結(jié)構(gòu)力學(xué)(StructuralMechanics)授課人：趙榮國1第二章結(jié)構(gòu)的幾何構(gòu)造分析(GeometricConstructionAnalysisofStructure)2022/11/322-1幾何構(gòu)造分析的幾個概念2-2平面幾何不變體系的組成規(guī)則2-3平面桿件體系的計算自由度--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------目錄

(contents)2022/11/33

基本要求理解：幾何不變體系、幾何可變體系、瞬變體系和剛片、約束、自由度等概念。掌握：體系的計算自由度的概念及計算，無多余約束的幾何不變體系的幾何組成規(guī)則，及常見體系的幾何組成分析。了解：結(jié)構(gòu)的幾何特性與靜力特性的關(guān)系。2022/11/34§2-1幾何構(gòu)造分析的幾個概念2-1-1幾何構(gòu)造分析的目的研究結(jié)構(gòu)正確的連接方式，確保所設(shè)計的結(jié)構(gòu)能承受荷載，維持平衡，不至于發(fā)生剛體運動。在結(jié)構(gòu)計算時，可根據(jù)其幾何組成情況，選擇適當(dāng)?shù)挠嬎惴椒ǎ环治銎浣M成順序，尋找簡便的解題途徑。由若干桿件用各種結(jié)點連接而成的桿件體系，當(dāng)能承受一定范圍內(nèi)任意荷載時，稱為桿件結(jié)構(gòu)。不能承受任意荷載的體系稱為機構(gòu)。2022/11/35幾何不變體系(geometricallyunchangeablesystem)是體系的相對位置和形狀是不改變的。幾何可變體系(geometricallychangeablesystem)是體系的相對位置和形狀是可以改變的。幾何常變體系(constantlychangeablesystem)，可發(fā)生有限位移。幾何瞬變體系(instantaneouslychangeablesystem)，可發(fā)生微小位移。2-1-2體系的分類在忽略變形的前提下，體系可分為兩類：2022/11/36(a)形狀位置都不變(b)形狀可變(c)位置可變(d)形狀可微小變化

圖2-1幾何不變體系幾何常變體系幾何常變體系幾何瞬變體系2022/11/37APANNPNNPAPΔ是微量ββ∑Y=0，N=0.5P/sinβ→∞

由于瞬變體系能產(chǎn)生很大的內(nèi)力，故幾何常變體系和幾何瞬變體系不能作為建筑結(jié)構(gòu)使用.

只有幾何不變體系才能作為建筑結(jié)構(gòu)使用?。“l(fā)生微量位移2022/11/38自由度(degreeoffreedom)是指確定體系空間位置所需的獨立坐標(biāo)數(shù)，或體系運動時可以獨立改變的幾何參數(shù)的數(shù)目，自由度記作n。2-1-3自由度

2022/11/39根據(jù)上述自由度定義，圖2-2所示之平面的一自由點A以及一自由平面剛體AB(也稱剛片，其形狀任意)的自由度分別為n=2,n=3,(a)n=2ox1yAxy1y1自由點與自由剛體的自由度

圖2-2xByAxAyB(b)n=3A動畫演示動畫演示2022/11/3102-1-2約束能減少體系自由度的裝置稱為約束(有時也稱聯(lián)系)，能減少s個自由度的裝置稱為s個約束。常見的約束有：2-1-4約束能減少體系自由度的裝置稱為約束(restraint有時也稱聯(lián)系)，能減少s個自由度的裝置稱為s個約束。常見的約束有：2022/11/311

圖2-3xyAxAy1o2A(a)單鉸As=2(b)單鉸桿12

s=12xyAxAyA1231o單鉸僅連接兩個剛片的鉸稱為單鉸，如圖2-3a單鏈桿僅用于將兩個剛片連接在一起的兩端鉸結(jié)的桿件稱為鏈桿。圖2-3b中之12桿即為鏈桿。動畫演示動畫演示2022/11/312單剛結(jié)點僅連接兩桿的剛結(jié)點，圖2-3c所示之B處即為單剛結(jié)點。AxyAyxABo(c)單剛結(jié)Bs=3

圖2-32022/11/313(d)一鉸連接多根桿S=2(n-1)復(fù)鉸復(fù)剛結(jié)(f)多桿剛結(jié)S=3(n-1)(e)一桿連接多根桿S=2n-3復(fù)鏈桿約束

