第三講參數(shù)估計參數(shù)估計1假設(shè)檢驗2統(tǒng)計推斷：由樣本推斷總體。（隨機(jī)性）統(tǒng)計推斷：第三講參數(shù)估計總體的分布類型已知,其中有些參數(shù)未知,如何估計參數(shù)?總體分布未知，估計其中的某些數(shù)字特征，如總體均值、方差等。參數(shù)是刻畫總體某方面的概率特性的數(shù)量，當(dāng)這個數(shù)量是未知的時候，從總體抽出一個樣本，用某種方法對這個未知參數(shù)進(jìn)行估計，就是參數(shù)估計。例如：X~N(μ,σ2)若μ,σ2未知，通過構(gòu)造樣本函數(shù)，給出它們的估計值或取值范圍就是參數(shù)估計的內(nèi)容。點估計區(qū)間估計參數(shù)估計點估計：用一個數(shù)值來估計某個參數(shù)，這類問題稱為參數(shù)的點估計；區(qū)間估計：對總體的待估參數(shù)，有時需要用一個范圍（區(qū)間）來估計，其含義就是使待估參數(shù)以較大的概率含于其內(nèi)。參數(shù)的點估計點估計問題設(shè)總體其中參數(shù)是未知的,簡單隨機(jī)樣本為參數(shù)估計問題是選擇統(tǒng)計量并用統(tǒng)計量的值作為的估計值.(1)無偏性稱為的無偏估計量是指的數(shù)學(xué)期望恰好等于.設(shè)總體服從任意分布,是簡單隨機(jī)樣本.則有但是(2)有效性設(shè)和均為的無偏估計量,如果則比有效.如果為的無偏估計量,對的任意無偏估計量有,則稱為的無偏最小方差估計量.(3)一致性（相合性）設(shè)為的估計量,如果當(dāng)樣本容量時,依概率收斂于,即對任意有則稱為的一致估計量或相合估計量.參數(shù)的點估計----頻率替換法頻率替換法利用事件A在n次試驗中發(fā)生頻率作為事件A發(fā)生的概率p的估計量例：假設(shè)總體X~N(μ,2)，在對其作28次獨立試驗觀察中，事件X<4出現(xiàn)了21次，試用頻率替換法求出μ的估計值。累積概率的逆變換μ=3.045參數(shù)的點估計----矩估計法引例：如果檢查某個燈泡廠某天生產(chǎn)的一大批燈泡的質(zhì)量，從中隨機(jī)地抽取了10只燈泡，測得其壽命為(單位：小時）：1050，1100，1080，1120，12001250，1040，1130，1300，1200依據(jù)此估計該廠這天生產(chǎn)的燈泡的平均壽命及壽命分布的標(biāo)準(zhǔn)差。矩估計法矩估計由皮爾遜于1894年提出，基本原理是用樣本的k階矩來估計總體X的k階矩。（采用原點矩）總體矩是反映總體分布的數(shù)字特征；可以用樣本矩來估計總體樣本矩：當(dāng)總體含有待估參數(shù)時，總體矩是待估參數(shù)的函數(shù)，由于樣本取自總體，根據(jù)大數(shù)定律樣本矩在一定程度上可以逼近總體矩。矩估計法若總體含有k個待估參數(shù)，通常是按矩的階數(shù)從1到k列出k個樣本矩等于總體矩的方差，從而解出待估參數(shù)，這種方法就是矩估計法。矩估計法具體求法設(shè)總體X的分布函數(shù)是，其中是k個待估參數(shù)，是取自總體X的一個樣本，假設(shè)總體的k階原點矩存在，，則總體X的j階原點矩樣本的j階原點矩為另樣本矩等于對應(yīng)的總體矩，可得k個方程求解上述方程組得到一組解以此作為待估參數(shù)的矩估計量矩估計法例題一設(shè)總體X的概率密度函數(shù)為：

其中是取自總體X的一個樣本，求待估參數(shù)λ的矩估計。矩估計法例題一解：因為只有一個待估參數(shù)，故只要列出總體一階矩等于樣本一階矩的方程即可。λ的矩估計為：矩估計法例題二試求總體均值和方差的矩估計設(shè)總體均值為μ，方差為σ2，是取自總體X的一個樣本，因待估參數(shù)為均值μ，方差σ2兩個，故由矩估計法得方程組總體的一階矩a1=樣本的一階矩A1總體的二階矩a2=樣本的二階矩A2引例如果檢查某個燈泡廠某天生產(chǎn)的一大批燈泡的質(zhì)量，從中隨機(jī)地抽取了10只燈泡，測得其壽命為(單位：小時）：1050，1100，1080，1120，12001250，1040，1130，1300，1200依據(jù)矩估計法估計該廠這天生產(chǎn)的燈泡的平均壽命及壽命分布的標(biāo)準(zhǔn)差。作業(yè)題：3，設(shè)總體X在區(qū)間上服從均勻分布，試求未知參數(shù)的矩估計量。參數(shù)的點估計----極大似然估計區(qū)間估計引例某企業(yè)生產(chǎn)的滾珠直徑服從N（μ0.0006），現(xiàn)從產(chǎn)品中隨機(jī)抽取6顆檢測，測得它們大的直徑（單位：mm）如下：1.46,1.51,1.49,1.48,1.52,1.51。試求滾珠平均直徑μ的置信水平為95%的置信區(qū)間。參數(shù)的區(qū)間估計設(shè)總體其中參數(shù)是未知的,簡單隨機(jī)樣本為參數(shù)的區(qū)間估計問題是選擇兩個統(tǒng)計量:

