54/54《小學(xué)數(shù)學(xué)經(jīng)典專題課程集錦》目錄

行程綜合(3)

圓的周長和面積(14)

解決問題的策略(21)

行程問題(34)

探索規(guī)律(47)

工程問題(54)

小學(xué)方程與應(yīng)用題專題解析(66)

小升初應(yīng)用題解題指導(dǎo)課程(79)

行程綜合

【知識梳理】

基本公式：路程＝速度×?xí)r間基本類型

相遇問題：速度和×相遇時(shí)間＝相遇路程；追及問題：速度差×追及時(shí)間＝路程差；

流水問題：關(guān)鍵是抓住水速對追及和相遇的時(shí)間不產(chǎn)生影響；順?biāo)俣龋酱伲倌嫠俣龋酱伲凫o水速度＝（順?biāo)俣龋嫠俣龋?水速＝（順?biāo)俣龋嫠俣龋?

（也就是順?biāo)俣取⒛嫠俣?、船速、水?個(gè)量中只要有2個(gè)就可求另外2個(gè)）時(shí)鐘問題:時(shí)鐘問題可以看做是一個(gè)特殊的圓形軌道上2人追及或相遇問題，不過這

里的兩個(gè)“人”分別是時(shí)鐘的分針和時(shí)針。

具體是：整個(gè)鐘面為360度，上面有12個(gè)大格，每個(gè)大格為30度；60個(gè)小格，每個(gè)小格為6度。

分針?biāo)俣龋好糠昼娮?小格，每分鐘走6度，時(shí)針?biāo)俣龋好糠昼娮?

12小格，每分鐘走0.5

度。

其他問題：利用相應(yīng)知識解決，比如和差分倍和盈虧；復(fù)雜的行程1、多次相遇問題；2、環(huán)形行程問題；

3、運(yùn)用比例、方程等解復(fù)雜的題；

【典例剖析】

例1甲、乙二人分別從A、B兩地同時(shí)相向而行，乙的速度是甲的32

,二人相遇后繼續(xù)行進(jìn)，

甲到B地、

乙到A地后立即返回。已知二人第二次相遇的地點(diǎn)距第一次相遇的地點(diǎn)是20千米，那么，A、B

兩地相距多少千米？

【分析】此題為直線型的多次相遇問題，我們可以借助圖形和比例解題。

【解】如圖：C為第一次相遇的地點(diǎn)，D為第二次相遇的地點(diǎn)，將AC作為3份，則CB是2份

第一次相遇，甲、乙共走一個(gè)AB，第一次相遇到第二次相遇，甲、乙共走2個(gè)AB，因此，

乙應(yīng)走CB的2倍，即4份，從而AD是1份，DC是2份（＝3－1）。

但已知DC是20千米，所以AB的長度是20÷2×（2+3）＝50（千米）答：A、B兩地相距50千米。

反饋練習(xí)：

1、甲、乙兩車同時(shí)從A，B兩地相向而行，在距B地54千米處相遇。他們各自到達(dá)對方車站后立即返回

原地，途中又在距A地42千米處相遇。求兩次相遇地點(diǎn)的距離。

例2甲每分鐘走50米,乙每分鐘走60米,丙每分鐘走70米,甲乙兩人從A地,丙一人從B地同時(shí)相向出發(fā),

丙遇到乙后2分鐘又遇到甲,A、B兩地相距多少米？

【分析】這是擇?？汲？碱}，本題有兩種解答方法。

【解】

解法一依題意,作線段圖如下:

A

乙

丙遇到乙后2分鐘再遇到甲,2分鐘甲、丙兩人共走了(50+70)×2=240(米),

這就是乙、丙相遇時(shí)乙比甲多走的路程.又知乙比甲每分鐘多走60-50=10(米).

由此知乙、丙從出發(fā)到相遇所用的時(shí)間是240÷10=24(分).

所以,A、B兩地相距(60+70)×24=3120(米).

解法二甲、丙相遇時(shí),甲、乙兩人相距的路程就是乙、丙相背運(yùn)動(dòng)的路程和,即(60+70)×2=260(米).

甲、乙是同時(shí)出發(fā)的,到甲、丙相遇時(shí),甲、乙相距260米,所以,從出發(fā)到甲、丙相遇需260÷(60-50)=26(分).

所以,A、B兩地相距(50+70)×26=3120(米).

答：A、B兩地相距3120米

例3甲、乙兩名同學(xué)在周長為300米圓形跑道上從同一地點(diǎn)同時(shí)背向練習(xí)跑步，甲每秒鐘跑3.5米，乙

每秒鐘跑4米，問：他們第十次相遇時(shí)，甲還需跑多少米才能回到出發(fā)點(diǎn)？

【分析】這是一道環(huán)形跑道的多次相遇問題。要知道甲還需跑多少米才能回到出發(fā)點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上只要知道甲

最后一次離開出發(fā)點(diǎn)又跑出了多少米。我們先來看看甲從一開始到與乙第十次相遇

時(shí)共跑了多

遠(yuǎn)。不難知道，這段時(shí)間內(nèi)甲、乙兩人共跑的路程是操場周長的10倍（300×10=3000米）。因

為甲的速度為每秒鐘跑3.5米，乙的速度為每秒鐘跑4米，由上一講我們可以知道，這段時(shí)間內(nèi)

甲共行1400

3.5

(3000

3.54

=?

+

米

，也就是甲最后一次離開出發(fā)點(diǎn)繼續(xù)行了200

米知道甲還需行

100（=300-200）米。

1400÷300=4（圈）……200（米）

300-200=100（米）

答：甲還需跑100米才能回到出發(fā)點(diǎn).

反饋練習(xí)：

2、如下圖，A，B是圓的直徑的兩端，甲在A點(diǎn)，乙在B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向而行，兩人在C

點(diǎn)第一次

相遇，在D點(diǎn)第二次相遇。已知C離A有80米，D離B有60米，求這個(gè)圓的周長。

例4有一路電車的起點(diǎn)站和終點(diǎn)站分別是甲站和乙站。每隔5分鐘有一輛電車從甲站出發(fā)

開往乙站，全程要走15分鐘。有一個(gè)人從乙站出發(fā)沿電車路線騎車前往甲站。他出發(fā)的時(shí)候，恰好有一輛電車到達(dá)乙站。在路上他又遇到了10輛迎面開來的電車，才到達(dá)甲站。這時(shí)候，恰好又有一輛電車從甲站開出。問他從乙站到甲站用了多少分鐘?

【解】因?yàn)殡娷嚸扛?分鐘發(fā)出一輛，15分鐘走完全程。騎車人在乙站看到的電車是15分鐘以前發(fā)出的，可以推算出，他從乙站出發(fā)的時(shí)候，第四輛電車正從甲站出發(fā)。騎車人從乙站到甲站的這段時(shí)間里，甲站發(fā)出的電車是從第4輛到第12輛。電車共發(fā)出9輛，共有8個(gè)間隔，于是5×8＝40（分）答：他從乙站到甲站用了40分鐘。

例5有一座時(shí)鐘現(xiàn)在顯示10時(shí)整．那么，經(jīng)過多少分鐘，分針與時(shí)針第一次重合；再經(jīng)過多少分鐘，分針與時(shí)針第二次重合

?

【分析】常見鐘表(機(jī)械)的構(gòu)成：一般時(shí)鐘的表盤大刻度有12個(gè)，即為小時(shí)數(shù)；小刻度有

60個(gè)，即為分鐘數(shù)．所以時(shí)針一圈需要12小時(shí)，分針一圈需要60分鐘(1小時(shí))，

時(shí)針的速度為分針?biāo)俣鹊?

12．如果設(shè)分針的速度為單位“l(fā)”，那么時(shí)針的速度為“1

12”．

【解】在10點(diǎn)時(shí)，時(shí)針?biāo)谖恢脼榭潭?0，分針?biāo)谖恢脼榭潭?2；當(dāng)兩針重合時(shí)，分

針必須追上50個(gè)小刻度，設(shè)分針?biāo)俣葹椤發(fā)”，有時(shí)針?biāo)俣葹椤?/p>

1

12

”，于是需要時(shí)

間：

16

50(1)54

1211

÷-=．所以，再過

6

54

11

分鐘，時(shí)針與分針將第一次重合．第

二次重合時(shí)顯然為12點(diǎn)整，所以再經(jīng)過

65(1210)605465

1111

-?-=分鐘，時(shí)針

與分針第二次重合．

答：再過

6

54

11

分鐘，時(shí)針與分針將第一次重合，再經(jīng)過

5

65

11

分鐘，時(shí)針與分針第二次重

合．

反饋練習(xí)：

3、現(xiàn)在是3點(diǎn)，什么時(shí)候時(shí)針與分針第一次重合？

例6一輛車從甲地開往乙地。如果車速提高20%，可以比原定時(shí)間提前一小時(shí)到達(dá)；如果以原速行駛120

千米后，再將車速提高25%，則可以提前40分鐘到達(dá)。那么甲乙兩地相距多少千米？【分析】與分?jǐn)?shù)百分?jǐn)?shù)相結(jié)合的行程問題

