一、引言客觀世界是物質(zhì)世界，也是信息世界。所謂系統(tǒng)是指：由客觀世界中相同或相似的事物按一定的秩序相互關(guān)聯(lián)、相互制約而構(gòu)成的整體。例如工程技術(shù)系統(tǒng)，社會(huì)系統(tǒng)，經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)等等。數(shù)學(xué)模型灰色系統(tǒng)分析所謂白色系統(tǒng)是指：信息完全明確的系統(tǒng)。如，一個(gè)家庭，其人口、收入、支出、父子、母女上下間的關(guān)系等等完全明確；一個(gè)工廠。其職工、設(shè)備、技術(shù)條件、產(chǎn)值、產(chǎn)量等等信息完全明確。像家庭、工廠這樣的系統(tǒng)就是白色系統(tǒng)。數(shù)學(xué)模型 灰色系統(tǒng)分析所謂黑色系統(tǒng)是指：信息完全不明確的系統(tǒng)。如遙遠(yuǎn)的某個(gè)星球，其重量、體積、是否有生命等等全然不知；

原始森林神農(nóng)架的野人，其生活習(xí)性、群體關(guān)系，交換信息的方法等等完全不清楚，這樣一類(lèi)的系統(tǒng)都是黑色系統(tǒng)，還有飛碟、百暮三角洲等等目前只能看成黑色系統(tǒng)。數(shù)學(xué)模型 灰色系統(tǒng)分析所謂灰色系統(tǒng)是指：介于白色系統(tǒng)與黑色系統(tǒng)之間的系統(tǒng)（Grey

System），即系統(tǒng)信息和特性是部分已知的另一部分是未知的。例如

，其身高、體重、溫等等都是已知的，而、血壓、脈搏、體的穴位的多少，穴位的生物、化學(xué)、物理性能；生物信息的傳遞；溫度場(chǎng)；意識(shí)流等等尚未確知或者知道不透徹。因此把看成灰色系統(tǒng)。數(shù)學(xué)模型 灰色系統(tǒng)分析數(shù)學(xué)模型灰色關(guān)聯(lián)分析灰色系統(tǒng)分析方法主要是根據(jù)具體灰色系統(tǒng)的行為特征數(shù)據(jù)，充分利用數(shù)量不多的數(shù)據(jù)和信間的數(shù)學(xué)關(guān)系，即建息尋求相關(guān)因素與各因立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。二、灰色關(guān)聯(lián)分析1.灰色關(guān)聯(lián)分析的目的尋求系統(tǒng)中各因素間的主要關(guān)系，找出影響目標(biāo)值的重要因素，從而掌握事物的主要特征促進(jìn)和引導(dǎo)吸引迅速而有效地發(fā)展。2.灰色關(guān)聯(lián)分析的方法它是對(duì)一個(gè)系統(tǒng)發(fā)展變化態(tài)勢(shì)的定量描述和比較的方法。發(fā)展態(tài)勢(shì)的比較，依據(jù)空間理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，按照規(guī)范性、偶對(duì)對(duì)稱(chēng)性、整體性和接近性這四條原則，確定參考數(shù)列（母數(shù)列）和若干比較數(shù)列（子數(shù)列）之間的關(guān)聯(lián)系數(shù)和關(guān)聯(lián)度。數(shù)學(xué)模型灰色關(guān)聯(lián)分析數(shù)學(xué)模型灰色關(guān)聯(lián)分析3.灰色關(guān)聯(lián)分析與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的相關(guān)分析的區(qū)別理論基礎(chǔ)不同灰色關(guān)聯(lián)分析基于灰色系統(tǒng)的灰色過(guò)程，而相關(guān)分析則基于概率論的隨機(jī)過(guò)程；分析方法不同灰色關(guān)聯(lián)分析進(jìn)行因素間時(shí)間序列的比較，而相關(guān)分析則進(jìn)行因素間數(shù)組的比較；數(shù)學(xué)模型灰色關(guān)聯(lián)分析數(shù)據(jù)量要求不同灰色關(guān)聯(lián)分析不需要太多的數(shù)據(jù)，而相關(guān)分析則需要足夠的數(shù)據(jù)量；研究重點(diǎn)不同灰色關(guān)聯(lián)分析主要研究動(dòng)態(tài)過(guò)程，而相關(guān)分析則以靜態(tài)研究為主。數(shù)學(xué)模型灰色關(guān)聯(lián)分析4.關(guān)聯(lián)度與關(guān)聯(lián)系數(shù)兩個(gè)系統(tǒng)或兩個(gè)因素間關(guān)聯(lián)性大小的度量，稱(chēng)為關(guān)聯(lián)度。關(guān)聯(lián)度描述了系統(tǒng)發(fā)展的過(guò)程中，因素間相對(duì)變化的情況，也就是變化的大小，方向與速度等相對(duì)性。如果兩者在發(fā)展過(guò)程中，相對(duì)變化基本一致，則認(rèn)為兩者關(guān)聯(lián)度較大，否則認(rèn)為關(guān)聯(lián)度較小。數(shù)學(xué)模型灰色關(guān)聯(lián)分析（1）單因素的情況如果系統(tǒng)行為只有一個(gè)因子x0

