期權(quán)定價(jià)的二叉樹(shù)模型Cox、Ross和Rubinstein提出了期權(quán)定價(jià)的另一種常用方法二叉樹(shù)（binomialtree）模型，它假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)在下一個(gè)時(shí)間點(diǎn)的價(jià)格只有上升和下降兩種可能結(jié)果，然后通過(guò)分叉的樹(shù)枝來(lái)形象描述標(biāo)的資產(chǎn)和期權(quán)價(jià)格的演進(jìn)歷程。本章只討論股票期權(quán)定價(jià)的二叉樹(shù)模型，基于其它標(biāo)的資產(chǎn)如債券、貨幣、股票指數(shù)和期貨的期權(quán)定價(jià)的二叉樹(shù)方法，請(qǐng)參考有關(guān)的書籍和資料。一步二叉樹(shù)模型我們首先通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單的例子介紹二叉樹(shù)模型。例8.1假設(shè)一只股票的當(dāng)前價(jià)格是$20，三個(gè)月后該股票價(jià)格有可能上升到$22，也有可能下降到$18.股票價(jià)格的這種變動(dòng)過(guò)程可通過(guò)圖8.1直觀表示出來(lái)。在上述二叉樹(shù)中，從左至右的節(jié)點(diǎn)（實(shí)圓點(diǎn)）表示離散的時(shí)間點(diǎn)，由節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生的分枝（路徑）表示可能出現(xiàn)的不同股價(jià)。由于從開(kāi)始至期權(quán)到期日只考慮了一個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)，圖8.1表示的二叉樹(shù)稱為一步（one-step）二叉樹(shù)。這是最簡(jiǎn)單的二叉樹(shù)模型。一般地，假設(shè)一只股票的當(dāng)前價(jià)格是，基于該股票的歐式期權(quán)價(jià)格為。經(jīng)過(guò)一個(gè)時(shí)間步（至到期日T）后該股票價(jià)格有可能上升到相應(yīng)的期權(quán)價(jià)格為；也有可能下降到相應(yīng)的期權(quán)價(jià)格為.這種過(guò)程可通過(guò)一步（one-step）二叉樹(shù)表示出來(lái)，如圖所示。我們的問(wèn)題是根據(jù)這個(gè)二叉樹(shù)對(duì)該歐式股票期權(quán)定價(jià)。1/10為了對(duì)該歐式股票期權(quán)定價(jià)，我們采用無(wú)套利arbitrage）個(gè)該股票和期權(quán)的組合portfoli1股空頭期權(quán)。如果該股票價(jià)格上升到，則該組合在期權(quán)到期日的價(jià)值為；如果該股票價(jià)格下降到，則該組合在期權(quán)到期日的價(jià)值為。根據(jù)無(wú)套利假設(shè)，該組合在股票上升和下降兩種狀態(tài)下的價(jià)值應(yīng)該相等，即有由此可得(8.1)上式意味著是兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的期權(quán)價(jià)格增量與股價(jià)增量之比率。在這種情況下，該組合是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的。以表示無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，則該組合的現(xiàn)值（thepresentvalue）為,又注意到該組合的當(dāng)前價(jià)值是，故有即將(8.1)代入上式，可得基于一步二叉樹(shù)模型的期權(quán)定價(jià)公式為(8.2)(8.3)需要指出的是，由于我們是在無(wú)套利（noarbitrage）假設(shè)下討論歐式股票期權(quán)的定價(jià)，因此無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率應(yīng)該滿足：.2/10現(xiàn)在回到前面的例子中，假設(shè)相應(yīng)的期權(quán)是一個(gè)敲定價(jià)為$21，到期日為三個(gè)月的歐式看漲權(quán)，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的年利率為12%，求該期權(quán)的當(dāng)前價(jià)值。已知：且在期權(quán)到期日，當(dāng)時(shí)，該看漲權(quán)的價(jià)值為而當(dāng)時(shí)，該看漲權(quán)的價(jià)值為根據(jù)(8.3)和(8.2)，可得.上述期權(quán)定價(jià)公式(8.2)和(8.3)似乎與股價(jià)上升或下降的概率無(wú)關(guān)，實(shí)際上，在我們推導(dǎo)期權(quán)價(jià)值時(shí)它已經(jīng)隱含在股票價(jià)格中了。不妨令股價(jià)上升的概率為，則股價(jià)下降的概率就是，在時(shí)間的期望股票價(jià)格為如果我們假設(shè)市場(chǎng)是風(fēng)險(xiǎn)中性的riskneutra，則所有證券的價(jià)格都以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率增加，故有3/10于是，我們有由此可得與(8.3概率。兩步二叉樹(shù)模型在一步二叉樹(shù)模型中，股票和期權(quán)的價(jià)格只經(jīng)過(guò)一個(gè)時(shí)間步的演化，如果初始時(shí)間距期權(quán)到期日的時(shí)間間隔太長(zhǎng)，有可能造成計(jì)算誤差太大的缺陷。因此，在初始時(shí)間與期權(quán)到期日之間增加離散的時(shí)間點(diǎn)，縮短計(jì)算的時(shí)間步長(zhǎng)，有助于提高計(jì)算精度?，F(xiàn)在我們將初始時(shí)間距期權(quán)到期日的時(shí)間T分成兩個(gè)相等的時(shí)間步，則每個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)。假設(shè)一只股票的初始價(jià)格是，基于該股票的歐式期權(quán)價(jià)格為，且每經(jīng)過(guò)一個(gè)時(shí)間步，該股票價(jià)格或者增加到當(dāng)前價(jià)格的倍，或者下降到當(dāng)前價(jià)格的倍。