【解】車速提高20%，速度比為5：6，路程一定的情況下，時(shí)間比應(yīng)為6：5，所以以原始速度行完全

程的時(shí)間為1÷（6－5）×6=6小時(shí)。以后一段路程為參考對象，車速提高25%，速度比為4：5，

所用時(shí)間比應(yīng)該為5：4，提前40分鐘到達(dá)，則用規(guī)定速度行駛完這一段路程需要40×5=200

分鐘，所以甲乙兩地相距270千米。

答：甲乙兩地相距270千米。

反饋練習(xí)：

4、甲、乙兩車分別從A、B兩地出發(fā)，相向而行。出發(fā)時(shí)，甲、乙的速度比是5：4，相遇

后，甲的速度減少20%，乙的速度增加20%，這樣，當(dāng)甲到達(dá)B地時(shí)，乙離A地還有10千米。那么A、B兩地相距多少千米？

例7學(xué)校組織春游，同學(xué)們下午一點(diǎn)出發(fā)，走了一段平坦的路，爬了一座山，然后按原路返回，下午七

點(diǎn)回到學(xué)校。已知他們的步行速度平地為4千米／時(shí)，上山為3千米／時(shí)，下山為6千米／時(shí)。

問：他們一共走了多少千米？

【分析】運(yùn)用方程解題

【解】方法一：設(shè)下山用t時(shí)，則上山用2t時(shí)，走平路用（6-3t）時(shí)。

全程為4（6-3t）＋3×2t＋6×t＝24（千米）。

方法二：設(shè)山路有X千米，則上山用時(shí)間X/3小時(shí)，下山用X/6小時(shí)，

計(jì)算平均速度為2X/(X/3+X/6)=4千米/小時(shí)，與平地速度一樣。

所以一共走了6×4=24千米。

答：他們一共走了24千米

【過關(guān)練習(xí)】

1、甲、乙兩地間的路程是600千米,上午8點(diǎn)客車以平均每小時(shí)60千米的速度從甲地開往乙地.貨車以平

均每小時(shí)50千米的速度從乙地開往甲地.要使兩車在全程的中點(diǎn)相遇,貨車必須在上午幾點(diǎn)出發(fā)？

2、王明回家,距家門300米,妹妹和小狗一齊向他奔來,王明和妹妹的速度都是每分鐘50米,小狗的速度是每

分鐘200米,小狗遇到王明后用同樣的速度不停往返于王明與妹妹之間.當(dāng)王明與妹妹相距10米時(shí),小狗

一共跑了多少米？

3、甲每分鐘走50米,乙每分鐘走60米,丙每分鐘走70米,甲乙兩人從A地,丙一人從B地同時(shí)相向出發(fā),丙

遇到乙后2分鐘又遇到甲,A、B兩地相距多少米.

4、鐘表的時(shí)針與分針在4點(diǎn)多少分第一次重合？

5、客車和貨車同時(shí)從甲、乙兩地相向開出，客車行完全程需10時(shí)，貨車行完全程需15時(shí)。兩車在中途

相遇后，客車又行了90千米，這時(shí)客車行完了全程的80％，求甲、乙兩地的距離。

【提高練習(xí)】

1、甲、乙、丙三輛車先后從A地開往B地，乙比丙晚出發(fā)5分，出發(fā)后45分追上丙；甲比乙晚出發(fā)

15分，出發(fā)后1時(shí)追上丙。甲出發(fā)后多長時(shí)間追上乙？

2、甲、乙兩人同時(shí)從山腳開始爬山，到達(dá)山頂后就立即下山。他們兩人下山的速度都是各自上山速度的

2倍。甲到山頂時(shí)，乙距山頂還有400米；甲回到山腳時(shí)，乙剛好下到半山腰。求從山腳到山頂?shù)木嚯x。

3、在9點(diǎn)與10點(diǎn)之間的什么時(shí)刻，分針與時(shí)針在一條直線上？

5、小明早上從家步行到學(xué)校，走完一半路程時(shí)，爸爸發(fā)現(xiàn)小明的數(shù)學(xué)課本丟在家里，隨即騎車去給小明

送書，追上時(shí)，小明還有

3

10的路程未走完，小明隨即上了爸爸的車，由爸爸送往學(xué)校。

這樣，小明就

比獨(dú)自步行提早了5分鐘到學(xué)校，小明從家到學(xué)校全部步行需要多少分鐘？

6、某體育館有兩條周長分別為150米和250米的圓形跑道〔如圖〕，甲、乙兩個(gè)運(yùn)動(dòng)員分別從兩條跑道相

距最遠(yuǎn)的兩個(gè)端點(diǎn)A、B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)跑到兩圓的交匯點(diǎn)C時(shí)，就會(huì)轉(zhuǎn)入到另一個(gè)圓形跑道，且

在小跑道上必須順時(shí)針跑，在大跑道上必須逆時(shí)針跑。甲每秒跑4米，乙每秒跑5米，當(dāng)乙第5次與

甲相遇時(shí)，所用時(shí)間是多少秒?

答案：反饋練習(xí)

1、24千米

2、360米

3、

4

90(60.5)16

11

÷-=4、450千米

過關(guān)練習(xí)

1、7點(diǎn)

2、580米

3、3120米

4、

119

2021

1211

÷=5、450千米

提高練習(xí)

1、75分

2、2400米

3、

1

270(60.5)49

11

÷-=

4、

1

23

3分5、1800

秒

圓的周長和面積

【知識梳理】

知識點(diǎn)圓的周長和面積

S：面積C：周長π：圓周率d：直徑r：半徑

（π是圓周率，是個(gè)常量，通常題目中圓周率取3.14，如果題目有特殊要求就按題目的具體要求取值。）

1、圓的周長公式：C＝πd或C＝2πr

2、半圓的周長公式：C＝

2

1

πd+d3、四分之一圓的周長公式：C＝

4

1

πd+d4、圓的面積公式：S＝π2

r

5、四分之一圓的面積公式：S＝

4

1π2r6、半圓的面積公式：S＝

2

1π2r7、圓環(huán)的面積公式：S＝πR2

-π2r=π（R2

-2

r）

【典例剖析】

例1一個(gè)人要從A點(diǎn)到B點(diǎn)（如圖），他可以按①號弧形所表示的路線走，也可以按照②

號弧形所表示的路線走。哪條路線近？為什么？

【分析】假設(shè)大圓的直徑為g，三個(gè)小圓的直徑分別為d、e、f，按照題意，1號箭頭所表示的路線是大圓周長的一半，即πg(shù)÷2；2號箭頭所表示的路線是三個(gè)小圓周長的一半的總和，即πd÷2＋πe÷2＋πf÷2＝π（d＋e＋f）×1

2。因?yàn)閐＋e＋f＝g，即πg(shù)÷2＝

πd÷2＋πe÷2＋πf÷2，所以兩條路線同樣長。

【解】設(shè)外面半圓直徑為g，三個(gè)小圓直徑分別為d、e、f；則：g=d＋e＋f。外面半圓路線周長：C1=1

2

πg(shù)

里面三個(gè)小半圓路線周長：C2=12πd+12πe+12πf，C2=1

2π（d＋e＋f）

因?yàn)椋篻=d＋e＋f，所以：C2=1

2πg(shù)，所以：C1=C2

答：兩條路線一樣長。

例2一個(gè)長方形的長是6.42米，寬是3米，這個(gè)長方形的周長與一個(gè)圓的周長相等，這個(gè)圓的周長的半徑是多少米？

【分析】如果想求圓的半徑需要知道圓的周長，根據(jù)這個(gè)長方形的周長與一個(gè)圓的周長相等，長方形的周長等于（6.42+3）×2=18.84（米），說明圓的周長也是18.84米，從而求出圓的半徑。

【解】長方形的周長：（6.42+3）×2=18.84（米）

圓的直徑：18.84÷3.14=6（米），圓的半徑：6÷2=3（米）答：這個(gè)圓的周長的半徑是3米。

例3從一塊邊長10厘米的正方形鐵皮上剪下一個(gè)最大的圓。這塊圓形鐵皮的面積是多少平方厘米？剩下的鐵皮的面積占原來正方形的幾分之幾？

【分析】在一個(gè)正方形里，當(dāng)圓的直徑等于正方形的邊長時(shí)，所畫的圓最大。也就是要剪下的圓的直徑等于正方形的邊長時(shí)，才能剪下一個(gè)最大的圓?！窘狻浚?）圓形鐵皮的面積是：

（平方厘米）

（2）正方形的面積是：

（平方厘米）

（3）剩下的占原來的幾分之幾：

答：圓形鐵皮的面積是

平方厘米。剩下的鐵皮面積占原來正方形的43

200

。

例4一只掛鐘的分針長20厘米經(jīng)過45分后，這根分針的尖端所走的路程是多少厘米？【分析】分針尖端所走的路程，可以看作是一個(gè)點(diǎn)在半徑為20厘米的圓上移動(dòng)的長度?，F(xiàn)在要求經(jīng)過45分后，分針尖端所走的路程，就是求圓周長的45

60

是多少。

【解】

（厘米）

答：分針尖端所走的路程是厘米。

例5一個(gè)圓形花壇，直徑是10米，在它的外墻鋪一條1米寬的小路，這條小路的面積是多少平方米？

【分析】這條小路的面積實(shí)際就是環(huán)形的面積。內(nèi)圓直徑已知，外圓直徑應(yīng)該是10＋2＝12米，從而可以知道內(nèi)圓和外圓的半徑，再根據(jù)環(huán)形面積公式即可求出小路面積。

【解】外圓半徑：（10÷2）+1=6（米），內(nèi)圓半徑：10÷2=5（米）

環(huán)形面積：(6×6－5×5)×3.14

=11×3.14

=34.54(平方米)

