第五章

直線與平面、平面與平面相對(duì)位置（編制李小平）第1頁(yè)本章目錄§5-1平行問(wèn)題§5-2相交問(wèn)題§5-3垂直問(wèn)題§5-4綜合問(wèn)題解題示例第2頁(yè)§5-1平行問(wèn)題一、直線和平面平行二、平面和平面平行

本章介紹它們投影特征和作圖方法。直線與平面、平面與平面相對(duì)位置可能是平行、相交或垂直。第3頁(yè)一、直線和平面平行定理

假如平面外一條直線和平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行。QABCD第4頁(yè)

相關(guān)直線與平面平行作圖問(wèn)題：作直線∥已知平面。作平面∥已知直線。判斷已知直線、平面是否平行。第5頁(yè)2’2例1含點(diǎn)I(1,1’)作平面與直線AB(ab,a’b’)平行。1’3’13a’abb’X

作法(1)過(guò)點(diǎn)Ⅰ作直線ⅠⅢ與AB平行(2)含直線ⅠⅢ作一任意平面。圖5-1第6頁(yè)例2判斷直線AB與△ⅠⅡⅢ是否平行。圖5-2a’b’3’2’1’ab312x

作法

(1)在平面任一投影中，作面內(nèi)直線CF∥AB同面投影。(2)求CF另一投影，并判斷直線CF是否∥AB。d’f’c’fdc第7頁(yè)特殊情況

若直線與某一投影面垂直面平行，則它們?cè)谠撏队懊嫔贤队耙欢ㄆ叫?。X直線投影∥平面有積聚性同面投影,它們?cè)诳臻g必相互平行第8頁(yè)特殊情況

若直線與平面同時(shí)垂直某一投影面，則它們空間一定平行。X直線與平面對(duì)某一投影面同時(shí)有積聚性,它們?cè)诳臻g必相互平行。PH第9頁(yè)二、平面和平面平行定理

假如一個(gè)平面內(nèi)相交兩直線與另一個(gè)平面內(nèi)相交兩直線對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)平面平行。PQABCDC1D1A1B1第10頁(yè)

相關(guān)兩平面平行作圖問(wèn)題：作平面∥已知平面。判斷兩已知平面是否平行。第11頁(yè)例含點(diǎn)A1作平面平行定平面(A2B2×A2C2)。c2Xa1’a2’

b2’

b2

a1a2c2’b1’

b1c1’

c1圖5-3第12頁(yè)c2Xa2’

b2’

b2a2c2’

b1b1’a1’c1’

a1

c1例判斷兩平面是否平行。

分析：若兩面相互平行，則它們有一對(duì)相互平行相交直線。第13頁(yè)討論相互平行兩投影面垂直面，它們一對(duì)有積聚性同面投影必平行。xa’cabc’b’1231’2’3’d’d圖5-4若兩正垂面相互平行，則它們正面投影相互平行。第14頁(yè)若兩鉛垂面相互平行，則它們水平投影相互平行。X第15頁(yè)x1231’2’3’

分析：若兩面相互平行，則它們有積聚性同面投影相互平行。PV例含點(diǎn)A1作平面平行平面△ⅠⅡⅢ

。aa’第16頁(yè)§5-2相交問(wèn)題一、特殊線、面與普通直線或平面相交二、普通直線與普通平面相交三、兩普通位置平面交線第17頁(yè)相交問(wèn)題

直線與平面不平行時(shí)即相交，交點(diǎn)是直線與平面共有點(diǎn)；

兩平面不平行時(shí)必相交，其交線是兩平面共有線。第18頁(yè)一、特殊位置線、面與普通位置直線或平面相交

交點(diǎn)、交線為線與面、面與面二者所共有，假如其中有一個(gè)處于垂直投影面特殊位置，則可利用其投影積聚性直接求出交點(diǎn)或交線一個(gè)投影，另外投影可依據(jù)其在線上（或在面內(nèi)）特點(diǎn)按投影關(guān)系求出。第19頁(yè)假如平面為投影面平行面或投影面垂直面，則可利用平面投影積聚性直接定出交點(diǎn)一個(gè)投影。1.特殊位置平面與普通位置直線相交第20頁(yè)例求直線AB與鉛垂面EFGH交點(diǎn)K。K求出交點(diǎn)后，對(duì)于直線與平面投影重合部分，要判別直線可見(jiàn)性。第21頁(yè)（1）求出交點(diǎn)后，對(duì)于直線與平面投影重合部分，要判別直線可見(jiàn)性（不重合部分都是可見(jiàn)）。（2）交點(diǎn)是直線可見(jiàn)部分與不可見(jiàn)部分分界點(diǎn)。（3）判別方法

