了解命題及其逆命題、否命題與逆否命題，會(huì)分析四種命題的相互關(guān)系/理解必要條件、充分條件與充要條件的意義1.2命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件

1．命題

在數(shù)學(xué)中我們把用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判斷

的陳述句叫做命

題(proposition)，其中

的語(yǔ)句叫做真命題(trueproposition)，

的語(yǔ)句叫做

(falseproposition)．命題表述形式原命題若p則q逆命題若q則p否命題若綈p則綈q逆否命題若綈q則綈p真假判斷為真判斷為假假命題2．四種命題及其關(guān)系(1)四種命題(2)四種命題間的關(guān)系(3)四種命題的真假關(guān)系①兩個(gè)命題互為逆否命題(inverseandnegativeproposition)，它們有

的真假性；②兩個(gè)命題互為逆命題(inverseproposition)或互為否命題(negativeproposition)，它們的真假性

．相同沒(méi)有關(guān)系3．充分條件與必要條件

(1)如果p?q，則p是q的

(sufficientcondlition)，q是p的

.

(necessarycondition)；

(2)如果p?q，q?p，則p是q的

(sufficientandnecessarycondition)．4．反證法與證命題的逆否命題

反證法首先

，即假定結(jié)論

．由此出發(fā)直至推出

、

；證命題的逆否命題，即由

的否定推出

的

．充分條件必要條件充要條件否定結(jié)論不成立與題設(shè)、定義定理相矛盾結(jié)論題設(shè)否定1．已知p是r的充分條件而不是必要條件，q是r的充分條件，s是r的必要條件，q

是s的必要條件．現(xiàn)有下列命題：①s是q的充要條件；②p是q的充分條件，而不是必要條件；③r是q的必要條件，而不是充分條件；④綈p是綈s的必要條件，而不是充分條件；⑤r是s的充分條件，而不是必要條件．則正確命題的序號(hào)是(

) A．①④⑤

B．①②④

C．②③⑤

D．②④⑤解析：由已知條件可知：，則s?q；p

q；又ps，則綈s

綈p，因此①②④為正確命題．答案：B2．若集合P＝{1,2,3,4}，Q＝{x|0<x<5,x∈R}，則(

)A．“x∈P”是“x∈Q”的充分條件但不是必要條件

B．“x∈P”是“x∈Q”的必要條件但不是充分條件

C．“x∈P”是“x∈Q”的充分必要條件

D．“x∈P”既不是“x∈Q”的充分條件也不是“x∈Q”的必要條件答案：A3．(2009·重慶)命題“若一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，則它的平方是正數(shù)”的逆命題是(

)A．“若一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，則它的平方不是正數(shù)”

B．“若一個(gè)數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負(fù)數(shù)”

C．“若一個(gè)數(shù)不是負(fù)數(shù)，則它的平方不是正數(shù)”

D．“若一個(gè)數(shù)的平方不是正數(shù)，則它不是負(fù)數(shù)”答案：B4．“ω＝2”是“函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)的最小正周期為π”的(

)A．充分非必要條件 B．必要非充分條件

C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件解析：本題考查充分必要條件；由于y＝sin(ωx＋φ)的最小正周期為

T＝，故其最小正周期若為π，則ω＝±2，故ω＝2是其最小周期為

π的充分但不必要條件．答案：A5．①一個(gè)整數(shù)的平方是偶數(shù)，則這個(gè)整數(shù)是偶數(shù)；②是無(wú)理數(shù)；③經(jīng)過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)和平面外一點(diǎn)的直線一定不在平面內(nèi)；④若向量a、b是平面向量的一組基底，則a＋b與a－b也是平面向量的一組基底．其中正確命題的代號(hào)是______________．解析：可用反證法證明，①②③④都為正確命題． 答案：①②③④

1.對(duì)于命題正誤的判斷，可判斷其等價(jià)命題的真假，比如原命題的逆否命題等．

2．復(fù)合命題真假的判斷通常借助真值表來(lái)完成．【例1】已知c>0，設(shè)p：函數(shù)y＝cx在R上遞減；q：不等式x＋|x－2c|>1的解集為

R，如果“p或q”為真，且“p且q”為假，求c的范圍．

解答：由p?0<c<1，設(shè)f(x)＝x＋|x－2c|＝∴f(x)的最小值為2c，q?2c>1?c>，∵“p或q”為真，且“p且q”為假，∴p真q假或p假q真，若p真q假，則c的范圍是(0,1)∩(－∞，]＝(0，]；若p假q真，則c的范圍是[(－∞，0]∪[1，＋∞)]∩(，＋∞)＝[1，＋∞)，因此c的范圍是(0，]∪[1，＋∞).1.“A?B”等價(jià)于“A是B的充分條件”；“B?A”等價(jià)于“A是B的必要條件”；

“A?B”等價(jià)于“A是B的充要條件”，這也是數(shù)形結(jié)合思想方法的具體體現(xiàn)．

2．對(duì)充要條件的證明首先要弄清“充分性”和“必要性”．

【例2】若ab≠0，試證a3＋b3＋ab－a2－b2＝0成立的充要條件是a＋b＝1.

證明：先證必要性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，

∴(a＋b)·(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，即(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0， 又ab≠0， ∴a2－ab＋b2＝≠0，因此a＋b－1＝0，即a＋b＝1.