答：這條小路的面積是34.54平方米。

【過關(guān)練習(xí)】

一、填空題

1、一個(gè)圓的直徑擴(kuò)大2倍，它的半徑擴(kuò)大（）倍，它的周長擴(kuò)大（）倍。

2、一個(gè)圓形花壇的半徑2.25米，直徑是（）米，周長（）米。

3、在一張長6厘米，寬4厘米的長方形紙片上畫一個(gè)最大的圓，這個(gè)圓的半徑是（）

厘米；如果畫一個(gè)最大的半圓，這個(gè)半圓的周長是（），這個(gè)半圓的面積是（）。

4、把圓沿著它的半徑r分成若干等份，剪開后可以拼成一個(gè)近似的（），這個(gè)

圖形的長相當(dāng)于圓周長的（），用字母表示是（）；寬相當(dāng)于圓的（），用字母表示是（）。所以圓的面積S＝()×()＝()。

5、有一個(gè)圓形魚池的半徑是10米，如果繞其周圍走一圈，要走（）米。

6、一個(gè)掛鐘的時(shí)針長5厘米，一晝夜這根時(shí)針的尖端走了（）厘米。

7、圓周率是圓的（）和（）比值。

8、用一根長4米的繩子畫一個(gè)最大的圓，這個(gè)圓的半徑（）米，周長（）

米，面積（）平方米。

二、選擇題。

1、從圓心到圓上任意一點(diǎn)的線段叫做（）

A、直徑

B、半徑

C、直線

2、周長相等的長方形、正方形、圓，（）面積最大。

A、正方形

B、長方形

C、圓

3、大圓半徑是小圓直徑的3倍，大圓的面積是小圓面積的（）倍。

A、3

B、6

C、9

D、36

4、圓的半徑由6厘米增加到9厘米，圓的面積增加了（）平方厘米。

A、9

B、45

C、45π

D、9π

三、判斷題

1、半徑是直徑的一半。（）

2、π=3.14.（）

四、應(yīng)用題

1、一種汽車輪胎的外直徑是10.2分米，每分鐘轉(zhuǎn)50周，車輪每分鐘前進(jìn)多少米？

2、一種手榴彈爆炸后，有效殺傷范圍的半徑是8米，有效殺傷面積是多少平方米？

3、在一個(gè)直徑是16米的圓心花壇周圍，有一條寬為2米的小路圍繞，小路的面積是多少平方米？

4、一個(gè)圓環(huán)的外圓直徑是10分米,內(nèi)圓半徑是40厘米.求這個(gè)圓環(huán)的面積?

【提高練習(xí)】

1、一輛自行車車輪外直徑為0.6米，小柳騎自行車從家到學(xué)校，如果每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)100周，

他從家到學(xué)校出發(fā)10分鐘到達(dá)學(xué)校，小柳家距學(xué)校多少米？

2、一個(gè)長方形長5米，寬3米，有一個(gè)半徑是3分米的圓沿著這個(gè)正方形內(nèi)側(cè)邊沿滾一圈。

求圓滾過的面積和路徑長。

3、一輛自行車輪胎的外直徑是70厘米，如果車輪平均每分鐘轉(zhuǎn)100圈，半小時(shí)可以行多少

米？

4、一個(gè)圓形花圃直徑8米，用四分之三種蘭花，蘭花的種植面積是多少？

5、在一張邊長10厘米的正方形紙上剪一個(gè)最大的圓后，這個(gè)正方形和圓的面積比是多少？

6、在一張周長為4厘米的圓形硬紙板上，剪一個(gè)最大的正方形，求圓和正方形的面積比。

7、用兩根長12.56厘米的鐵絲分別圍成一個(gè)正方形和一個(gè)圓，哪個(gè)面積大？大多少？

8、已知圓內(nèi)有一個(gè)等腰直角三角形，它的面積是7平方分米，過這個(gè)圓的面積是多

少？

9、兩個(gè)小圓的周長的和與大圓的周長相比，哪個(gè)長？(單位：厘米)

10

10、一個(gè)木盆的底面是圓形。在它的底部箍一根長2.552米的鐵絲，鐵絲的接頭處用了0.04

米。這個(gè)木盆的底面直徑是多少米？

11、一個(gè)水缸的缸口是一個(gè)圓形，直徑是0.75米。給這個(gè)水缸做一個(gè)木蓋，要求木蓋的直

徑比缸口直徑大5厘米。木蓋的面積是多少平方厘米？

12、一個(gè)木桶的底面半徑是40厘米，現(xiàn)用粗鐵絲在木桶側(cè)面圍上了3圈，至少需要多少米

的粗鐵絲？

13、用18.84米的籬笆靠墻圍成了一個(gè)半圓形的養(yǎng)雞場，這個(gè)養(yǎng)雞場的面積是多少平方米？

14、在直徑為8米的圓形水池四周鋪一條1米寬的小路，這條小路的面積是多少平方米？

15、一個(gè)掛鐘，時(shí)針長40厘米，經(jīng)過一晝夜，時(shí)針掃過的面積是多少平方厘米？

16、一個(gè)鐘面上的時(shí)針長5厘米，從上午8時(shí)到下午2時(shí)，時(shí)針尖端走了多少厘米？

17、在一塊邊長6分米的正方形鐵皮上剪去兩個(gè)相等并盡可能大的圓，剩下的鐵皮面積是多

少平方分米？

小升初數(shù)學(xué)專題———解決問題的策略

解決問題的策略

列表法、枚舉法、畫圖法

一、知識梳理

1、畫圖：用畫線段圖和直觀圖的方法把數(shù)量關(guān)系表示出來，把題意形象具體，一目了然，以便較快找到解題的途徑，它對解答條件隱蔽、復(fù)雜疑難的應(yīng)用題，能起到化難為易的作用。列表：在解決問題時(shí)，可以用表格將條件和問題整理出來，就能發(fā)現(xiàn)數(shù)量之間的聯(lián)系，尋找規(guī)律。

2、列舉：在解題時(shí)，常會(huì)遇到一些問題不容易列出算式來解答，我們可以根據(jù)要求，把符合要求的事物一一列舉出來，列舉時(shí)要注意不重復(fù)、不遺漏、有順序地列舉。若是列舉時(shí)數(shù)據(jù)過多，可以用加法原理和乘法原理來幫助計(jì)數(shù)。

二、精講例題

例題1、一個(gè)三角形的面積是12平方米，這個(gè)三角形的底和高分別是多少米？

分析：底×高÷2=12

可以得到底×高=24

列表

所以有8種情況。

例2、五（3）班49位同學(xué)到公園去劃船，每只小船可以坐3人，每只大船可以做5人，大船和小船都要坐滿人。那么，租大、小船有多少種不同的方案？

分析：當(dāng)有一只小船時(shí)，（49-3）÷5=9(1)

當(dāng)有2只小船時(shí)，（49-2×3）÷5=8(3)

當(dāng)有3只小船時(shí)，（49-3×3）÷5=8

·

·

·

當(dāng)有13只小船時(shí)，（49-13×3）÷5=2列表

例3、A、B、C、D、E五位同學(xué)進(jìn)行乒乓球循環(huán)賽（其中任何一位同學(xué)都必須和其他每一位同學(xué)進(jìn)行一場比賽），比賽進(jìn)行了一段時(shí)間后，A賽了4場，B賽了3場，C賽了2場，D賽了1場，請問這時(shí)E賽了多少場？

分析：由賽制可知：A賽了4場，則B、C、D、E都與A賽了一場；B賽了3場，則是與A、C、E各賽了一場（由于D只賽了一場已與A賽過）；C賽了兩場即是與A、B賽的，

所以此時(shí)E賽了兩場，即是與A、B賽的．列表：

例4、已知大正方形比小正方形邊長多2厘米，大正方形的面積比小正方形面積大40平方厘米，求大小正方形的面積。分析：根據(jù)題意可畫圖如右所示：

陰影部分面積是40平方厘米，可將其分為3部分，其中兩方長方形相同，右下角為邊長2cm的正方形，即可求出

陰影的長方形面積，則可得出小正方形的邊長解：小正方形邊長：（40－2×2）÷2÷2=9（厘米）小正方形面積：9×9=81（平方厘米）

大正方形面積：81+40=121（平方厘米）

答：小正方形面積是81平方厘米，大正方形面積是121平方面積。

例5、滬寧高速公路全長330千米，兩輛汽車分別從上海和南京同時(shí)出發(fā)，甲車每小時(shí)行94千米，乙車每小時(shí)行86千米，1小時(shí)后兩車相距多少千米？2小時(shí)后兩車相距多少千米？分析：1小時(shí)后：如圖所示330千米

南京（乙）上海（甲）86千米？千米94千米

解：330－86－94=150千米

答：1小時(shí)后兩車相距150千米。

分析：2小時(shí)后，如圖所示330千米

94千米94千米

南京（乙）上海（甲）

86千米86千米

解：86×2＋94×2－330=30（千米）

答：2小時(shí)后兩車相距30千米

三、課堂練習(xí)

1、有1元、2元、5元的人民幣各一張，從中選擇一張或兩張人民幣，一共可以組成多少種不同的錢數(shù)？

2、重陽節(jié)到了，王芳、李剛、張明三人去花木市場買花去敬老院慰問老人。

王芳說：“我買3盆花用75元?！?/p>

李剛說：“我買了7盆花?！?/p>

張明說：“我買花用去了125元。”

3、學(xué)校買了5枝毛筆，7枝鋼筆和9枝圓珠筆。毛筆每枝24元，鋼筆每枝49元，圓珠筆每枝8元。(1)毛筆和鋼筆一共用去多少元？(2)鋼筆比圓珠筆多用去多少元？

4、一塊長方形水泥地，長18米，如果把它的長增加3米，面積會(huì)增加15平方米。原來水泥地的面積是多少平方米？

5、一個(gè)正方形的草坪，如果把它的邊長增加2米，它的面積會(huì)增加28平方米，原來的正方形草坪的面積是多少平方米？

6、一塊長方形的草坪，長8米，寬4米，如果把它的長和寬都增加2米它的面積增加了多少平方米？

7、小虎早上從家到學(xué)校上學(xué)，要走1.3千米，他走了0.3千米后發(fā)現(xiàn)沒有帶數(shù)學(xué)作業(yè)本，又回家去取。這樣他比平時(shí)上學(xué)多走了多少千米？

8、大象奔跑的速度大約每分鐘500米，羚羊奔跑的速度是大象的4倍少11米，羚羊每分鐘跑多少米?

