222222222222222222222222222222222222一二方根系的系生中運南昌市青云譜實驗學校

王繼鳳韋達定理是反映一元二次方程根與系數(shù)關系的重要定理觀近年各省市的中（賽）試題可以發(fā)現(xiàn)，關于涉及此定理的題目屢見不鮮，且條件隱蔽．在證（解）題時，學生往往因未看出題目中所隱含的韋達定理的條件而導致思路閉塞，或解法呆板，過程繁瑣冗長．下面舉例談談韋達定理在解題中的應用，供大家參考．一直應韋定．若已知條件或待證結論中含有ab和b形的式子，可考慮直接應用韋達定理．【1在△中，a、b、c分是A、B∠的邊，D是AB邊一點，=DC，設AD=．求證：（1+d=2bcosA；（2d．【析觀所要證明的結論然可聯(lián)想到韋達定理而構造元二次方程進行證明．【】明：如圖，在△中，由余弦定理，有：

2

=b

c

-2bccosA；

2

=b

2

-2（CD==）．∴c-2+b-=0，bdcosA+b-=0于是，c、d是程x+ba的個．由韋達定理，有：cbcosAdb-．【2已知+a-1=0，b，b，求aba的值．【析顯然已知二式具有共同的形式x+x-1=0．于是和b可為該一元二次方程的兩個根．再觀察待求式的結構，容易想到直接應用韋達定理求解．【】由已知可構造一個一元二次程x-1=0其二根為a、．由韋達定理，得ab，b．故abab．二先等形再用達理若已知條件或待證結論，經(jīng)過恒等變形或換元等方法，構造出形如a+、ab形的式子，則可考慮應用韋達定理．【3若實、、滿x，z．求證：=．【】明：將已知二式變形為+y=6=+9由韋達定理知x、是程u+（）=0兩個根．∵x、y是數(shù)∴36≥0．則z≤0又實數(shù)，∴

，eq\o\ac(△,即)=0．于是，方程uu+9=0有根，故x=．1

2222222222222222222222222222222222222222222′222222【例】已知x

2

+x-0，

30．

yx+的值．x【解將待求式

yx+化為如下形式：x

x+xy）-=xy

．由已知二式，易知x、是t+3t-8=0兩個根，由韋達定理知：+=-，=-8．是，

xy+y-2xy-）-）1==-3．xy-8三已一二方兩的系或系數(shù)系求系關（或求根關），可慮韋定．【5已知方程+px+q=0的二根之比為：2，方程的判別式的值為．求q值，解此方程．【】設x+pxq=0的根為、2，則由韋達定理，有：a，·2=，②P-4．把①、代入③，得（-3）-4×a=1，即9a-8a，于是=±1．當a=１，解得：

{

p31q1當a=-時，解得：{

=32=22∴方程為x-3+2=0或．解得x=1，，或，=-2．1【6設方++q=0的根之差等于方程+qx+的根之差，求證=或+=-4．【】明：設方程x+px+q=0的根為、，+qxP=0的兩根為α＇β＇由題意知-=＇β＇故有αβ+=＇-2＇＇β＇．從而有（+）α（＇β＇＇＇．①依韋達定理，有

{

β-p?β=

，

{

α+-qα?β=

．②把②代入①有-4=-4即pqp-4q（p+p-q+4（-q=0（p-）（p）=0．故-或p，即p=q或+q．四關兩一二方有共的目可慮韋定．【7為值時，方程x+與程x-4-（m-1=0有個公共根？并求出這個公共根．【】設公共根為α，易知：原方程+的根為、-m-；2

22322322x-（）=0的兩根為α、4-．由韋達定理，得（+），α4-）