5.7

譜估計(jì)的參數(shù)模型法2013/11/10MMVCLAB2利用被估計(jì)過(guò)程的某些先驗(yàn)知識(shí)---》建立過(guò)程的模型事實(shí)上，對(duì)平穩(wěn)和遍歷的隨機(jī)過(guò)程采樣得到的數(shù)據(jù)不僅僅是一個(gè)樣本值，其中包含了數(shù)據(jù)之間相互關(guān)系的性質(zhì)，可以通過(guò)提取這種相互關(guān)系的性質(zhì)，如通過(guò)建立過(guò)程的模型將這種數(shù)據(jù)間所存在的性質(zhì)融合到功率譜估計(jì)中，達(dá)到外推未觀察到的數(shù)據(jù)，從而提高功率譜估計(jì)的分辨率32013/11/10MMVCLABH(z)一.參數(shù)法譜估計(jì)的步驟選擇模型由有限個(gè)觀察數(shù)據(jù)估計(jì)模型的參數(shù)由估計(jì)得到的模型參數(shù)代入模型計(jì)算功率譜二.有理系統(tǒng)函數(shù)模型u(n)均值為零，方差為

2的白噪聲序列x(n)隨機(jī)過(guò)程模型—A(z)B(z)B(

)分支]般均分支]聲波在聲道中示意*uu(m

k

r)

h(k

)

h*

(r)E[u(n

k

)u*

(n

m

r)]k

r

k

r

h(k

)

h*

(r)R

*

k

r

E[

h(k

)u(n

k)

h(r)u(n

m

r)

]令l

r

kxx

uuuu

R

(m)*[h(m)*

h*

(m)]l

k

R

(m)

R(m

l)

h(k

)h*

(l

k

)xx

uuR

(z)

R

(z)H

(

1)H

*

(z*

)zz若h(n)是實(shí)數(shù)1xxR

(z)

Ruu

(z)H

(z)H

(

z

)H(z)u(n)[Rxx

(m)和Ruu

(m)

(m)的關(guān)系]2Rxx

(m)

E[x(n)x

(n

m)]2013/11/10MMVCLAB4x(n)隨機(jī)過(guò)程模型xx

uuzR

(z)

R

(z)H

(z)H

(1)1xxB(z)B(

)A(z)

A(1)S

(z)

2

z

jB(e

)2

2xx2013/11/10MMVCLAB5uuuuzS

(e

j

)

S

(e

j

)H

(e

j

)H

(e

j

)

S

(e

j

)

H

(e

j

)

2模型，自回歸模型

1

A(z)H

AR

(z)

kk

1AR模型，AR(p),全極點(diǎn)pA(z)

1a

z

kA(e

j

)

2因?yàn)?，a0,b0的值僅與系統(tǒng)的增益有關(guān)，所以可歸結(jié)到

2中去，不失一般性，可令：a0=b0

=11）H(z)中，B(z)=1,

a0

=1pk

1x(n)

ak

x(n

k

)

u(n)z1z1z1u(n)x(n)a1a2ap1z1ap

2Sxx

(z)

A(z)

A(z1

)

22xxS

(e

j

)

p

jk

kk

11a

eAR1A(z)H

(z)AR模型的直接結(jié)構(gòu)2013/11/10MMVCLAB62）H(z)中，A(z)=1,

b0

=1qMA(q)模型，全零點(diǎn)模型滑動(dòng)平均模型MAkb

z

kk

1H

(z)

B(z)

1qx(n)

bku(n

k

)k

0xxS

(z)

2

B(z)B(z1

)2qk

0xxS

(e

j

)

2kb

e

jkz

1z

1u(n)bqb2x(n)b0

1b1z

12013/11/10MMVCLAB73）H(z)中，除a0

=b0

=1外其它a0

=b0

不全為零?ARMA(p,q)模型，自回歸滑動(dòng)平均模型H

(z)