四、課后作業(yè)

1、江陰大賣場是10路和2路公交車的起始站。早上6：00整10路車開始發(fā)車，以后每隔10分鐘發(fā)一班車；6時(shí)30分2路車開始發(fā)車，以后每隔15分鐘發(fā)一班車。這兩路車第二次同時(shí)發(fā)車的時(shí)間是幾時(shí)幾分？（請列表找出答案）

2、一個(gè)宇宙飛船3秒航行36千米。照這樣的速度填寫下表。

3、一塊長方形的草地，寬5米，長12米，如果把它的長增加3米，寬減少3米，它的面積

與原來的相比是增加了，還是減少了？

4、一塊長方形草坪，長12米，寬8米。在它的四周修一條一米寬的小路，并在小路靠草坪的一邊每隔2米放一盆花。這條小路的面積是多少平方米？共需要多少盆花？

5、一個(gè)長方形的花壇,長50米,寬12米,如果寬增加2米,長不變,這個(gè)花壇的面積增加了多少平方米?

6、一個(gè)正方形的花壇,如果把它的邊長增加5米,它的面積比原來的面積多了125平方米,這個(gè)正方形花壇原來的面積是多少平方米?

7、五年級同學(xué)去植樹，上午植的棵數(shù)比總數(shù)的一半少6棵，下午植的棵數(shù)比所剩下的一半多8棵，結(jié)果還剩25棵沒有種，這批樹苗有多少棵？

8、東東和陽陽共有郵票120枚，東東把20枚陽陽喜歡的花卉郵票送給陽陽后，陽陽選出了

15枚東東喜歡的動(dòng)物郵票送給東東，這時(shí)，東東的郵票是陽陽的一半，東東與陽陽原來各有郵票多少枚？

解決問題的策略

還原法、假設(shè)法、替換法

一、知識梳理

1、還原法（倒推法）：從結(jié)果開始，一步一步倒推回去，每步倒推時(shí)所用的方法要?jiǎng)偤煤驮瓉硐喾?，例如原來加的倒推回去就是減，原來減得倒回去就是加，原來乘的倒回去就是除，原來除的就倒回去乘，一直推到最初的數(shù)據(jù)。

2、替換與假設(shè)：“替”指的是替代，“換”指的是更換，替換就是將實(shí)際問題中的數(shù)量用別的數(shù)量來代替，從而使問題簡化。假設(shè)是指對條件和問題進(jìn)行假定和預(yù)設(shè)，然后根據(jù)數(shù)量之間的關(guān)系，對假定和預(yù)設(shè)進(jìn)行調(diào)整，從而得到問題的答案。

轉(zhuǎn)化：把較復(fù)雜的問題變成較簡單的問題，把新穎的問題變成已經(jīng)解決的問題。

二、精講例題

例1、甲、乙兩位師傅共做零件135個(gè)，如果從甲做的零件中拿36個(gè)給乙，而又從乙做的零件中拿出45個(gè)給甲，這時(shí)乙的零件個(gè)數(shù)是甲的1.5倍，原來甲、乙?guī)煾蹈髯隽慵嗌賯€(gè)？

分析：根據(jù)和倍問題先求出甲現(xiàn)有零件的個(gè)數(shù)，135÷（1.5+1）=54（個(gè)），再逆推出他原有零件的個(gè)數(shù)：54-45+36=45（個(gè)），乙原有零件135-45=90（個(gè)）。

我們可以用列表法把逆推的過程表示出來：

例2、甲、乙、丙、丁各有棋子若干枚，甲先拿出自己棋子的一部分給乙、丙，使乙、丙每人的棋子各增加一倍，然后乙也把自己的棋子的一部分以同樣的方式給丙、丁，丙也將自己的棋子的一部分以這樣的方式給了甲、丁，最后丁也將自己的棋子的一部分以這樣的方式給了甲、乙。這時(shí)四人的棋子都是16枚。原來甲、乙、丙、丁四人各有棋子多少枚？

分析：最后一次四人的棋子都是16枚，每次變化中，有一人的棋子數(shù)未動(dòng)，有兩人的棋子數(shù)增加一倍，倒推時(shí)應(yīng)除以“2”，另一個(gè)人的棋子數(shù)減少了兩人增加的總數(shù)。

我們可以用列表法進(jìn)行倒推：

例3、王師傅和李師傅一起打一份稿件。王師傅打5分鐘，李師傅打6分鐘，兩人一共打了757個(gè)字。已知王師傅每分鐘比李師傅多打15個(gè)字。王師傅每分鐘打多少個(gè)字？李師傅每分鐘打多少個(gè)字？

分析：王師傅每分鐘比李師傅多打15個(gè)字，王師傅5分鐘就比李師傅多打了15*5=75個(gè)字，757-75=682，也就是李師傅在11（5+6）分鐘打了682個(gè)字，每分鐘打682/11=62個(gè)字，王師傅每分鐘打15+62=77個(gè)字。

例4、文具店里鉛筆的支數(shù)是鋼筆的2倍，每天賣出鋼筆15支，鉛筆20支，若干天后，鋼筆賣完，鉛筆還有80支，文具店里原有鋼筆多少只，鉛筆有多少只？

分析：因?yàn)殂U筆數(shù)是鋼筆的2倍，每天賣出鋼筆15支，那么每天賣出鉛筆30支的話正好同時(shí)賣完沒有剩余，但是現(xiàn)在每天只賣20支，少賣30-20=10，結(jié)果剩余80支，80/10=8，就是賣了8天，鉛筆有8*20+80=240（支），鋼筆有240/2=120（支）

例5、20個(gè)同學(xué)種樹，男同學(xué)每人種樹8棵，女同學(xué)每人種樹3棵，男同學(xué)一共比女同學(xué)多

種樹28棵。參加種樹的男同學(xué)有多少人？

分析：先假設(shè)有10個(gè)男同學(xué)，10個(gè)女同學(xué)，男同學(xué)種10*8=80，女同學(xué)種10*3=30，男比女多種了80-30=50棵，而實(shí)際男同學(xué)比女同學(xué)多種了28棵，多了50-28=22棵，是因?yàn)槲覀儼岩徊糠峙瑢W(xué)假設(shè)成了男同學(xué)，那么假設(shè)錯(cuò)的人數(shù)是22/（8+3）=2人，那么男同學(xué)就應(yīng)該有10-2=8人，女同學(xué)有10+2=12人。

三、課堂練習(xí)

1、填一填。

（1）（□+5）÷7-0.5=4.5，□=（）。

（2）（△×6-△-2）÷6=3，△=（）。

2、一瓶油先吃去0.4千克，再吃去余下的一半，這時(shí)還剩油0.3千克，這瓶油有多少千克？

3、某數(shù)加上5，乘以5，減去5，除以5，其結(jié)果還是5，這個(gè)數(shù)是多少？

4、四、五年級同學(xué)去植樹，上午植的棵數(shù)比總數(shù)的一半少6棵，下午植的棵數(shù)比所剩下的一半多8棵，結(jié)果還剩25棵沒有種，這批樹苗有多少棵？

5、一次數(shù)學(xué)競賽，共15題，每做對一題得8分，做錯(cuò)或不做倒扣4分，小剛得了84分，問他做對了幾道題？

6、小文買了3個(gè)筆記本和8個(gè)練習(xí)本，共用去14.6元錢，每本練習(xí)本比每本筆記本便宜2.3元，筆記本和練習(xí)本的單價(jià)各是多少元？

7.某學(xué)校進(jìn)行軍訓(xùn)活動(dòng)，晴天每天行18千米，雨天每天行12千米，12天共行204千米，這期間雨天有多少天？

8.學(xué)校春游共用了10輛客車，已知大客車每輛可乘50人，小客車每輛可乘30人，大客車比小客車一共多乘260人，大小客車各幾輛？

四、課后作業(yè)

1、東東和陽陽共有郵票120枚，東東把20枚陽陽喜歡的花卉郵票送給陽陽后，陽陽選出了15枚東東喜歡的動(dòng)物郵票送給東東，這時(shí)，東東的郵票是陽陽的一半，東東與陽陽原來各有郵票多少枚？

2、有一筐蘋果，第一次取出全部的一半多2個(gè)，第二次取出余下的一半少2個(gè)，筐中還剩20個(gè)，筐中原有蘋果多少個(gè)？

3、猴子吃桃子，第一天吃了一半又一個(gè)，第二天吃了余下的一半又一個(gè)，第三天也吃了余下的一半又一個(gè)，第四天、第五天都分別吃了前一天余下的一半又一個(gè)，最后剩下一個(gè)桃子，原有桃多少個(gè)？

