數(shù)學(xué)課程與數(shù)學(xué)論

楊月2150502012內(nèi)容：

本次介紹的內(nèi)容是競賽數(shù)學(xué)中的組合數(shù)學(xué)類題目。其中我們著重介紹和鴿巢原理（抽屜原理）和有關(guān)的題目。相關(guān)概念：第一抽屜原理原理1：如果把n+1個物品放入n個盒子中，那么至少有一個盒子中有兩個或更多的物品。原理2：把多于mn(m乘以n)+1個的物體放到n個抽屜里，則至少有一個抽屜里有不少于（m+1）的物體。原理3：把無窮多件物體放入n個抽屜，則至少有一個抽屜里有無窮個物體。m,n均為正整數(shù)基本構(gòu)造

利用抽屜原理解題過程中首先要注意指明什么是物體,什么是抽屜,元素進入抽屜的規(guī)則是什么,以及在同一個盒子中,所有元素具有的性質(zhì)。構(gòu)造抽屜是用抽屜原理解題的關(guān)鍵。有的題目運用一次抽屜原理就能解決,有的則需反復(fù)用多次;有些問題明顯能用抽屜原理解決,但對于較復(fù)雜的問題則需經(jīng)過一番剖析轉(zhuǎn)化才能用抽屜原理解決。下面用具體的例題來介紹利用抽屜原理解題的方法。例題：1利用幾何元素構(gòu)造抽屜例：在邊長為1的正方形內(nèi)任取5個點，則其中至少有兩個點，它們之間的距離不超過練習(xí)：在邊長為2米的正方形內(nèi)任意放入13個點。求證:必有4個點以它們?yōu)轫旤c的四邊形的面積不超過1平方米。練習(xí)：例：49名學(xué)生回答3個問題,每個問題的得分是0,1,...,7,證明:存在兩個學(xué)生A,B對于每個問題,A的得分不少于B的得分。分析：將一二題得分用數(shù)對(x,y)表示,所有得分點情況如圖2所示,將四條折線以及一個正方形區(qū)域作為五個抽屜,49個得分點中位于正方形ABCD中的點最多只有16個,所以在折線L1,L2,L3,L4至少有49-16=33個得分點,則由抽屜原理,必有一條折線上至少有9個得分點,即至少有9個同學(xué)在第一二題的得分上滿足ai≥bi,再由抽屜原理,這9個同學(xué)中必有兩個同學(xué)在第3題的等分相同,即命題得證。3利用整數(shù)性質(zhì)構(gòu)造抽屜例：從1到200的所有整數(shù)中隨機選出101個整數(shù)，則這101個整數(shù)中至少有一對數(shù)字，其中的一個一定能被另一個整除。分析：101個整數(shù)，證明存在兩個存在整除關(guān)系，那應(yīng)該是構(gòu)造100個抽屜來解決問題，那么關(guān)鍵就是怎樣構(gòu)造抽屜。練習(xí)：已給一個由10個互不相等的兩位十進制正整數(shù)組成的集合。求證：這個集合必有兩個無公共元素的子集合，各子集合中各數(shù)之和相等。分析：由題意，把集合作為物體，把每個沒有公共數(shù)字的集合中的數(shù)字的和的所有可能作為抽屜。練習(xí)：小結(jié)：利用抽屜原理解題時，最主要的步驟就是找到“物體”和“抽屜”。從上述幾個例子中我們可以看到，構(gòu)造抽屜的時候有很多種方法：有幾何元素的方法，有將排列組合個數(shù)當成抽屜個數(shù)的情況，有利用整