再證充分性：∵a＋b＝1，即a＋b－1＝0，∴(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.

即a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.變式2.已知a、b是實(shí)數(shù)，求證：a4－b4－2b2＝1成立的充分條件是a2－b2＝1.該條件

是否為必要條件？試證明你的結(jié)論．證明：∵a2－b2＝1，∴a4－b4－2b2＝(a2－b2)(a2＋b2)－2b2＝(a2＋b2)－2b2＝

a2－b2＝1.

即a4－b4－2b2＝1成立的充分條件是a2－b2＝1.

另一方面又a4－b4－2b2＝1，即為a4－(b4＋2b2＋1)＝0.a4－(b2＋1)2＝0，

(a2－b2－1)(a2＋b2＋1)＝0，又a2＋b2＋1≠0，∴a2－b2－1＝0，即a2－b2＝1.

因此a2－b2＝1既是a4－b4－2b2＝1的充分條件，也是a4－b4－2b2＝1的必要條件.“正難則反”是常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想方法，比如證明一個(gè)數(shù)是無(wú)理數(shù)、一個(gè)函數(shù)不是周期函數(shù)等問(wèn)題時(shí)，可考慮使用反證法，反證法在立體幾何定理的推導(dǎo)過(guò)程中也有著較為廣泛的應(yīng)用．【例3】已知函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的增函數(shù)，a、b∈R，對(duì)命題“若a＋b≥0， 則f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．

(1)寫(xiě)出其逆命題，判斷其真假，并證明你的結(jié)論；

(2)寫(xiě)出其逆否命題，判斷其真假，并證明你的結(jié)論．解答：(1)逆命題是：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，則a＋b≥0為真命題．用反證法證明：假設(shè)a＋b<0，則a<－b，b<－a.∵f(x)是(－∞，＋∞)上的增函數(shù)，則f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，這與題設(shè)相矛盾，所以逆命題為真．(2)逆否命題：若f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，則a＋b<0為真命題．因?yàn)樵}?它的逆否命題，所以證明原命題為真命題即可．∵a＋b≥0，∴a≥－b，b≥－a.又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)，∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．所以逆否命題為真．變式3.設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列，Sn是它的前n項(xiàng)和．

(1)求證：數(shù)列{Sn}不是等比數(shù)列；

(2)數(shù)列{Sn}是等差數(shù)列嗎？為什么？解答：(1)證明：證法一：(反證法)若{Sn}是等比數(shù)列，則

＝S1S3，即

∵a1≠0，∴(1＋q)2＝1＋q＋q2，即q＝0與q≠0矛盾，故{Sn}不是等比數(shù)列

證法二：只需證明SnSn＋2≠

，∵Sn＋1＝a1＋qSn，Sn＋2＝a1＋qSn＋1，∴SnSn＋2－

＝Sn(a1＋qSn＋1)－(a1＋qSn)Sn＋1＝a1(Sn－Sn＋1)＝－a1an＋1≠0.故{Sn}不是等比數(shù)列．(2)當(dāng)q＝1時(shí)，{Sn}是等差數(shù)列．當(dāng)q≠1時(shí)，{Sn}不是等差數(shù)列，否則S1，S2，S3成等差數(shù)列，即2S2＝S1＋S3.∴2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)．∵a1≠0，∴2(1＋q)＝2＋q＋q2，q＝q2，∵q≠1，∴q＝0與q≠0矛盾.1．對(duì)命題正誤的判斷，正確的命題要加以論證；不一定正確的命題要舉出反例，這是最基本的數(shù)學(xué)思維方式．在判斷命題正誤的過(guò)程中，要注意簡(jiǎn)單命題與復(fù)合命題之間的真假關(guān)系；要注意命題四種形式之間的真假關(guān)系．2．在充分條件、必要條件和充要條件的判斷過(guò)程中，可利用圖示這種數(shù)形結(jié)合的思想方法；在證明充要條件時(shí)，首先要弄清充分性和必要性．3．特殊情況下如果命題以p：x∈A，q：x∈B的形式出現(xiàn)，則有：(1)若A?B，則p是q的充分條件；(2)若B?A，則p是q的必要條件；(3)若A＝B，則p是q的充要條件．【方法規(guī)律】

4．反證法是一種重要的間接證法，一般在命題結(jié)論涉及“無(wú)限”的形式、“否定”

的形式或“至多”、“至少”的形式時(shí)，可考慮采用反證法．反證法在很大程度上就是證明原命題的逆否命題，反證法的基本步驟是：(1)否定命題的結(jié)論(即命題的否定，要注意命題的否定和否命題的區(qū)別)；(2)通過(guò)邏輯推理導(dǎo)出矛盾(可以與已知矛盾、可以與公理和定義矛盾等等)，從而說(shuō)明原命題是正確的．(2009·遼寧)(本題滿分12分)如圖，已知兩個(gè)正方形ABCD和DCEF不在同一平面內(nèi)，M，N分別為AB，DF的中點(diǎn)．

(1)若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，求MN的長(zhǎng)；

(2)用反證法證明：直線ME與BN是兩條異面直線.

解答：(1)取CD的中點(diǎn)G，

連接MG，NG.因?yàn)锳BCD，DCEF為正方形，且邊長(zhǎng)為2，所以MG⊥CD，MG＝2，NG＝.因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面DCEF，所以MG⊥平面DCEF