圖2-4同時連接多個剛片的鉸、鏈桿和剛結(jié)點分別稱為復(fù)鉸、復(fù)鏈桿、復(fù)剛結(jié)點。分別如圖2-4d、e、f所示：這些約束的約束數(shù)s及相當(dāng)?shù)膯毋q、(單)鏈桿和單剛結(jié)點個數(shù)是多少呢？2022/11/3142-1-5約束分類根據(jù)對自由度的影響，體系中的約束可分為兩類：除去約束后，體系的自由度將增加，這類約束稱為必要約束，如圖2-5a中結(jié)構(gòu)除去水平鏈桿A后，原來的結(jié)構(gòu)變?yōu)閳D2-5b所示的可動體系，因此A是必要約束。(a)超靜定(b)幾何常變ABC

圖2-52022/11/315除去約束后，體系的自由度不變，這類約束稱為多余約束。多余約束和必要約束

圖2-5(a)超靜定ACB(c)靜定2022/11/316

兩剛片由兩根鏈桿連接，若每根鏈桿的兩端均分別連在兩個剛片上，則這兩根鏈桿的約束作用等效于該兩根鏈桿交點處的一個O鉸的約束作用，如圖(a)所示，這種等效約束(即O鉸)稱為瞬鉸

(有時也稱虛鉸）。(a)(b)(c)2-1-6瞬鉸2022/11/317在幾何組成分析中，瞬鉸在無窮遠(yuǎn)時的情況(a)瞬變體系(b)瞬變體系(c)常變體系關(guān)于∞點和∞線的結(jié)論：（1）每個方向有一個∞點（即該方向各平行線的交點）（2）不同方向有不同的∞點（3）各∞點都在同一直線上，此直線稱為∞線（4）各有限點都不在∞線上2022/11/318oo等價o

稱為虛鉸鉸與鏈桿的關(guān)系

圖2-62022/11/319剛結(jié)與鏈桿的關(guān)系

圖2-72022/11/320§2-2平面幾何不變體系的組成規(guī)則靜定結(jié)構(gòu)

—幾何特征為無多余約束幾何不變。土木和水利等工程結(jié)構(gòu)，都必須是幾何不變體系，根據(jù)靜力特征，結(jié)構(gòu)可分為靜定和超靜定的。結(jié)構(gòu)(幾何不變)靜定結(jié)構(gòu)(梁、剛架、拱、桁架、組合結(jié)構(gòu))無多余約束超靜定結(jié)構(gòu)(梁、剛架、拱、桁架、組合結(jié)構(gòu))有多余約束2022/11/321規(guī)則1一剛片規(guī)則（二元體規(guī)則）2-2-1靜定結(jié)構(gòu)組成規(guī)則

一個剛片與一個點用兩根鏈桿相連，且三個鉸不在一直線上，則組成幾何不變的整體，并且沒有多余約束。ACA12

圖2-82022/11/322圖2-9a符合定義為二元體，而圖2-9b因為不符合上述定義條件，因此不是二元體。(a)(b)二元體和非二元體

圖2-9

在體系上用兩個不共線桿件或剛片連接一個新結(jié)點，這種產(chǎn)生新結(jié)點的裝置稱為二元體。2022/11/323基于二元體的定義，在任意一體系上加二元體或減二元體都不會改變體系的可變性。利用加二元體規(guī)則，可在一個按上述規(guī)則構(gòu)成的靜定結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上，通過增加二元體組成新的靜定結(jié)構(gòu)，如此組成的結(jié)構(gòu)稱為主從結(jié)構(gòu)，基礎(chǔ)部分稱為主結(jié)構(gòu)或基本部分，后增加的二元體部分稱為從結(jié)構(gòu)或附屬部分。圖2-10所示之結(jié)構(gòu)均為主從結(jié)構(gòu)。2022/11/324EACBDF附屬部分(a)附屬部分基本部分(b)附屬部分基本部分(c)主從結(jié)構(gòu)

圖2-102022/11/325

圖2-11規(guī)則2兩剛片規(guī)則兩個剛片用一個鉸和一根鏈桿相聯(lián)結(jié)，且三個鉸不在一條直線上，則組成幾何不變的整體，并且無多余約束。2022/11/326(a)一鉸一桿單體(或聯(lián)合)結(jié)構(gòu)

圖2-12當(dāng)鉸由兩鏈桿構(gòu)成時，規(guī)則敘述改為：兩個剛片用三個既不平行也不交于一點的鏈桿相連構(gòu)成靜定結(jié)構(gòu)，如圖2-12b、c所示。(b)三桿情況(c)一虛鉸一桿需要注意的是：2022/11/327若鏈桿通過鉸，則所組成的體系為瞬變體系，圖所示的即為瞬變體系。瞬變體系