B(z)A(z)p

px(n)

ak

x(n

k

)

bku(n

k

)k

1

k

0xxB(z)B(z1

)A(z)

A(z1

)S

(z)

2xxB(e

j

)

2A(e

j

)

2S

(e

j

)

2z

1z

1z

1u

(

n

)x

(

n

)

a1

a

2

aq1bb

2bqz

1a

pp

q2013/11/10MMVCLAB8b0

1H(z)u(n)2013/11/10MMVCLAB9均值為零，方差為

2的白噪聲序列x(n)隨機(jī)過(guò)程模型選擇模型H(z)：AR(p);MA(q);ARMA(p,q)2013/11/10MMVCLAB10三.三種模型間的關(guān)系A(chǔ)R，MA模型是ARMA模型的特例AR參數(shù)估計(jì)容易一些。Kolomogorov定理：任何ARMA(p,q)過(guò)程，或MA(q)都能用無(wú)限階的AR(p)[p=無(wú)窮大]過(guò)程表示；任何一ARMA(p,q)過(guò)程，或AR(p)也能用無(wú)限階的MA(q)[q=無(wú)窮大]過(guò)程表示。2kx(n):

AR(p),階次p,a

,k

1,2,...,

p,pk

1Rxx

(m)

E[x(n)x(n

m)]x(n)

ka

x(n

k)

u(n)pkk

1pk

1

ak

Rxx

(m

k

)

E[x(n)u(n

m)]

E

x(n)a

x(n

m

k

)

E[x(n)u(n

m)]

1A(z)H

(z)

h(n)x(n)

h(n)*u(n)

h(l)u(n

l)l

0

E[x(n)u(n

m)]

h(l)E[u(n

l)u(n

m)]l

0

h(l)

2

(m

l)

2

h(m)l

0四.AR模型的Yule-Walker方程AR1A(z)H

(z)1/A(z)u(n)

22013/11/10MMVCLAB11x(n)隨機(jī)過(guò)程模型

2

h(0),

m

0

E[x(n)u(n

m)]

0,

m

0z而h(0)

lim

H

(z)

12k

1pk

xx

a

R

(m

k

)

,

m

0xxp

R

(m)

k

xx

a

R

(m

k

),

m

0k

1Yule-Walker方程

2

R(

p)

1

R(0)

R(1)

0

R(

p

1)

a

1

R(

p)

...

...

0

a

R(1)

...R(0)

......

...

...R(

p

1)

...

R(0)

...

p

pka

z

kA(z)

1k

1pRxx

(m

)

ak

Rxx

(m

k

)

E[

x(n)u

(n

m

)]k

1:

h(m)

0,

m

01A(z)H

(z)

2013/11/10MMVCLAB12r(1)N

1

r(0)...

r(N)

r(1)r(N

1)r(0)

....

.

..

r(N

1)

...

r(0)r(N)R五.AR模型的Yule-Walker方程的求解---Levinson-Dubin算法

2

R(

p)

1

R(0)

R(1)

0

R(

p

1)

a

1

R(

p)Yule-Walker方程：

...

...

a

0

R(1)

...R(0)

......

...

...R(

p

1)

...

R(0)

...

p

0

N

12aN

N

1E

AaEe

(n)

min

R比較線性中的Yule-Walker方程：

N

...

a

a

2

a1

A

N

線性ai

,

i

1,..,

NEaNAR模型ai

,

i

1,..,

p

2R(i),

i

0,1,..,

p

r(i),

i

0,1,..,

Npx(n)

ak

x(n

k

)

u

(n)k

1pe(n)

x(n)

ak

x(n

k

)k

12013/11/10MMVCLAB13線性

中的Livinsonj

-1Dubin迭代算法：[r(

j)

i1

1

j

E

j

1ij

1a r(

j

i)]a

j

kj

ja

j

a

j

1

k

a

j

1,

i

1,2,...,

j

1i

i

j j

ijE

j

(1

k

2

)E

j

1k

k

1k

,ik

,i2k2kak

1,k

1

k

1ak

1,i

ak

,i

k

1,i

ak

,k

1i

,

i

1,

2,...,

k)2k

12

2k

1

k

(1

反射系數(shù)i1i0k

1

[R(k

1)

aR(k

1

i)]