4、買語文書30本,數(shù)學(xué)書24本共花83.4元.每本語文書比每本數(shù)學(xué)書貴0.44元.每本語文書和數(shù)學(xué)書的價(jià)格各是多少元？

5、在3各同樣的大箱子和4個(gè)同樣的小箱子厘裝滿了同一種玩具，正好是120個(gè)，每個(gè)大箱子比小箱子多裝5個(gè)，每個(gè)大箱子和小箱子各裝多少個(gè)？

6、、雞兔同籠，共有頭48個(gè)，腳132只，求雞和兔各有多少只？

7、小明給班里買了甲、乙兩種電影票共50張，甲票每張0.5元，乙票每張0.35元，共花了19.6元，問買甲票和買乙票各多少張？

8、2分和5分的硬幣共36枚共值99分。問兩種硬幣各多少枚？

9、一次數(shù)學(xué)競賽共有20道題。做對一道題得5分，做錯(cuò)一題倒扣3分，小明考了52分，你知道劉冬做對了幾道題？

10、托運(yùn)水瓶膽350箱，每箱裝6個(gè)。合同規(guī)定每箱運(yùn)費(fèi)10元，如果損壞一箱，不給運(yùn)費(fèi)并賠償損失50元。結(jié)算時(shí)共得運(yùn)費(fèi)3200元。一共損壞了多少個(gè)水瓶膽？

行程問題

第一講相遇問題和追及問題

一、知識梳理

在行程問題中，有時(shí)要討論兩個(gè)或幾個(gè)運(yùn)動(dòng)物體（人、車、船等）行進(jìn)的關(guān)系，當(dāng)它們在同一段路兩個(gè)不同的地點(diǎn)相向而行時(shí)，如果同時(shí)到達(dá)一個(gè)地點(diǎn)，通常叫做相遇；當(dāng)它們同向而行時(shí)，如果后面的行進(jìn)速度比前面快，后面的與前面的同時(shí)到達(dá)同一地點(diǎn)，通常叫做追及。

相遇問題解題思路：速度和×相遇時(shí)間=總路程

追及問題解題思路：速度差×追及時(shí)間=多行路程

二、精講例題

例題1.兩輛汽車從相距276千米的兩地相對開出，一輛汽車每小時(shí)行57千米，另一輛汽車每小時(shí)比它每小時(shí)快1千米。（1）經(jīng)過幾小時(shí)兩車相遇？（2）從開始到相距46千米用了幾個(gè)小時(shí)？（3）從開始到相遇后又相距69千米共用了幾個(gè)小時(shí)?

【分析與解】這是一道典型的相遇問題，由“速度和×同時(shí)行的時(shí)間＝路程和”可知，要求時(shí)間，關(guān)鍵是要能通過題目中條件正確推導(dǎo)出其同時(shí)行的路程和。問題1，所對應(yīng)的路程和是276千米；問題2，所對應(yīng)的路程和是276－46＝230（千米）；問題3，所對應(yīng)的路程和是276＋69＝345（千米）。顯然，問題1，兩車相遇時(shí)間：276÷（57×2＋1）＝2.4（小時(shí)）；問題2，從開始到相距46千米所用時(shí)間：230÷（57×2＋1）＝2（小時(shí)）；問題3，從開始到相遇后又相距69千米所用時(shí)間：345÷（57×2＋1）＝3（小時(shí)）。

【總結(jié)說明】速度和×同時(shí)行的時(shí)間＝同時(shí)行的路程；2.同時(shí)行的路程和不一定就是兩地間的距離。

例題2.A、B兩地相距470千米，乙車每小時(shí)以40千米，甲車以每小時(shí)46千米的速度先后從兩地出發(fā)，相向而行，相遇時(shí)甲車行駛了230千米。問：乙車比甲車早出發(fā)幾小時(shí)？【分析與解】相遇問題通常都可以運(yùn)用“速度和×同時(shí)行的時(shí)間＝路程和“的公式解決問題，此題要求時(shí)間，但兩車行駛時(shí)間卻不相同，所以給解題帶來了障礙。根據(jù)“相遇時(shí)甲車行

駛了230千米”這一數(shù)學(xué)信息我們卻可以求出甲車行駛時(shí)間：230÷46＝5（小時(shí)）。因?yàn)槁烦毯筒蛔儯醇总囆旭偮烦蹋臆嚶烦蹋铰烦毯?，所以乙車路程?76－230＝240（千米），乙車速度為：240÷40＝6（小時(shí)）。顯然，乙車比甲車早出發(fā)的時(shí)間為：6－5＝1（小時(shí)）。

當(dāng)知道甲車行駛時(shí)間，我們還可以算出甲乙兩車同時(shí)行的路程：（46＋60）×5＝430（千米），自然，乙車先行駛的時(shí)間：（470－430）÷40＝1（小時(shí)）。

例題3.甲、乙兩人同時(shí)從A、B兩地相對而行，甲每分鐘行200米，乙每分鐘行160米。兩人在距中點(diǎn)80米處相遇。A、B兩地相距多少千米？

【分析與解】由題意可知二人的速度，所以解題的關(guān)鍵在于求出同時(shí)行駛的時(shí)間。由“兩人在距中點(diǎn)80米處相遇”得，較快的甲所行路程比一半路程多80米，而乙正好相反，即比一半路程少80米，如此可知，相遇時(shí)甲比乙多行路程，即路程差80×2＝160（米）。根據(jù)甲乙的速度，我們不難得出甲乙每分鐘產(chǎn)生的路程差，即速度差200－160＝40（米）。甲乙兩車同時(shí)行的時(shí)間：160÷40＝4（分），那A、B兩地相距：（200＋160）×4＝14400（米）＝1.44（千米）。

【總結(jié)說明】速度差×同時(shí)行的時(shí)間＝路程差。

例題4.晚飯后，小明和爸爸沿同一條公路去散步，小明走得慢，每分鐘走60米，所以他先從家出發(fā)。5分鐘后，爸爸以每分鐘80米的速度去追小明。爸爸經(jīng)過多少分鐘可以追上小明？

【分析與解】爸爸要想追上小明最終離開家的距離必須要和小明相同，即爸爸從家出發(fā)到追上小明這段時(shí)間要比小明多行小明前面5分鐘所走的路程：5×60＝300（米）。而每分鐘爸爸要比小明多走：80－60＝20（米），300里面有幾個(gè)20就是需要幾分鐘可以追上小明。顯然，300÷20＝15（分），即爸爸經(jīng)過15分鐘可以追上小明。

例題5.甲、乙兩人相距40千米，甲先出發(fā)1.5小時(shí)，乙再出發(fā)，甲在后乙在前，兩人同向而行，甲的速度為每小時(shí)8千米，乙的速度為每小時(shí)6千米，甲出發(fā)后幾小時(shí)追上乙？【分析與解】甲、乙兩人原來相距40千米，但由于甲先出發(fā)1.5小時(shí)，所以兩車開始追及時(shí)相距：40－8×1.5＝28（千米）。也就是說，甲車追上乙車時(shí)比乙車多行28千米。根據(jù)“速

度差×同時(shí)行的時(shí)間＝路程差”，不難求出同時(shí)行的時(shí)間：28÷（8－6）＝14（時(shí)），再加上甲先出發(fā)1.5小時(shí)：14＋1.5＝15.5（小時(shí)），即是甲出發(fā)后追上乙所用時(shí)間。

例題6.甲、乙兩村相距3550米，小偉從甲村步行往乙村，出發(fā)5分鐘后，小強(qiáng)騎自行車從乙村前往甲村，經(jīng)過10分鐘遇見小偉。小強(qiáng)騎車每分鐘行的比小偉步行每分鐘多160米，小偉每分鐘走多少米？

【分析與解】如果小強(qiáng)每分鐘少行160米，他行的速度就和小偉步行的速度相同，這樣小強(qiáng)10分鐘就少行了160×10=1600（米），小偉（5＋10）分鐘和小強(qiáng)10分鐘一共行走的路程是3550－1600=1950（米），那么小偉每分鐘走的路是1950÷（5＋10＋10）=78（米）。

三、課堂練習(xí)

1．甲、乙二人在一個(gè)長400米的環(huán)形跑道上從同一點(diǎn)，同時(shí)反向而行，甲每分鐘走45千米，乙每分鐘走35千米，多少分鐘后兩人第一次相遇？

2.兩地之間的路程長300千米，每輛汽車同時(shí)從兩地相向開出，2.5小時(shí)后兩車之間還相距50千米，已知一輛汽車每小時(shí)行45千米，另一輛汽車每小時(shí)行多少千米？

3.快車和慢車同時(shí)從甲、乙兩站出發(fā)，相向而行，經(jīng)過5小時(shí)相遇。相遇后快車?yán)^續(xù)行駛4小時(shí)到達(dá)乙地。已知慢車每小時(shí)行52千米，甲、乙兩站相距多少千米？

4.（2010·樹人）張家港到南京的路程長240千米。甲、乙兩輛汽車同時(shí)從張家港和南京相對開出，經(jīng)過1.5小時(shí)兩車在途中相遇。已知甲車的速度是乙車的3/5，乙車每小時(shí)行多少千米？

5.（2008·樹人）星期天，王成從家出發(fā)騎自行車到圖書館看書，每分鐘行200千米。騎5分鐘后，他發(fā)現(xiàn)車胎壞了，只好改為推車步行，速度是騎車的2/5。這樣他比預(yù)定時(shí)間遲到了15分鐘。（1）王成從家到圖書館實(shí)際用了多少分鐘？（2）王成家與圖書館相距多少千米？

