).例如，由于分別是函數(shù)的3級和2級零點(diǎn)，則是函數(shù)的5級零點(diǎn).結(jié)論2：若分別是函數(shù)的級零點(diǎn)，則⑴當(dāng)時(shí)，是的可去奇點(diǎn)；⑵當(dāng)時(shí)，是的級極點(diǎn).例9由于分別是分式函數(shù)分子和分母的1級零點(diǎn)，則是這個(gè)分式函數(shù)的可去奇點(diǎn)；而是分母的2級零點(diǎn)，不是分子的零點(diǎn)，但可以看成是分子的0級零點(diǎn)，所以是分式函數(shù)的2級極點(diǎn).例10分別是分式函數(shù)分子和分母的2級,4級零點(diǎn)，所以是分式函數(shù)的2級極點(diǎn).三、函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性態(tài)定義如果函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的某一個(gè)去心鄰域內(nèi)解析，則稱為的孤立奇點(diǎn).一般方法:作倒數(shù)變換,則結(jié)論:去心鄰域內(nèi)對函數(shù)的研究在去心鄰域內(nèi)對的研究.規(guī)定:如果是的可去奇點(diǎn)、級極點(diǎn)或本性奇點(diǎn),則稱是的可去奇點(diǎn)、級極點(diǎn)或本性奇點(diǎn).例11函數(shù)在擴(kuò)充復(fù)平面內(nèi)有些什么類型的奇點(diǎn)?如果是極點(diǎn),指出它的級.作業(yè)安排及課后反思(1)歸納，總結(jié)重要概念、結(jié)論和方法.(2)第五章習(xí)題:1(1,4,7),2,4,6(2)本課程使用教材：P145-153第十二講課時(shí)/課次:教學(xué)日期（學(xué)年/學(xué)期）留數(shù)2/122015-16/2教學(xué)目標(biāo)一、了解留數(shù)的概念;二、掌握留數(shù)定理;三、掌握留數(shù)的計(jì)算規(guī)則;四、掌握應(yīng)用留數(shù)方法計(jì)算復(fù)變函數(shù)的積分.教學(xué)內(nèi)容知識點(diǎn)：一、留數(shù)的概念;二、留數(shù)定理;三、留數(shù)的計(jì)算規(guī)則;四、留數(shù)方法計(jì)算函數(shù)積分.重點(diǎn):留數(shù)方法計(jì)算復(fù)變函數(shù)的積分.難點(diǎn):留數(shù)概念的引入、留數(shù)方法計(jì)算復(fù)變函數(shù)的積分.教學(xué)過程及教學(xué)方法§5.2留數(shù)一、留數(shù)概念的引入若是函數(shù)的孤立奇點(diǎn),根據(jù)孤立奇點(diǎn)的定義可知,在的某一個(gè)空心鄰域內(nèi),函數(shù)解析.把空心領(lǐng)域看作圓環(huán)域,則根據(jù)Laurent展開定理知,在此空心鄰域內(nèi)存在函數(shù)的Laurent級數(shù)設(shè)是內(nèi)包含的任一條正向簡單閉曲線，則可以沿對上述Laurent展開式兩端積分.根據(jù)級數(shù)在收斂域內(nèi)的分析性質(zhì),則有對上式右端的無窮多個(gè)積分,首先根據(jù)解析函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)公式有再根據(jù)Cauchy-Goursat基本定理,有所以上式右端無窮多個(gè)積分的值為,則有由此可知,Laurent級數(shù)中負(fù)冪項(xiàng)的系數(shù).定義若是函數(shù)的孤立奇點(diǎn)，則沿在的某個(gè)空心鄰域內(nèi)包含的任意一條正向簡單閉曲線的積分除以后所得的值,稱為在點(diǎn)的留數(shù).記作由此有二、利用留數(shù)求積分1.留數(shù)定理：函數(shù)在一條正向簡單閉曲線內(nèi)有有限多個(gè)孤立奇點(diǎn)則證根據(jù)復(fù)合閉路定理和留數(shù)的定義容易證得.2.留數(shù)的計(jì)算方法(1)如果是的可去奇點(diǎn),則(2)如果是的本性奇點(diǎn)，則需把展開成Laurent級數(shù),然后由系數(shù)得到如果是的極點(diǎn),規(guī)則1是的極點(diǎn),則規(guī)則2是的級極點(diǎn),則證明:由是函數(shù)的級極點(diǎn)可知,在的空心鄰域內(nèi)存在的Laurent展開式:其中所有Laurent系數(shù)待定.為了確定有價(jià)值的,在空心鄰域內(nèi),上式兩端同乘以,有在上式兩端同求階導(dǎo)數(shù),得到在上式兩端令,取極限可得由于所以有注意到當(dāng)是函數(shù)的級極點(diǎn)時(shí),有其中在的某個(gè)鄰域內(nèi)解析.根據(jù)解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定理,有也是此鄰域內(nèi)的解析函數(shù),所以即上述等式左端的極限實(shí)際上是一個(gè)解析函數(shù)的函數(shù)值.三、在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)1.定義設(shè)函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)解析，為圓環(huán)域內(nèi)繞原點(diǎn)的任何一條正向簡單閉曲線，則積分的值與無關(guān)，稱此值為在點(diǎn)的留數(shù)，記作2.定理二如果函數(shù)在擴(kuò)充復(fù)平面內(nèi)只有有限個(gè)孤立奇點(diǎn)，則在包括點(diǎn)在內(nèi)的所有奇點(diǎn)的留數(shù)總和必等于零.證設(shè)是函數(shù)的所有有限孤立奇點(diǎn),而是足夠大,能夠把這些孤立奇點(diǎn)都包含在內(nèi)部的正向簡單閉曲線，則根據(jù)積分性質(zhì)有由無窮遠(yuǎn)點(diǎn)留數(shù)定義有又由留數(shù)定理有所以有定理表明：計(jì)算積分計(jì)算無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù).使計(jì)算積分進(jìn)一步得到簡化3.在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)處留數(shù)的計(jì)算規(guī)則4例12求留數(shù)解根據(jù)留數(shù)規(guī)則4，有