1

a0

kAR模型中的Livinson-Dubin迭代算法：

2

R(0)R(k

1

i)k

1

rk

0,1,...,

p

12013/11/10MMVCLAB14x(0),x(1),...,x(N

1)

估計(jì)AR(p)參數(shù)x(0),x(1),...,x(N

1)

估計(jì)Rxx

(m),m

0,1,..,p2013/11/10MMVCLAB15六AR譜估計(jì)的性質(zhì)1

根據(jù)Yule-Walker方程,AR譜估計(jì)隱含了對(duì)自相關(guān)函數(shù)值進(jìn)行外推。2pa

R

(m

k)

,

m

0xxpk

1R

(m)

k

xxa

R

(m

k),

m

0k

1

k

xxpRxx

(m)

ak

Rxx

(m

k),

m

pk

1^

^

^k

1k

xxk

)

,

m

0

a

R

(m

pxxpa

R

(m

k

),

m

1,

2,...

p

k

1

k

xx^R

(m)

^

^^

2^

^

2Sxx

(z)

A(z)

A(z1

)

22013/11/10MMVCLAB1621xxS

(e

j

)

pk

1ka

e

jk2

相當(dāng)于對(duì)隨機(jī)時(shí)間序列以最大熵準(zhǔn)則外推后估計(jì)信號(hào)的功率譜密度。最大熵譜估計(jì)?R(0),R(1),……AR譜估計(jì)

?R(0),R(1),最大熵譜估計(jì)：S?MESE

(f

)21Ma

e

j

2

fnTn1

n2Mc2

f

,

m

0k

xk

0

a

R

(m

k

)

0,

m

1,

2,..,

M

2AR譜估計(jì)：2jSAR

(e

)

p

jk

kk

11a

e20,

m

0pk

0k

xx

,

m

0

a

R

(m

k)

k

1ak

Rxx

(m

k)

,

m

02xxR

(m)

ppak

Rxx

(m

k),

m

0k

1

2

f

2

ffs

2

fc2013/11/10MMVCLAB173AR功率譜估計(jì)和對(duì)隨機(jī)時(shí)間序列最佳線性功率譜密度估計(jì)等價(jià)誤差濾波r(1)N

1

r(0)...

r(N)

r(1)r(N

1)

.r(N)r(0)

....

.

.r(N

1)

...

r(0)RYule-Walker方程：...R(0)

2

R(

p)

1

...

...

a

0

R(1)R(

p

1)

a1

0

...

R(0)

R(1)

...

R(0)

......

...R(

p

1)

...R(

p)

2aN1

EaEe

(n)

min

R

A

N

0

N

1比較線性中的Yule-Walker方程：

N

a

...

a

2

p

a1

AN2xN

2

jiP(e

j

)

e

1

a

ei1

i2pka

e

2

jkARS

(e

j

)

1k

12eaN

E1/A(z)e(n)x(n)A(z)x(n)

e(n)2013/11/10MMVCLAB18z1z1z1u(n)x(n)a1a2ap1z1apAR模型的直接型結(jié)構(gòu)：2013/11/10MMVCLAB19AR模型的Lattice結(jié)構(gòu)AR模型的Lattice結(jié)構(gòu)：jaj

bjbj

ae

(n)j

1ej

1j

1aj

1(n)

e

(n)

e

(n

1)e

(n)

e(n

1)

b……..z

1

11zAp

(z)A0

(z)

0

(z)1(z)

2

(z)

p

(z)

1zOut1x(n)Out2