圖2-132022/11/328規(guī)則3三剛片規(guī)則三個剛片用三個鉸兩兩相連，且三個鉸不在一條直線上，則組成幾何不變的整體，并且無多余約束。

圖2-14B2022/11/329三鉸結(jié)構(gòu)和體系

圖2-15(a)三鉸剛架(b)三鉸拱(c)有虛鉸情況(d)三鉸重合體系根據(jù)這一規(guī)則可構(gòu)造出如圖2-15所示的各種三鉸結(jié)構(gòu)。2022/11/330剛片的形狀是可以任意轉(zhuǎn)換的，例如圖2-15a三鉸剛架中的折桿可以換成直桿。三個鉸可以是真實鉸，也可以是二鏈桿組成的虛鉸，如圖2-15c所示。若三鉸共線，則為瞬變體系，例如圖2-15d所示之體系。需要注意的是：2022/11/331

兩個剛片用三個鏈桿相連，且三個鏈桿不交于同一點，則組成幾何不變的整體，并且無多余約束。規(guī)則4兩剛片規(guī)則的推論2022/11/332ABCDEFG1、去掉二元體，將體系化簡單，然后再分析。幾種常用的分析途徑依次去掉二元體A、B、C、D后，剩下大地。故該體系為無多余約束的幾何不變體系。ACBD依次去掉二元體A、B、C、D、E、F、G后剩下大地，故該體系為幾何不變體系且無多余約束。332、如上部體系于基礎(chǔ)用滿足要求三個約束相聯(lián)時，可去掉基礎(chǔ)，只分析上部。拋開基礎(chǔ)，分析上部，去掉二元體后，剩下兩個剛片用兩根桿相連故：該體系為有一個自由度的幾何可體系。2022/11/334故：該體系為無多余約束的幾何不變體系。拋開基礎(chǔ)，只分析上部，上部體系由左右兩剛片用一鉸和一鏈桿相連。2022/11/335ⅠⅡABCFDⅢ3、當(dāng)體系桿件數(shù)較多時，將剛片選得分散些，剛片與剛片間用鏈桿形成的瞬鉸相連，而不用單鉸相連。O12O23O13如圖示，三剛片用三個不共線的鉸相連，故：該體系為無多余約束的幾何不變體系。如將基礎(chǔ)、ADE、EFC作為剛片，將找不出兩兩相聯(lián)的三個鉸。ABDECFO23O23O23O13O13O13O12O12O122022/11/336ⅠⅡⅢⅠⅡⅢ（Ⅰ,Ⅱ）（Ⅱ，Ⅲ）(Ⅰ,Ⅲ)（Ⅰ,Ⅱ）（Ⅱ，Ⅲ）(Ⅰ,Ⅲ)如圖示，三剛片以共線三鉸相連幾何瞬變體系三剛片以三個無窮遠(yuǎn)處虛鉸相連組成瞬變體系2022/11/337三剛片用不共線三鉸相連，故無多余約束的幾何不變體系。4、由一基本剛片開始，逐步增加二元體，擴大剛片的范圍，將體系歸結(jié)為兩個剛片或三個剛片相連，再用規(guī)則判定。(Ⅰ,Ⅲ)(Ⅰ,Ⅱ)(Ⅱ,Ⅲ)ⅢⅡⅠ2022/11/338④該體系為無多余約束的幾何不變體系。①拋開基礎(chǔ),只分析上部。②在體系內(nèi)確定三個剛片。③三剛片用三個不共線的三鉸相連。2022/11/339有一個多余約束的幾何不變體系2022/11/340該體系是幾何不變體系有四個多余約束。5、由基礎(chǔ)開始逐件組裝ABCDB2022/11/341有基礎(chǔ)開始，依次組裝梁AB、BC、CD,故原體系為無多余約束幾何不變體系。

ABCDEFGHABCDB由基礎(chǔ)開始，依次組裝梁AB、BCD、加二元體CEA后為無多余約束的幾何不變體系，作為剛片Ⅰ，再與剛片F(xiàn)GH用交于一點的三根鏈桿相連，故原體系為瞬變體系。2022/11/3426、剛片的等效代換：在不改變剛片與周圍的連結(jié)方式的前提下，可以改變它的大小、形狀及內(nèi)部組成。即用一個等效（與外部連結(jié)等效）剛片代替它。有一個多余約束的幾何不變體系ⅠⅡⅢⅠⅡⅢ兩個剛片用三根平行不等長的鏈桿相連，幾何瞬變體系2022/11/343進一步分析可得，體系是無多余約束的幾何不變體系2022/11/344ⅢⅠⅡⅢA三個剛片用共點的三個鉸相連，將虛鉸用單鉸代替，可見剛片Ⅰ、Ⅱ均可繞剛片Ⅲ上A的點轉(zhuǎn)動，故該體系為有兩個自由度的幾何瞬變體系。(ⅠⅡ)(ⅠⅢ)(ⅠⅢ)(ⅠⅢ)(ⅠⅢ)(ⅡⅢ)(ⅡⅢ)(ⅡⅢ)(ⅡⅢ)(ⅠⅢ)(ⅠⅢ)(ⅠⅢ)(ⅡⅢ)(ⅡⅢ)(ⅡⅢ)