使得對事先指定的小的正數(shù)有:稱為置信度,稱為的置信下限,稱為的置信上限.問題：中，那些是隨機(jī)變量，哪些是常數(shù)？單個正態(tài)總體均值的區(qū)間估計設(shè)已給定置信水平為1-α，并設(shè)是總體N（μ，σ2）的一個樣本，和分別是樣本均值和樣本方差，對總體均值作區(qū)間估計，分總體方差σ2已知和未知兩種情況來討論。總體方差σ2已知的區(qū)間估計由此得到μ的置信水平為1-α的置信區(qū)間總體方差已知的區(qū)間估計例題某企業(yè)生產(chǎn)的滾珠直徑服從N（μ，0.0006），現(xiàn)從產(chǎn)品中隨機(jī)抽取6顆檢測，測得它們大的直徑（單位：mm）如下：1.46,1.51,1.49,1.48,1.52,1.51。試求滾珠平均直徑μ的置信水平為95%的置信區(qū)間。解：這里1-α=0.95，α=0.05，σ2=0.0006，n=6。查正態(tài)分布表或用軟件計算得到由給出的數(shù)據(jù)算出=1.495，故置信區(qū)間為即（1.4754,1.5146）也就是說，滾珠平均直徑估計在1.4754mm與1.5146mm直徑的可信度是95%。置信區(qū)間的長度設(shè)置信區(qū)間的長度為,則因此，對給定的α，區(qū)間長度隨n的增加而減少對給定的n,區(qū)間長度隨α的減少（即置信水平1-α）而增大注意：在同一置信水平下，置信區(qū)間的選取是不唯一的，如在上例中，可以令α=0.01+0.04，則新的置信區(qū)間是總體方差σ2未知的區(qū)間估計總體方差σ2未知的區(qū)間估計上側(cè)分位數(shù)的查表置信區(qū)間為：總體方差未知的區(qū)間估計例題某企業(yè)生產(chǎn)的滾珠直徑服從N（μ，σ2），現(xiàn)從產(chǎn)品中隨機(jī)抽取6顆檢測，測得它們大的直徑（單位：mm）如下：1.46,1.51,1.49,1.48,1.52,1.51。試求滾珠平均直徑μ的置信水平為95%的置信區(qū)間。若總體方差未知，樣本方差可以根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得到。則此時α=0.05，查t分布表或軟件計算得t(0.025)=2.57，代入置信區(qū)間計算公式，得參數(shù)μ的置信水平為95%的置信區(qū)間為（1.4715,1.5185）單個正態(tài)總體方差的區(qū)間估計設(shè)總體，是總體的一個樣本，對總體方差σ2作區(qū)間估計

單個正態(tài)總體方差的區(qū)間估計若，，則有單個正態(tài)總體方差的區(qū)間估計則得到標(biāo)準(zhǔn)差的一個置信水平為1-α的置信區(qū)間為：根據(jù)確定

根據(jù)確定

上側(cè)分位數(shù)的查表單個正態(tài)總體方差的區(qū)間估計例從自動車床加工的一批零件中隨機(jī)地抽取16件，測得各零件的長度如下(單位：cm)：

設(shè)零件的長度服從正態(tài)分布，試求零件長度標(biāo)準(zhǔn)差的95%的置信區(qū)間。兩個正態(tài)總體均值差的區(qū)間估計設(shè)已給定置信水平為1-α，并設(shè)是總體的樣本，是總體的樣本，且這兩個樣本相互獨立，記和分別是總體X和Y的樣本均值，和分別是總體X和Y的樣本方差，對總體均值作區(qū)間估計。和均為已知

類似單個總體的情況，即得的一個置信水平為1-α的置信區(qū)間和均未知

和均未知

令和均未知

的一個置信水平為1-α的置信區(qū)間為：和均未知

課本50頁例題兩個正態(tài)總體方差比的區(qū)間估計設(shè)已給定置信水平為1-α，并設(shè)是總體的樣本，是總體的樣本，且這兩個樣本相互獨立，記和分別是總體X和Y的樣本均值，求兩總體方差比的置信水平為1-α的置信區(qū)間。兩個正態(tài)總體方差比的區(qū)間估計兩個正態(tài)總體方差比的區(qū)間估計兩個正態(tài)總體方差比的區(qū)間估計