A.直接觀察;B.利用交叉直線重影點(diǎn)。關(guān)于直線可見(jiàn)性判別第22頁(yè)k1’(2’)xc’e’d’a’b’cabed例求直線AB與鉛垂面△CDE交點(diǎn)K。

分析

利用鉛垂面水平投影積聚性求交點(diǎn)圖5-512k’第23頁(yè)例求AB與P平面交點(diǎn)。

分析利用PV積聚性求交點(diǎn)。k’abPHPVa’b’xpx圖5-6k第24頁(yè)1’xc’e’d’a’（b’）cabed例求正垂線AB與△CDE交點(diǎn)K。

分析

利用線V面投影積聚性確定交點(diǎn)一個(gè)投影，依據(jù)點(diǎn)在面上求出交點(diǎn)另一投影。12k’2’k特殊位置直線與普通位置平面相交第25頁(yè)

兩平面不平行時(shí)必相交，其交線是兩平面共有線，是平面可見(jiàn)部分與不可見(jiàn)部分分界限。

兩平面交線是直線。所以，求作兩平面交線方法是：求出交線上兩個(gè)點(diǎn)，在兩個(gè)平面公共范圍處連出交線。兩平面相交第26頁(yè)2.特殊位置平面與普通位置平面交線當(dāng)相交兩平面之一為特殊位置平面時(shí)，可利用它投影積聚性直接求出交線上兩個(gè)點(diǎn)，然后連成交線。第27頁(yè)de’a’ab

b’Xed’f’fcc’kl例求△DEF(⊥H面)與△ABC交線KL。

分析利用dfe積聚性，求兩平面交線。k’1’(2’)12（1）求出交線后，對(duì)于兩平面同面投影重合部分，要判別可見(jiàn)性（不重合部分都是可見(jiàn)）。（2）交線是可見(jiàn)部分與不可見(jiàn)部分分界限。（3）判別方法—

A.直接觀察;B.利用交叉直線重影點(diǎn)。圖5-7l’第28頁(yè)(a)全交(b)互交兩平面相交兩種情況

全交：一個(gè)平面全部穿過(guò)另一個(gè)平面;

互交：兩個(gè)平面邊線相互穿過(guò)。第29頁(yè)

分析利用水平面e’f’g’積聚性求兩平面交線。e’c’g’f’1’efg1d’b’a’k’l’labcdkx例求△EFG(∥H面)與平面ABCD交線，并判斷可見(jiàn)性。圖5-8

本題中兩平面圖形只有部分互交。求交時(shí)要注意除去交線多出部分。第30頁(yè)當(dāng)兩平面同時(shí)垂直某一投影面時(shí)，它們交線也是此投影面垂直線。第31頁(yè)xe’g’f’efgc’b’a’abc例求兩面交線。第32頁(yè)各種位置平面間交線第33頁(yè)例3求矩形平面與兩個(gè)共邊三角形平面交線。

分析

利用水平面投影積聚性求兩平面交線。

水平面與兩三角形交線是水平線，而且與對(duì)應(yīng)底邊平行。xc’s’1’a’b’cabs12圖5-102’第34頁(yè)當(dāng)直線和平面都處于普通位置時(shí)，交點(diǎn)求法是：含已知直線作輔助平面;求輔助平面與已知平面交線;交線與已知直線交點(diǎn)即為所求。為了作圖方便，應(yīng)選擇特殊位置平面作為輔助平面。二、普通位置直線與普通位置平面相交Pk第35頁(yè)P(yáng)V例1求直線DE與平面△ABC交點(diǎn)。aa’gg’f’fbb’c’ckXdd’e’ek’圖5-12第36頁(yè)aa’bb’c’ckXdd’e’ek’1(2)3’(4’)432’1’例1求直線DE與平面△ABC交點(diǎn)。

利用兩交叉直線重影點(diǎn)判別直線可見(jiàn)性。圖5-12第37頁(yè)解法一空間分析：含點(diǎn)與一直線作平面，求與另一直線交點(diǎn)。a’f’2’3’g’4’1’x2a34k1PVfgk’b’b例2含點(diǎn)A作直線AB使與交叉直線ⅠⅡ、ⅢⅣ都相交。圖5-13ABKⅢⅣⅡⅠ第38頁(yè)B解法二空間分析：含點(diǎn)和兩直線分別作面，求兩面交線與一直線交點(diǎn)。解法三空間分析：將一直線變成投影面垂直線，利用積聚性，作直線AB與二交叉直線垂直相交AKⅢⅣⅡⅠ例2含點(diǎn)A作直線AB使與交叉直線ⅠⅡ、ⅢⅣ都相交。圖5-14第39頁(yè)例3求AB與兩三角形交點(diǎn)。