瞬鉸和單鉸在分析體系動與不動時是等效的，在確定體系作何種運動時兩者不等效的。2022/11/345

ⅠⅡⅢⅡⅢ(ⅠⅡ)(Ⅰ,Ⅲ)(Ⅰ,Ⅲ)(Ⅰ,Ⅲ)ⅡⅢⅡⅢⅡⅢ(Ⅰ,Ⅱ)(Ⅰ,Ⅱ)(Ⅰ,Ⅱ)(Ⅰ,Ⅲ)(Ⅰ,Ⅲ)瞬變體系有一個多余約束的幾何不變體系大家一起來2022/11/346ABCDEFGH

ⅠⅡⅢ(Ⅰ,Ⅱ)(Ⅰ,Ⅲ)(Ⅱ,Ⅲ)

無多余約束的幾何不變體系無多余約束的幾何不變體系瞬變體系(Ⅱ,Ⅲ)(Ⅱ,Ⅲ)(Ⅱ,Ⅲ)

大家一起來2022/11/347

無多余約束的幾何不變體系變體系

大家一起來2022/11/3482-2-2組成分析舉例[例題2-1]

分析圖2-16a所示體系的幾何組成加二元體減二元體

圖2-16(b)(c)(a)2022/11/349[例題2-2]

試對圖2-17所示體系進行幾何組成分析。ACBACBD

圖2-17EACBDFEACBDF2022/11/350[例題2-3]

試對圖2-18所示體系進行幾何組成分析。

圖2-18IIIIIIACBD2022/11/351三剛片體系中虛鉸在無窮遠(yuǎn)處的情況①

一個虛鉸在無窮遠(yuǎn)處幾何不變體瞬變體系②

兩個虛鉸在無窮遠(yuǎn)處幾何不變體瞬變體系2022/11/352③

三個虛鉸在無窮遠(yuǎn)處瞬變體系常變體系2022/11/353作業(yè)2-1(a)，(b)2-2(c)2-3(b),(c)2-7(b)2-9(c)2022/11/354§2-3平面桿件體系的計算自由度

復(fù)雜體系并不都能按照結(jié)構(gòu)組成規(guī)則來分析，如何來確定體系為幾何可變或是幾何不變？可以根據(jù)其真實自由度S來判斷（S>0幾何可變,S=0幾何不變）。一個平面體系通常都是由若干部件（剛片或結(jié)點）加入一些約束組成。按照各部件都是自由的情況，算出各部件自由度總數(shù)，再算出所加入的約束總數(shù)，將兩者的差值定義為：體系的計算自由度(computationaldegreeoffreedom)

W。W=（各部件自由度總數(shù)）－（全部約束總數(shù)）2022/11/355必要約束＋多余約束數(shù)設(shè)多余約束為n：由于n≥0S≥W故W=（各部件自由度總數(shù)）－（全部約束總數(shù)）S=（各部件自由度總數(shù)）－（必要約束）W=S-n即：n=S-W2022/11/356算法1：總自由度＝3m約束總數(shù)＝3g+2h+bW＝3m-(3g+2h+b)體系m個剛片鉸結(jié)h個剛結(jié)g個鏈桿b個受約束沒有多余約束有多余約束的剛片：沒有多余約束一個多余約束兩個多余約束三個多余約束2022/11/357例：求計算自由度分析m=1無多余約束剛片三個自由度W=3×1-(3×3+2×0+4×1)=3-13=-10顯然是幾何不變體，即S＝0多余約束n＝S－W＝10鏈桿4個b＝4鉸結(jié)h＝0剛結(jié)g＝32022/11/358算法2：則：W＝2j-b體系j個結(jié)點受構(gòu)成鏈桿約束2022/11/359例：剛片m＝7D、C為復(fù)雜鉸，各相當(dāng)于兩個簡單鉸簡單鉸h＝9，鏈桿數(shù)

b＝4，剛結(jié)=0W=37-29-41=-1分析：方法二方法一結(jié)點j＝7AC、CB為復(fù)鏈桿，各相當(dāng)于三個單鏈桿鏈桿數(shù)b=15W=27-15=-12022/11/360算