6.在400米環(huán)形跑道上,A、B兩點(diǎn)相距100米(如圖).甲、乙兩人分別從A、B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),按逆時(shí)針方向跑步.甲每秒跑5米,乙每秒跑4米,每人每跑100米,都要停10秒鐘.那么,甲追上乙需要多少秒？

四、課堂總結(jié)

相遇問題解題思路：速度和×相遇時(shí)間=總路程追及問題解題思路：速度差×追及時(shí)間=多行路程

五、課后作業(yè)

1.一列客車和一列貨車同時(shí)從相距20千米的兩地相背而行，客車每小時(shí)行68千米，貨車

每小時(shí)行52千米，5小時(shí)后兩車相距多少千米？

2.兩港相距267千米，貨船以每小時(shí)33千米的速度，客船以每小時(shí)45千米的速度先后從

兩港開出，相向而行，相遇時(shí)客船行了135千米。貨船比客船提前幾小時(shí)開出？

3.兩地相距93千米，甲、乙兩人騎自行車同時(shí)從兩地相對出發(fā)，經(jīng)過3小時(shí)相遇。相遇后

又同時(shí)行駛了2小時(shí)，這時(shí)，甲、乙兩人相距多少千米？

4.甲、乙兩地相距352千米.甲、乙兩汽車從甲、乙兩地對開.甲車每小時(shí)行36千米,乙車

每小時(shí)行44千米.乙車因事,在甲車開出32千米后才出發(fā).兩車從各自出發(fā)起到相遇時(shí),哪輛汽車走的路程多?多多少千米?

5.甲、乙兩車從A、B兩城市對開,已知甲車的速度是乙車的5

6

.甲車先從A城開55千米后,

乙車才從B城出發(fā).兩車相遇時(shí),甲車比乙車多行駛30千米.試求A、B兩城市之間的距離.

6.一只螞蟻沿等邊三角形的三條邊由A點(diǎn)開始爬行一周.在三條邊上爬行的速度分別為每分

50厘米、每分20厘米、每分30厘米(如右圖).它爬行一周的平均速度是多少？

第二講行船問題和火車過橋問題

?

30

一、知識梳理

1.“火車過橋”問題是特殊的行程問題。橋是靜止的，火車是運(yùn)動(dòng)的，火車過橋是指車頭開始上橋到車尾離橋的整個(gè)過程。在解題時(shí)，要考慮車長。盡管這類問題比較特殊，但行程問題的基本公式：速度×?xí)r間=路程，在此類問題中也同樣適用。

2.行船問題和行程問題類似，也存在路程、速度與時(shí)間之間的數(shù)量關(guān)系，同時(shí)還涉及水流問題。

解此類問題前需掌握幾個(gè)概念：船速、水速、順?biāo)俣群湍嫠俣?。船在靜水中航行的速度叫船速；河水流動(dòng)的速度叫水速；船從上游向下游順?biāo)械乃俣冉许標(biāo)俣?；船從下游逆水而行的速度叫逆水速度。它們之間關(guān)系主要有：

順?biāo)俣龋酱伲?/p>

逆水速度＝船速－水速

船速＝(順?biāo)俣龋嫠俣?÷2

水速＝(順?biāo)俣龋嫠俣?÷2

二、精講例題

例題1.一列火車長150米，行駛速度是18米/秒。這列火車要通過一座長300米的大橋，需要多少秒？

【分析與解】畫出示意圖1。從圖1可知，火車通過大橋是指火車車頭開始上橋到車尾離開橋的全過程，通過大橋所行駛的路程是車頭或車尾所行駛的路程，即橋長加車長。根據(jù)路程÷速度=時(shí)間，可求出火車經(jīng)過橋面所運(yùn)行的時(shí)間為（150＋300）÷18＝25（秒）。

車長橋長

圖1

例題2.火車通過長為90米的鐵橋用了22秒，如果火車的速度加快1倍，它通過180米隧道就用16秒。求火車車長和原來的速度。

【分析與解】若火車仍按原來的速度通過162米的鐵橋，那火車要用16×2=32(秒)。根據(jù)已知，隧道比鐵橋多180-90=90（米），火車要多走32－22=10（秒），因此火車原來速度為90÷10=9（米/秒），火車長則為9×22－90=108（米）。

例題3.402位少先隊(duì)員排成兩路縱隊(duì)去參觀世博園，隊(duì)伍每分鐘前進(jìn)25米，前后兩人都相距1米現(xiàn)在隊(duì)伍要通過一座長700米的橋，整支隊(duì)伍從上橋到離橋共需幾分鐘？

【分析與解】將整支隊(duì)伍長度看作“車長”，因?yàn)槊柯房v隊(duì)有402÷2=201（位)，前后兩人都相距1米，所以，整支隊(duì)伍的長度為1×(201－1)=200(米)，即為“車長”?！败囬L”求出后，便可求出過橋的時(shí)間(700+200)÷25=36(分)。

例題4.一艘輪船在靜水中速度是23千米/時(shí)，它逆水航行252千米用了14小時(shí)，那該船返回原地需要多少小時(shí)？

【分析與解】求輪船返回原地的用時(shí)就是求輪船順?biāo)叫?44千米的用時(shí)。順?biāo)俣龋酱伲?，輪船在靜水中的速度已知，所以只需求出水流速度。據(jù)題意，求水速只能依靠逆水速度與船速、水速的關(guān)系來求。水速＝船速－逆水速度＝23－252÷14＝5(千米/時(shí))，順?biāo)俣?3＋5＝28(千米/時(shí))，輪船返回原地所需時(shí)間252÷28=9(時(shí))。

例題5．甲、乙兩港口相距144千米，一只船從乙港逆水而上，行了9小時(shí)到達(dá)甲碼頭。已知船速是水速的17倍，這只船從甲港返回乙港需要幾小時(shí)？

【分析與解】根據(jù)兩港間距離和乙港逆水行至甲港用9小時(shí)，可求出該船的逆水速度為144÷9＝16(千米/時(shí))，逆水速度＝船速－水速，已知船速是水速的17倍，則船速與水速相差了(17－1)倍，說明逆水速度剛好相當(dāng)于水速的(17－1)倍，因此，可以求出水速為16÷（17－1）＝1(千米/時(shí))，根據(jù)逆水速度與水速，又可求出順?biāo)俣葹?6＋1×2＝18(千米/時(shí))，順?biāo)滤脮r(shí)間為144÷18＝8（時(shí)）。

【總結(jié)說明】順?biāo)俣龋侥嫠俣龋佟?。

例題6．甲船逆水航行360千米需18小時(shí)，返回原地需10小時(shí)；乙船逆水航行同樣一段距離需15小時(shí)，返回原地需多少小時(shí)？

【分析與解】由題中甲船逆水、順?biāo)叫械木嚯x和時(shí)間，可以得到甲船的順?biāo)俣龋?60÷10＝36（千米/時(shí)），甲船逆水速度：360÷18＝20（千米/時(shí)），進(jìn)一步得出水速：（36－20）÷2＝8（千米/時(shí)）；同樣由乙船逆水行駛時(shí)間得到乙船的逆水速度：360÷15＝24（千米/時(shí)）。此時(shí)，已知水速和乙船逆水速度可得出乙船順?biāo)俣龋?4＋8×2＝40（千米/時(shí)），進(jìn)一步，乙船順?biāo)旭偹脮r(shí)間為：360÷40＝9（時(shí)），即乙船返回原地所用時(shí)間。

三、課堂作業(yè)

1.一列火車通過一條長1260米的橋梁(車頭上橋直至車尾離開橋)用了60秒，火車穿越長2010米的隧道用了90秒。求這列火車的車速和車長。

2.公路兩邊的電線桿間隔都是30米，一位乘客坐在運(yùn)行的汽車中，他從看到第l根電綣桿到看到第26根電線桿正好是3分鐘。這輛汽車每小時(shí)行多少千米?

3.一艘輪船往返于相距240千米的甲、乙兩港之間，逆水速度是每小時(shí)18千米，順?biāo)俣仁敲啃r(shí)26千米。一艘汽艇的速度是每小時(shí)20千米，這艘汽艇往返于兩港之間共需多少小時(shí)?

4.靜水中,甲船速度是每小時(shí)22千米,乙船速度是每小時(shí)18千米,乙船先從某港開出順?biāo)叫?2小時(shí)后甲船同方向開出,若水流速度為每小時(shí)4千米,求甲船幾小時(shí)可以追上乙船?

5.一條輪船在兩碼頭間航行,順?biāo)叫行?小時(shí),逆水航行需5小時(shí),水速是2千米,求這輪船在靜水中的速度。

6.一列火車長119米，它以每秒15米的速度行駛，小華以每秒2米的速度從對面走來，經(jīng)過幾秒鐘后火車從小華身邊通過？

四、課堂總結(jié)

順?biāo)俣龋酱伲?/p>

逆水速度＝船速－水速

船速＝(順?biāo)俣龋嫠俣?÷2

水速＝(順?biāo)俣龋嫠俣?÷2

五、課后作業(yè)

1.一座鐵路橋全長1200米，一列火車開過大橋需要75秒;火車經(jīng)過路旁電桿，只要15秒。這列火車長多少米?

