2021年浙江省寧波市莊橋中學(xué)高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若復(fù)數(shù)z=為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為（

）A.m=2 B.m=－1C.m=－1或m=2 D.m=2且3參考答案：A【分析】由復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，得到，即可求解.【詳解】由題意，復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以，解得，即實(shí)數(shù)的值為2，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的分類(lèi)及其應(yīng)用，其中解答中熟記復(fù)數(shù)的概念和復(fù)數(shù)的分類(lèi)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2.（

）A. B. C. D.參考答案：B選B.3.若命題“p或q”為真，“非p”為真，則 （）A．p真q真 B．p假q真

C．p真q假 D．p假q假參考答案：B4.在區(qū)間[1，5]上的最大值是（

）A.-2 B.0 C.52 D.2參考答案：C【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在區(qū)間上的極值，再將極值與端點(diǎn)函數(shù)值比較大小得出該函數(shù)在區(qū)間上的最大值.【詳解】，，令，得.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，函數(shù)的極小值為，又，，因此，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在定區(qū)間上的最值，對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題的求解，通常利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在區(qū)間上的極值，再將極值與端點(diǎn)函數(shù)值作大小比較，從而得出函數(shù)的最值，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.5.由直線(xiàn)x＝－，x＝，y＝0與曲線(xiàn)y＝cosx所圍成的封閉圖形的面積為()參考答案：D6.數(shù)列則是該數(shù)列的A第6項(xiàng)

B第7項(xiàng)

C第10項(xiàng)

D第11項(xiàng)參考答案：B7.已知雙曲線(xiàn)的離心率為2,有一個(gè)焦點(diǎn)恰好是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn),則此雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程是

(

)A．

B．

C．

D．參考答案：A略8.在等比數(shù)列中則公比為（

）A.2

B.3

C.4

D.8參考答案：A9.已知a＞b＞0，橢圓C1的方程為+=1，雙曲線(xiàn)C2的方程為﹣=1，C1與C2的離心率之積為，則C2的漸近線(xiàn)方程為（）A．x±y=0 B．x±y=0 C．2x±y=0 D．x±2y=0參考答案：B【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專(zhuān)題】圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程．【分析】通過(guò)橢圓與雙曲線(xiàn)的方程可得各自的離心率，化簡(jiǎn)即得結(jié)論．【解答】解：∵橢圓C1的方程為+=1，∴橢圓C1的離心率e1=，∵雙曲線(xiàn)C2的方程為﹣=1，∴雙曲線(xiàn)C2的離心率e2=，∵C1與C2的離心率之積為，∴?=，∴==1﹣，又∵a＞b＞0，∴=，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查求橢圓的離心率問(wèn)題，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．10.如圖為某幾何體的三視圖，求該幾何體的內(nèi)切球的表面積為（）A． B．3π C．4π D．參考答案：C【考點(diǎn)】L!：由三視圖求面積、體積．【分析】球心到棱錐各表面的距離等于球的半徑，求出棱錐的各面面積，使用體積法求出內(nèi)切球半徑．【解答】解：由三視圖可知幾何體為四棱錐，作出直觀圖如圖所示：其中SA⊥底面ABCD，底面ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形，SA=4．∴SB=SD==5，∴S△SAB=S△SAD=，S△SBC=S△SCD=．S底面=32=9．V棱錐==12．S表面積=6×2+7.5×2+9=36．設(shè)內(nèi)切球半徑為r，則球心到棱錐各面的距離均為r．∴S表面積?r=V棱錐．∴r=1．∴內(nèi)切球的表面積為4πr2=4π．故選C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.用反證法證明命題：“三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)不小于60度”時(shí)，反設(shè)正確的是