，而x

受到0多種因素

xi

i

1,2,......,

m

的影響，一種利用因素xi對(duì)因子x

的灰色關(guān)聯(lián)度來(lái)表示

xi

對(duì)

x

影響0

0大小的方法稱(chēng)為灰色關(guān)聯(lián)分析。關(guān)聯(lián)系數(shù)的計(jì)算方法設(shè)系統(tǒng)行為因子的參考數(shù)列（母數(shù)列）為0

(2), ,

x0

(n)}數(shù)學(xué)模型灰色關(guān)聯(lián)分析記則參考數(shù)列x0

在第k點(diǎn)的灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)為k

1,2,...,

nr(

x0

(k

),

x

j

(k

))

kij

ii

ii

k

i

k

(k

)

max

max

(k

)min

min

(k

)

max

max

(k

)相關(guān)因素（子數(shù)列）為其中

[0,1]，稱(chēng)為分辨率系數(shù)，當(dāng)越大，分辨率越大；當(dāng)

越小，分辨率越小。一般情況取

0.5

.灰關(guān)聯(lián)度計(jì)算公式為：ri

r(

x0

,

xi

)

01(r(

xi

1,

2, ,

mnk

1i(k

),

x

(k

))n1-1.doc數(shù)學(xué)模型灰色關(guān)聯(lián)分析5.數(shù)據(jù)變換由于系統(tǒng)中各因素的物理意義不同，導(dǎo)致數(shù)據(jù)的量綱也不一定相同，如勞動(dòng)力為人，產(chǎn)值為萬(wàn)元，產(chǎn)量為噸，而且有時(shí)數(shù)值的數(shù)量級(jí)相差懸殊。如人均收入為幾百元，糧食畝產(chǎn)幾千斤，費(fèi)用幾十萬(wàn)元，產(chǎn)值有的幾萬(wàn)元，有的卻達(dá)到百億元等，這樣比較時(shí)就難以得到正確的結(jié)果，為了便于分析，保證各因素具有等效性和同序性，因此需要對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，使之無(wú)量綱化和歸一化。數(shù)學(xué)模型灰色關(guān)聯(lián)分析{

x0

(1),

x0

(2), ,

x0

(n)}0

(n)

y0

{

y0

(1),

y0

(2), ,

y0

(n)}(1)

0

（1）初值化處理對(duì)一個(gè)數(shù)列的所有數(shù)據(jù)均用它的第一個(gè)數(shù)去除，從而得到一個(gè)新的數(shù)列的方法稱(chēng)為初值化處理。這個(gè)新數(shù)列表明原始數(shù)列在不同時(shí)刻的值相對(duì)于第一時(shí)刻值的倍數(shù)，該數(shù)列有共同的起點(diǎn)，無(wú)量綱，其數(shù)據(jù)均大于零。作初值化處理得到數(shù)列設(shè)有原始數(shù)據(jù)數(shù)學(xué)模型灰色關(guān)聯(lián)分析{

x0

(1),

x0

(2), ,

x0

(n)}作均值化處理得到數(shù)列0,

y

(n)}0

(n)

y0

{

y0

(1),

y0

(2),0

（2）均值化處理對(duì)一個(gè)數(shù)列的所有數(shù)用它的平均值去除，從而得到一個(gè)新數(shù)列的方法稱(chēng)為均值化處理。這個(gè)新數(shù)列表明原始數(shù)列中不同時(shí)刻的值對(duì)平均值的倍數(shù)。該數(shù)列無(wú)量綱，其數(shù)據(jù)均大于零。令

x00

1x

(k,)nk

1n設(shè)原始數(shù)列為數(shù)學(xué)模型灰色關(guān)聯(lián)分析6.應(yīng)用實(shí)例下表年份(年)20052006200720082009201020112012總能源

x0煤炭產(chǎn)量x1石油產(chǎn)量x2天然氣產(chǎn)量x3水電產(chǎn)量x462770645626372163223667727126377847855384412745322442224433247541510245636162271148761517215165144781462315179164251787718201936191117071602163916341710194521302421265530043420342536782005年—2012年能源數(shù)據(jù)請(qǐng)將煤炭產(chǎn)量與總能源的灰關(guān)聯(lián)分析.數(shù)學(xué)模型灰色關(guān)聯(lián)分析選取總能源x0為參考數(shù)列,x0