作法作正垂面Q求AB與兩三角形交點(diǎn)。a’b’f1’xa3’4’1’2’f2’k2’k1’e1’e2’f1f2k1e1k2e2b3124(m)nQVn’m’圖5-15第40頁(yè)三、兩普通位置平面交線慣用方法：1線面交點(diǎn)法

2.輔助平面法第41頁(yè)1.線面交點(diǎn)法當(dāng)相交兩平面都用平面圖形表示，且同面投影有相互重合部分時(shí)，可用求直線和平面交點(diǎn)方法找出交線上兩個(gè)點(diǎn)。第42頁(yè)QV例求△ABC和△DEF交線。（求交點(diǎn)）aa’gf’fbb’c’ckXdd’e’ehg’h’k’RVll’aa’f’fbb’c’ckXdd’e’ek’圖5-16第43頁(yè)aa’f’fbb’c’ckXdd’e’ek’ll’1’2’1(2)3’(4’)3’4’例求△ABC和△DEF交線。（判別可見(jiàn)性）圖5-16f’kaa’fbb’c’cXdd’e’ell’k’第44頁(yè)

若線段投影與另一平面圖形投影不重合，就表明該線段在空間不直接與平面圖形相交（需將平面圖形擴(kuò)大后才有交點(diǎn)），則不宜選這類(lèi)直線來(lái)求交點(diǎn)。使用線面交點(diǎn)法時(shí)注意：第45頁(yè)2.輔助平面法圖5-17

作圖原理求P、Q平面交線時(shí)，任作平面S1，使與Q相交得交線L1，與P相交得交線L2；L1、L2交點(diǎn)I為P、Q、S1三面共有點(diǎn)，即P、Q交線上一個(gè)點(diǎn)。再作平面S2，又可得到交線上另一個(gè)交點(diǎn)Ⅱ。連接IⅡ即P、Q交線。第46頁(yè)b’例求△ABC和平面(L1∥

L2)交線。c’a’xabc1’12’3’23S1VS2Vl2’l1’l2l1k1k1’圖5-18k2’k2第47頁(yè)§5-3垂直問(wèn)題一、直線和平面垂直二、兩平面垂直第48頁(yè)一、直線和平面垂直定理

假如一條直線和一個(gè)平面內(nèi)兩條相交直線垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面?！咧本€L⊥平面P內(nèi)兩相交直線AB、CD,則L⊥P面LBACDP第49頁(yè)直線與平面垂直投影特征：直線水平投影⊥平面內(nèi)水平線水平投影，直線正面投影⊥平面內(nèi)正平線正面投影。c’CKAkeMBEFfabcHe’cbaa’b’f’fedd’k’km’mX∵m’k’⊥e’f’,mk⊥ad,∴MK⊥△ABC所確定平面。第50頁(yè)

相關(guān)直線與平面垂直作圖問(wèn)題：作直線⊥已知平面；作平面⊥已知直線。判斷已知直線、平面是否垂直。第51頁(yè)QH例1含點(diǎn)E作直線垂直于△ABC，并求垂足。aa’bb’c’e’k’cke12’21’3’4’43f’fX圖5-21

分析先求平面垂線，然后求垂線與平面交點(diǎn)。第52頁(yè)(b)已知例求C點(diǎn)到直線AB距離。（分析）aa’bb’c’cX(a)分析示意圖PBAKC解題步驟:1.過(guò)C點(diǎn)作P面⊥直線AB;2.求AB與P面交點(diǎn)K;3.求垂線CK實(shí)長(zhǎng)。第53頁(yè)P(yáng)Vaa’bb’c’dce’1’122’kc’k’k0CK實(shí)長(zhǎng)例求C點(diǎn)到直線AB距離。（作圖）Xed’k’解題步驟:1.過(guò)C點(diǎn)作P面⊥直線AB;2.求AB與P面交點(diǎn)K;3.求垂線CK實(shí)長(zhǎng)。第54頁(yè)例2已知AB⊥BC，求bc。aa’bb’c’c1’122’343’4’XABCP

分析1.過(guò)B點(diǎn)作P面⊥直線AB則BC一定在P面內(nèi)；2.在P面內(nèi)求C點(diǎn)。圖5-22第55頁(yè)二、兩平面垂直定理如一直線⊥一平面，則包含這直線一切平面都⊥該平面。反之，如兩平面相互垂直，則從第一平面內(nèi)任意一點(diǎn)向第二平面所作垂線，必定在第一平面內(nèi)。簡(jiǎn)述如一平面內(nèi)有一直線垂直于另一平面，則此兩平面相互垂直。

兩平面垂直條件第56頁(yè)

相關(guān)兩平面垂直作圖問(wèn)題：作平面⊥已知平面；判斷兩已知平面是否垂直。第57頁(yè)例含點(diǎn)A作平面垂直于△ⅠⅡⅢ。1’2’3’1235’4’5