股票和期權(quán)價(jià)格的演化過(guò)程8.3所示的二叉樹(shù)表示出來(lái)，這種含有兩個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)的二叉樹(shù)稱為兩步二叉樹(shù)binomialtrees）模型。我們的問(wèn)題是根據(jù)這個(gè)二叉樹(shù)對(duì)該歐式股票期權(quán)定價(jià)。類似于一步二叉樹(shù)模型的期權(quán)定價(jià)方法，采用無(wú)套利arbitrage）假設(shè)，由前向后步計(jì)算期權(quán)價(jià)值，我們得到4/10(8.4)其中，(8.5)在(8.4)中，分別是風(fēng)險(xiǎn)中性狀態(tài)下最后一個(gè)時(shí)間步股價(jià)到達(dá)上節(jié)點(diǎn)，中間節(jié)點(diǎn)和下節(jié)點(diǎn)的概率。因此，期權(quán)的初始價(jià)值可認(rèn)為是期權(quán)在到期日的期望價(jià)值貼現(xiàn)。8.2$5012020%，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)5$522權(quán)的價(jià)值。分析 將初始時(shí)間到期權(quán)到期日的2年時(shí)間分成相等的兩個(gè)時(shí)間步，則股票和期權(quán)價(jià)格的演化進(jìn)程可通過(guò)圖4直觀表示出來(lái)。依題意，已知：且在期權(quán)到期日，當(dāng)看跌權(quán)的價(jià)值為5/10當(dāng)時(shí)，該看跌權(quán)的價(jià)值為當(dāng)時(shí)，該看跌權(quán)的價(jià)值為根據(jù)(8.5)，可得再由(8.4)，即可求得該看跌權(quán)的初始價(jià)值為.多步二叉樹(shù)模型6/10一步和兩步二叉樹(shù)模型太簡(jiǎn)單了，實(shí)際使用的二叉樹(shù)要求具有多個(gè)離散的時(shí)間步長(zhǎng)來(lái)計(jì)算期權(quán)的價(jià)值。通常從初始時(shí)間到期權(quán)到期日需要分成30或更多個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)。兩步二叉樹(shù)模型的歐式股票期權(quán)定價(jià)公式容易推廣到多步二叉樹(shù)模型的情形。如果我們將初始時(shí)間距期權(quán)到期日的時(shí)間T分成個(gè)相等的時(shí)間步，則每個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)。令股票的初始價(jià)格為，且每經(jīng)過(guò)一個(gè)時(shí)間步，股價(jià)或向上增加到當(dāng)前價(jià)格的倍，或向下下降到當(dāng)前價(jià)格的倍，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為的，則在期權(quán)到期日，股票價(jià)格有種可能結(jié)果：它們?cè)陲L(fēng)險(xiǎn)中性狀態(tài)下出現(xiàn)的概率分別是：其中(8.6)令為與種股票價(jià)格對(duì)應(yīng)的期權(quán)價(jià)值，為期權(quán)的敲定價(jià)，則在無(wú)套利假設(shè)下，股票看漲權(quán)在到期日的價(jià)值為股票看跌權(quán)在到期日的價(jià)值為將該期權(quán)在到期日的期望價(jià)值貼現(xiàn)，我們即可得到期權(quán)的（初始）價(jià)值為(8.7)關(guān)于參數(shù)的取值，Cox，Ross和Rubinstein給出了由股票價(jià)格波動(dòng)率確定的公式：(8.8)7/10二叉樹(shù)模型的美式股票期權(quán)定價(jià)上面我們討論了應(yīng)用二叉樹(shù)模型給歐式股票期權(quán)定價(jià)。實(shí)際上，二叉樹(shù)模型還可給美式股票期權(quán)定價(jià)。離散時(shí)間點(diǎn)上判斷提早執(zhí)行exercise）是否最優(yōu)，并計(jì)算對(duì)應(yīng)的期權(quán)價(jià)值。假設(shè)股票價(jià)格經(jīng)歷了個(gè)時(shí)間步的演化到達(dá)期權(quán)到期日，且每一個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)為，這可用一個(gè)步二叉樹(shù)描述（圖形省略。若股票的初始價(jià)格為，且每經(jīng)過(guò)一個(gè)時(shí)間步，股價(jià)或向上增加到當(dāng)前價(jià)格的倍，或向下下降到當(dāng)前價(jià)格的倍，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為的，則在第個(gè)時(shí)間步后，二叉樹(shù)上產(chǎn)生個(gè)節(jié)點(diǎn)，自上而下分別用表示，則節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的股票價(jià)格為期權(quán)價(jià)(8.3計(jì)算，即(8.9)(8.10)如果在節(jié)點(diǎn)處期權(quán)被提早執(zhí)行是最優(yōu)的，則期權(quán)價(jià)值就是提早執(zhí)行的收益payof為期權(quán)的敲定價(jià)，對(duì)股票看漲權(quán)，有(8.11)對(duì)股票看跌權(quán)，有(8.12)顯然，美式股票期權(quán)在節(jié)點(diǎn)處的價(jià)值應(yīng)該取中的較大者，即8/10(8.13)由于美式股票期權(quán)在期權(quán)到期日的價(jià)值是已知的，因此美式股票期權(quán)的定價(jià)應(yīng)該由前向后逐步計(jì)算，這也稱作向后推演backwardsinductio。先由第步（期權(quán)到期日）的個(gè)節(jié)點(diǎn)上的期權(quán)價(jià)值通過(guò)公式(8.9)(8.13)推出第步對(duì)應(yīng)的個(gè)節(jié)點(diǎn)上的期權(quán)價(jià)值，依此下去，我們可以得到初始時(shí)間上的期權(quán)價(jià)值。下面通過(guò)一個(gè)例題具體介紹美式股票期權(quán)的二叉樹(shù)定價(jià)過(guò)程。例8.3