2.甲、乙兩地水路相距208千米，一只船從甲地開往乙地順?biāo)?小時(shí)到達(dá),從乙地返回甲地，逆水13小時(shí)到達(dá)。求該船在靜水中速度和水速各是多少？

3.一列火車長200米，它以每秒10米的速度穿過200米長的隧道，從車頭進(jìn)入隧道到車尾離開隧道共需要多少秒？

4.一人以每分鐘60米的速度沿鐵路邊步行，一列長144米的客車從他身后開來，從他身邊通過用了8秒鐘，求列車的速度。

5.A、B兩碼頭間河流長為90千米，甲、乙兩船分別從A、B碼頭同時(shí)啟航.如果相向而行3小時(shí)相遇，如果同向而行15小時(shí)甲船追上乙船，求兩船在靜水中的速度。

6.乙船順?biāo)叫?小時(shí)，行了120千米，返回原地用了4小時(shí).甲船順?biāo)叫型欢嗡?，用?小時(shí).甲船返回原地比去時(shí)多用了幾小時(shí)？

第三講運(yùn)用整體思想、轉(zhuǎn)化思想解行程問題

一、知識梳理

1.轉(zhuǎn)化思想。轉(zhuǎn)化也稱化歸，它是指將未知的，陌生的，復(fù)雜的問題通過演繹歸納轉(zhuǎn)化為已知的，熟悉的，簡單的問題，從而使問題順利解決的數(shù)學(xué)思想。

2.整體思想。所謂整體思想解題，就是指解題時(shí)把注意力和著眼點(diǎn)放在問題的整體結(jié)構(gòu)上，從而觸及問題的本質(zhì)，達(dá)到求解的目的。

二、例題精講

例題1.甲、乙兩人同時(shí)從相距100里的兩地相對出發(fā)，甲帶的一條狗也同時(shí)出發(fā)，狗以每小時(shí)10里的速度向乙奔去，遇到乙后立即返回，向甲奔去，遇到甲后又奔向乙，…就這樣，狗不停地來回奔跑于甲、乙之間，直到甲乙相遇，狗才停歇。如果甲每小時(shí)行6里，乙每小時(shí)跑4里，問這條狗一共奔跑了多少里？

【分析與解】這里我們需要運(yùn)用整體思想來解題。所謂整體思想解題，就是指解題時(shí)把注意力和著眼點(diǎn)放在問題的整體結(jié)構(gòu)上，從而觸及問題的本質(zhì)，達(dá)到求解的目的。要求狗跑的路程，就得求出狗跑的時(shí)間，而狗跑的時(shí)間正好就是甲、乙兩人的相遇時(shí)間，即100÷（6+4）=10（小時(shí)）。最后用狗跑的速度乘以它所跑的時(shí)間就可以算出狗跑的路程，即10×10=100（里）。

例題2.亮亮、小強(qiáng)兩人同時(shí)從A、B兩地出發(fā)相向而行，兩人在途中距A地40米處第一次相遇，相遇后兩人仍以原速繼續(xù)行駛，并在各自到達(dá)對方出發(fā)點(diǎn)后立即沿原路返回，途中兩人在距B地15米處第二次相遇。求A、B兩地的路程。

【分析與解】此題中亮亮、小強(qiáng)兩人第一次相遇時(shí)，即兩人行了一個(gè)全程時(shí)，亮亮行了40米，這是一個(gè)不變量，是解決本題的關(guān)鍵。當(dāng)兩人按原速度繼續(xù)行駛到距B

地15米處，第二次相遇，此時(shí)他們總共行了三個(gè)全程。這時(shí)，亮亮共行了

40×3=120(米)，減去距B地的15米，就是A、B兩地的全程，即40×

3-15=105(米)。

附圖：

例題3.小明上午8時(shí)騎自行車以每小時(shí)12千米的速度從A地到B地，小強(qiáng)上午8時(shí)40分騎自行車以每小時(shí)16千米的速度從B地到A地，兩人在A、B兩地的中點(diǎn)處相遇，A、B兩地間的路程是多少千米？

【分析與解】這是一個(gè)相向而行相遇求路程的問題。但兩人不是同時(shí)出發(fā)，如果能轉(zhuǎn)換成同時(shí)出發(fā)，并且求出行多少小時(shí)相遇，就可以用數(shù)學(xué)課學(xué)的方法解答。

兩人在兩地間的路程的中點(diǎn)相遇，但小明比小強(qiáng)多行了40分鐘，如果兩人同時(shí)出發(fā)，相遇時(shí)，小明行的路程就比小強(qiáng)少12÷60×40=8（千米），就是當(dāng)小強(qiáng)出發(fā)時(shí)，小明已經(jīng)行了8千米，從8時(shí)40分起兩人到兩人相遇，由于小明每小時(shí)比小強(qiáng)少行16－12=4（千米），說明兩人相遇時(shí)間是8÷4=2（小時(shí)），那么，A、B兩地間的路程是8＋（12＋16）×2=64（千米）。

例題4.騎車人以每分鐘200米的速度沿公共汽車路線行進(jìn)，當(dāng)他距離始發(fā)站3600米時(shí)，一輛公共汽車以每分鐘500米的速度從始發(fā)站出發(fā)。已知公共汽車每行3分鐘到一站停車1分鐘，問公共汽車追上騎車人用多少分鐘？

【分析與解】此題最大的障礙就是公共汽車每行3分鐘到一站停1分鐘，這里我們不妨運(yùn)用整體思想，把公共汽車行車3分、停車1分看成一個(gè)整體，即一個(gè)行車周期，公共汽車每一個(gè)行車周期比騎車人多行;500×3－200×4＝700（米），但在這個(gè)周期的前3分鐘，最多能比騎車人多行：500×3－200×3＝900（米），所以最后留下的一段路程長度不能超過900

米。3600＝700×4＋800,4×4＋800÷（500－200）＝182

3

（分），即公共汽車追上騎車人

要用182

3

分鐘。

例題5.甲每分鐘走85米，乙每分鐘走77米，丙每分鐘走65米?，F(xiàn)甲從A地，乙、丙從B地同時(shí)出發(fā)。甲、乙相遇后4分鐘甲丙相遇。求A、B兩地之間的距離。

【分析與解】根據(jù)甲、乙相遇后4分鐘甲、丙相遇以及甲、丙兩人的速度，可以得出甲、乙相遇時(shí)甲、丙之間的距離：（85＋65）×4＝600（米），也就是乙、丙同時(shí)同向出發(fā)，乙多走600米。如此，原題的關(guān)鍵部分就被轉(zhuǎn)化為：“乙每分鐘走77米，丙每分鐘走65米，幾分鐘后乙在丙前600米？”，這是常規(guī)的追及問題，不難求出追及時(shí)間：600÷（77－65）＝50（分），即50分鐘后乙在丙前600米、甲乙兩車相遇。進(jìn)一步，A、B兩地間距離為：（85＋77）×50＝8100（米）。

例題6.在周長為200米的圓形跑道的一條直徑的兩端，甲、乙二人騎自行車分別以6米/秒和5米/秒的速度同時(shí)相向出發(fā)（即一個(gè)順時(shí)針一個(gè)逆時(shí)針），沿跑道行駛．問：16分鐘內(nèi)，甲乙相遇多少次？

求行駛，2002，即100秒。

從圖上可以明顯看出，第二次相遇時(shí)，一共走過的路程為根據(jù)題意并結(jié)合圖示，從第一次相遇以后，甲、乙兩人每隔200

11

妙就相遇一次，所以，16分鐘內(nèi)，甲、乙相遇的次數(shù)為：（60×16－

10011）÷200

11

＋1≈52＋1＝53（次）

三、課堂作業(yè)

1.甲、乙兩輛汽車同時(shí)從A、B兩地相對開出，甲每小時(shí)行75千米，乙每小時(shí)行65千米。甲、乙兩車第一次相遇后繼續(xù)前進(jìn)，分別到達(dá)B、A兩地后，立即按原路返回，兩車從出發(fā)到第二次相遇共行了6小時(shí)。A、B兩地相距多少千米？

2.（2011·梅嶺）甲、乙兩人同時(shí)從相距30千米的兩地出發(fā)，相向而行。甲每小時(shí)走3.5

千米，乙每小時(shí)走2.5千米。與甲同時(shí)、同地、同向出發(fā)的還有一只狗，每小時(shí)跑5千米，狗碰到乙后就回頭向甲跑去，碰到甲后又回頭向乙跑去……這只狗就這樣往返于甲、乙之間直到兩人相遇而止，則相遇時(shí)這只狗共跑了多少千米？

3.摩托車和汽車從相距30千米的甲、乙兩地同時(shí)同向出發(fā)（汽車在前），摩托車每小時(shí)行65千米，汽車每小時(shí)行40千米，途中摩托車發(fā)生故障，修理了半小時(shí)后繼續(xù)前進(jìn)。問：摩托車和汽車相遇時(shí)各行了多少千米？

4.甲站向乙站開出一列快車，速度是每小時(shí)6

5.5千米，過了1小時(shí)后，又從甲站開出一列慢車，速度是每小時(shí)58.5千米，當(dāng)快車到達(dá)乙站時(shí)，慢車離乙站還有104千米。問：甲、乙兩站相距多少千米？

5.甲、乙二人同一天從北京出發(fā)沿同一條路騎車往廣州，甲每天行100千米，乙第一天行70千米，以后每天都比前一天多行3千米，直到追上甲，乙出發(fā)后第幾天追上甲？

6.甲、乙二人在400米圓形跑道上進(jìn)行10000米比賽.兩人從起點(diǎn)同時(shí)同向出發(fā),開始時(shí)甲的速度為每秒8米,乙的速度為每秒6米.當(dāng)甲每次追上乙以后,甲的速度每秒減少2米,乙的速度每秒減少0.5米.這樣下去,直到甲發(fā)現(xiàn)乙第一次從后面追上自己開始,兩人都把自己的速度每秒增加0.5米,直到終點(diǎn).那么領(lǐng)先者到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一人距終點(diǎn)多少米?