；參考答案：假設(shè)三內(nèi)角都小于60度；12.快遞小哥準(zhǔn)備明天到周師傅家送周師傅網(wǎng)購(gòu)的物品，已知周師傅明天12:00到17:00之間在家，可以接收該物品，除此之外，周師傅家里無(wú)人接收。如果快遞小哥明天在14:00到18:00之間隨機(jī)地選擇一個(gè)時(shí)間將物品送到周師傅家去，那么快遞小哥到周師傅家恰好能夠送出該物品的概率是________.參考答案：【分析】先設(shè)快遞小哥明天到達(dá)周師傅家的時(shí)刻為，根據(jù)題意得到，再結(jié)合周師傅在家的時(shí)間，可得到，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)快遞小哥明天到達(dá)周師傅家的時(shí)刻為，由題意可得，又快遞小哥到周師傅家恰好能夠送出該物品，必須滿(mǎn)足，所以，快遞小哥到周師傅家恰好能夠送出該物品的概率是.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何概型的應(yīng)用，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型，即可求解，屬于常考題型.13.在等差數(shù)列中已知，a7=8，則a1=_______________參考答案：1014.如圖所示，A，B分別是橢圓的右、上頂點(diǎn)，C是AB的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)B），F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，OC的延長(zhǎng)線(xiàn)交橢圓于點(diǎn)M，且MF⊥OA，則橢圓的離心率為．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專(zhuān)題】數(shù)形結(jié)合；分析法；圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程．【分析】設(shè)A（a，0），B（0，b），F(xiàn)（c，0），橢圓方程為+=1（a＞b＞0），求得C和M的坐標(biāo)，運(yùn)用O，C，M共線(xiàn)，即有kOC=kOM，再由離心率公式計(jì)算即可得到所求值．【解答】解：設(shè)A（a，0），B（0，b），F(xiàn)（c，0），橢圓方程為+=1（a＞b＞0），令x=c，可得y=b=，即有M（c，），由C是AB的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)B），可得C（，），即（，），由O，C，M共線(xiàn)，可得kOC=kOM，即為=，即有b=2c，a==c，則e==．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的離心率的求法，注意運(yùn)用直線(xiàn)的有關(guān)知識(shí)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．15.

若執(zhí)行如下圖所示的框圖，輸入x1＝1，x2＝2，x3＝3，＝2，則輸出的數(shù)等于________．參考答案：16.如果橢圓的弦被點(diǎn)(4，2)平分，則這條弦所在的直線(xiàn)方程是

。參考答案：17.若中心在原點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，﹣4），則此雙曲線(xiàn)的離心率為

．參考答案：或【考點(diǎn)】雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專(zhuān)題】計(jì)算題；分類(lèi)討論；綜合法；圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程．【分析】根據(jù)中心在原點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，﹣4），=或，利用離心率公式，可得結(jié)論．【解答】解：∵中心在原點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，﹣4），∴=或，∴e==或．故答案為：或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.(本題滿(mǎn)分12分)閱讀：已知，，求的最小值.解法如下：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取到等號(hào)，則的最小值為.

應(yīng)用上述解法，求解下列問(wèn)題：（1）已知，，求的最小值；（2）已知，求函數(shù)的最小值；參考答案：（1），

而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)，則，即的最小值為.（2），

而，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取到等號(hào)，則，所以函數(shù)的最小值為.

19.（本小題滿(mǎn)分14分）已知函數(shù)（Ⅰ）當(dāng)時(shí)取得極小值求的值；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，若在區(qū)間上至少存在一點(diǎn)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案：解：（1）解得：

……………(4分)

……………(6分)（2），

………(7分)：上恒成立，在上單調(diào)遞減則

………(10分)：在上單調(diào)減，上單調(diào)遞增 ，故無(wú)解

…………(13分)綜上所求的取值范圍是：

………(14分)略20.如圖,在側(cè)棱垂直于底面的三棱柱ABC-A1B1C1中,M為側(cè)面AA1CC1的對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn),D,E分別為棱AB,BC的中點(diǎn).(1)求證:平面MDE//平面A1BC1；(2)求二面角的余弦值.參考答案：(1)證明見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）利用線(xiàn)線(xiàn)平行證明平面//平面，（2）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)建系求解即可?！驹斀狻浚?）證明分別為邊的中點(diǎn)，可得,又由直三棱柱可知側(cè)面為矩形，可得故有，由直三棱柱可知側(cè)面為矩形，可得為的中點(diǎn)，又由為的中點(diǎn)，可得.由，平面，，平面，得平面，平面，，可得平面平面

（2）為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，取，有同樣可求出平面的一個(gè)法向量，，結(jié)合圖形二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題屬于基礎(chǔ)題，線(xiàn)線(xiàn)平行的性質(zhì)定理和線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理要熟練掌握，利用空間向量的夾角公式求解二面角。21.下面是幾何體的三視圖及直觀圖.（1）試判斷線(xiàn)段BE上是否存在一點(diǎn)H，使得平面，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）證明：.參考答案：解：(1)存在線(xiàn)段的中點(diǎn)，使得平面，理由如下：由三視圖可知，，且平面，平面取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，且因?yàn)樗倪呅问侵苯翘菪危?，且，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?（2）因?yàn)槠矫妫?，所以，因?yàn)樗倪呅螢榫匦危?，，所以平面，又，故平面，平面，所以，故，因?yàn)樗倪呅螢橹苯翘菪危?，且，所以，?又，即，故.

22.已知等差數(shù)列滿(mǎn)足：.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和參考答案：(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d,則：

∴a3=a1+2d=7

①

a5+a7=2a1+10d=26②