{62770,

64562,

63721,

63223,

66772,

71263,

77847,

85538}以煤炭產(chǎn)量x1

、石油產(chǎn)量x2

、天然氣產(chǎn)量x3

、水電產(chǎn)量x4為比較數(shù)列。（1）原始數(shù)據(jù)作均值化處理設(shè)原始數(shù)列為{

xi

(1),

xi

(2), ,

xi

(8)}i

0,1,2,3,4（2）求差序列i

(k

)

yi

(k

)

y0

(k

)(i

1,

2,

3,4;k

1,

2,

3,4,5,6,7,

8)數(shù)據(jù).xls數(shù)學(xué)模型灰色關(guān)聯(lián)分析（3）計(jì)算參考數(shù)列

y0

在第k點(diǎn)的灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)為0

jji

kr(

y

(k

),y

(k))

i

(k)

maxj

1,2,3,4;k

1,2,3,4,5,6,7,8（4）計(jì)算灰關(guān)聯(lián)度8(r(

y

(k

),

y

(k

))0

i0

i8

k

1r(

y

,

y

)

1i

1,2,3,41數(shù)學(xué)模型灰色 方法三、灰色灰色

，是基于灰色動(dòng)態(tài)模型(Grey

DynamicModel），簡(jiǎn)稱(chēng)GM的

。GM(m,n)表示m階n個(gè)變量的微分方程。微分方程適合描述社會(huì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)，生命科學(xué)

過(guò)程動(dòng)態(tài)特征。1.基本原理因此灰色系統(tǒng)

模型的建立，常常應(yīng)用微分?jǐn)M合法為

的建模方法?；疑?/p>

方法的特點(diǎn)表現(xiàn)在：首先是它把離散數(shù)據(jù)視為連續(xù)變量在其變化過(guò)程中所取的離散值，從而可利用微分方程式處理數(shù)據(jù)；而不直接使用原始數(shù)據(jù)，而是由它產(chǎn)生累加生成數(shù)，對(duì)生成數(shù)列使用微分方程模型。這樣，可以抵消大部分隨機(jī)誤差，顯示出規(guī)律性。2.原始數(shù)據(jù)的處理下面舉一個(gè)例子，說(shuō)明灰色理論的建模思想。數(shù)學(xué)模型灰色 方法考慮4個(gè)數(shù)據(jù)，記為(0)

(3),

X

(0)

(4)數(shù)學(xué)模型灰色 方法其數(shù)據(jù)見(jiàn)下表：序號(hào)1234符號(hào)X

(0)

(1)X

(0)

(2)X

(0)

(3)X

(0)

(4)數(shù)據(jù)121.545432101234YX數(shù)學(xué)模型灰色 方法序號(hào)1234符號(hào)X

(1)

(1)X

(1)

(2)X

(1)

(3)X

(1)

(4)數(shù)據(jù)134.58.5上圖表明原始數(shù)據(jù)X

(0)沒(méi)有明顯的規(guī)律性，其發(fā)展態(tài)勢(shì)是擺動(dòng)的。如果將原始數(shù)據(jù)作累加生成，記第k個(gè)累加生成為X

(

,并且98765432101

2

3

4系列1數(shù)學(xué)模型灰色 方法（1）數(shù)據(jù)的檢驗(yàn)與處理首先，為了保證建模方法的可行性，需要對(duì)已知數(shù)列做必要的檢驗(yàn)處理?；疑疑椒?/p>

步驟：設(shè)參考數(shù)列為計(jì)算數(shù)列的極比

(

x(0)

(1),

x(0)

(2),

x(0)

(3),

,

x(0)

(n))

2

2 n1

,e

n1

)x(0)

(t

1)(0)(t

)

(e(t

2,

3, ,

n)x

(t

)1-2.doc數(shù)學(xué)模型灰色 方法如果所有的級(jí)比(k)都落在可容覆蓋

2

2

e(0)n1

,e

n1

內(nèi)，則數(shù)列x可以作為模型GM(1,1)

進(jìn)行數(shù)據(jù)灰色

.否則需要對(duì)數(shù)列x(0)做必要的變換處理，使其落入可容覆蓋內(nèi)。即取適當(dāng)?shù)某?shù)c，作平移變換y(0)

(t

)

x(0)

(t

)

c

(t

1,

2, ,

n)使數(shù)列y(0)

(

y(0)

(1),

y(0)

(2), ,

y(0)

(n))

通過(guò)數(shù)據(jù)檢驗(yàn)。數(shù)學(xué)模型灰色 方法（2）建立模型GM(1，1)對(duì)通過(guò)極比的數(shù)列

(0)做一次累加，

記作y(1)

(

y(1)

(1),

y(2)

(2), ,

y(1)

(n))(0)z

(t

)

0將y(1)進(jìn)行均值生成(0)1

z(0)

(2)

z(0)

(3) 1

構(gòu)造矩陣B

1

z

(n)(0)y

(n)

y(0)

(2)

y(0)

(3)

YN

數(shù)學(xué)模型灰色 方法計(jì)算Nu?

a?

(BT

B)1

BTY

b?

值于是得到(1)(0)?y

(t

1)

(t

1,

2,,

n

1)b

beatay

(1)

a

還原數(shù)據(jù)y?(0)

(t

1)

y?(1)

(t

1)

y?(1)

(t

)(t

1,

2,,

n

1)灰色 方法數(shù)學(xué)模型