四、課堂總結(jié)

1.轉(zhuǎn)化思想。轉(zhuǎn)化也稱化歸，它是指將未知的，陌生的，復(fù)雜的問題通過演繹歸納轉(zhuǎn)化為已知的，熟悉的，簡單的問題，從而使問題順利解決的數(shù)學(xué)思想。

2.整體思想。所謂整體思想解題，就是指解題時(shí)把注意力和著眼點(diǎn)放在問題的整體結(jié)構(gòu)上，從而觸及問題的本質(zhì)，達(dá)到求解的目的。

五、課外作業(yè)

1.甲、乙兩名同學(xué)從相距100米的兩地同時(shí)出發(fā)，相向而跑，當(dāng)跑到另一地后立即返回。甲每秒跑6.5米，乙每秒跑5.5米。經(jīng)幾秒兩人第二次相遇？

2.甲、乙兩地之間的距離是420千米。兩輛汽車同時(shí)從甲地開往乙地，第一輛汽車每小時(shí)行42千米，第二輛汽車每小時(shí)行28千米，第一輛汽車到乙地后立即返回。兩輛汽車從開出到相遇共用了多少小時(shí)？

3.一輛汽車從甲地開出，以每小時(shí)50千米的速度行了2小時(shí)后，一輛摩托車從甲地開出緊

緊追趕，速度為每小時(shí)80千米。摩托車幾小時(shí)后可追上汽車？

4.客、貨兩車從相距120千米的A、B兩地同時(shí)同向出發(fā)（客車在前），貨車每小時(shí)行75千米，客車每小時(shí)行60千米，途中客車發(fā)生故障，修理了1小時(shí)后繼續(xù)前進(jìn)。問:客車和貨車相遇時(shí)各行了多少千米？

5.甲乙兩站相距360千米，客車和貨車同時(shí)從甲站出發(fā)駛向乙站，客車每小時(shí)行60千米，貨車每小時(shí)行40千米，客車到達(dá)乙站后又以原速立即返回甲站，與貨車相遇，從出發(fā)到相遇共經(jīng)過多少小時(shí)？

6.李明和王華步行同時(shí)從A、B兩地出發(fā)，相向而行，在離A地52米處相遇，到達(dá)對方出發(fā)點(diǎn)后，兩人立即以原來的速度沿原路返回，又在離A地44米處相遇。A、B兩地相距多少米？

探索規(guī)律

一、知識梳理

1、算式中的規(guī)律

解決此類題，應(yīng)先認(rèn)真觀察算式特點(diǎn)，再觀察結(jié)果的特點(diǎn)，從而尋找規(guī)律來解決。

如：1×1＝1

11×11＝121

111×111＝12321

1111×1111＝1234321

11111×11111＝123454321

此算式中的特點(diǎn)是：每個(gè)算式中兩個(gè)因數(shù)各數(shù)位上的數(shù)字都是1，且個(gè)數(shù)相同。積的特點(diǎn)是積里的數(shù)字呈對稱形式，且前半部分是從1開始寫至某個(gè)數(shù)字（此數(shù)字即因數(shù)的位數(shù)），后半部分是從比這個(gè)數(shù)字少1的數(shù)寫至1。

2、數(shù)列中的規(guī)律

（1）規(guī)律蘊(yùn)涵在相鄰兩數(shù)的差或倍數(shù)中。

（2）前后幾項(xiàng)為一組，以組為單位找關(guān)系才可找到規(guī)律。

（3）需將數(shù)列本身分解，通過對比才能發(fā)現(xiàn)其規(guī)律。

3、數(shù)與形結(jié)合中的規(guī)律

4、間隔排列中的規(guī)律

（1）兩種物體間隔排列，如果兩端的物體相同，那么排在兩端的物體的個(gè)數(shù)比排在中間的物體多一個(gè)。

（2）兩種物體間隔排列成一圈，兩種物體的數(shù)量相等。

5、簡單搭配中的規(guī)律

搭配問題的解題思路類似于乘法原理，即做一件事，完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法……做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事有N＝m1×m2×…×mn種不同的方法。

6、簡單周期現(xiàn)象中的規(guī)律

解答周期問題的關(guān)鍵是找出周期。確定周期后，用總量除以周期，如果正好有整數(shù)個(gè)周期，結(jié)果為周期里的最后一個(gè)；如果比整數(shù)個(gè)周期多n個(gè)，那么結(jié)果為下一個(gè)周期里的第n個(gè)；如果不是從第一個(gè)開始循環(huán)，可以從總量里減掉不是循環(huán)的個(gè)數(shù)后，再繼續(xù)算。

7、簡單圖形覆蓋現(xiàn)象中的規(guī)律

總共有每次框（依次）+1得到幾個(gè)

幾個(gè)數(shù)—幾個(gè)數(shù)＝平移的次數(shù)不同的和

二、精講例題

例題1、先觀察下面各算式，找出規(guī)律，再填空。

（1）12345679×9＝111111111（2）12345679×18＝222222222

（3）12345679×27＝（）（4）12345679×54＝（）

（5）（）×72＝888888888（6）（）×（）＝999999999

分析與解：在這一組算式中，一個(gè)因數(shù)不變，另一個(gè)因數(shù)和積在變化，當(dāng)另一個(gè)因數(shù)由9變成18時(shí)擴(kuò)大到了原來的2倍，積也擴(kuò)大了2倍；反過來，積擴(kuò)大到原來的幾倍，其中一個(gè)因數(shù)也擴(kuò)大到原來的幾倍。根據(jù)這一規(guī)律，可以填出后面幾道題。

（3）12345679×27＝333333333（4）12345679×54＝666666666

（5）12345679×72＝888888888（6）12345679×81＝999999999

例題2、在（）里填上合適的數(shù)。

（1）1，2，4，8，16，（），（）

（2）1，1，2，3，5，8，（），（），34

（3）12，15，17，30，22，45，（），（），32,75

分析與解：觀察（1）每一個(gè)數(shù)是前一個(gè)數(shù)的2倍，故填32和64；（2）以組為單位才能找到規(guī)律，從第三個(gè)數(shù)開始，每個(gè)數(shù)由前面兩個(gè)數(shù)相加所得，所以填13和21；（3）需將數(shù)列分解，通過對比才能找到規(guī)律。第1,3,5個(gè)數(shù)依次相差5，第2,4,6個(gè)數(shù)依次相差15，正確的答案為27和60。

例題3、一張桌子可以坐4人，兩張桌子拼起來可以坐6人，三張桌子拼起來可以坐8人（如圖），像這樣（）張桌子拼起來可以坐24人，n張桌子拼起來可以坐（）人。

分析與解：一張方桌坐4人，每多一張方桌就多坐2人；如果是n張方桌，則所坐人數(shù)是4+2（n-1）=2n+2，當(dāng)2n+2=24時(shí)，n=11；所以11張桌子拼起來可以坐24人，n張桌子拼起來可以坐（2n＋2）人。

例題4、有一條長800米的公路，在公路的一側(cè)從頭到尾每隔20米栽一棵楊樹（兩端都要種），需要多少棵楊樹苗？

分析與解：根據(jù)棵數(shù)＝間隔數(shù)＋1，先算出間隔數(shù)為40，再算出棵數(shù)。即800÷20＋1＝41（棵）。

例題5、由1、2、3、4、5五個(gè)數(shù)字組成的五位數(shù)共有120個(gè)，將他們從小到大排列起來，第95個(gè)數(shù)字是多少？

分析與解：首先要想這120個(gè)數(shù)是怎么來的。通過分析可知，萬位上有5種選擇，1在萬位上的情況有4×3×2×1＝24（個(gè)），2,3,4,5在萬位上的情況也都是分別有24個(gè)，那么將這些數(shù)從小到大排列，第96個(gè)數(shù)為4在萬位上的最大一個(gè)（這是由于96＝24×4），為45321，所以第95個(gè)數(shù)便為4在萬位上的倒數(shù)第二個(gè)，為45312。

例題6、有一列數(shù)“7231652316523165……”，請問前25個(gè)數(shù)字的和是多少？

分析與解：這一列數(shù)是從第2個(gè)數(shù)字開始按照“23165”循環(huán)出現(xiàn)，減去第1個(gè)數(shù)后，總數(shù)是24，周期數(shù)是5,24÷5＝4（次）……4（個(gè)），這4個(gè)數(shù)是2,3,1,6；第2個(gè)到第25個(gè)數(shù)字的和是（2＋3＋1＋6＋5）×4＋2＋3＋1＋6＝80，在求和時(shí)要記得加上第一個(gè)數(shù)字“7”，所以結(jié)果為80＋7＝87。

例題7、用形如正方形去框右面這個(gè)數(shù)表里的數(shù)，每次框出4個(gè)數(shù)，一共可以框出多少個(gè)不同的和？如果框出的4個(gè)數(shù)之和是88，這4個(gè)數(shù)中最大的一個(gè)數(shù)是多少？

1234567

891011121314

15161718192021

22232425262728

29303132333435

分析與解：（1）橫著看，第一行和第二行一共有6種不同的框法，由于這些數(shù)自左向右都是逐漸增大的，所以就會(huì)框出6種不同的和；豎著