學(xué)科教師輔導(dǎo)講義學(xué)員編號：學(xué)員姓名：

年 級：高二 課時數(shù)： 3輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué) 學(xué)科教師：教學(xué)內(nèi)容二項式定理：(ab)n Cn0an Cn1an1bL Cnranrbr L Cnnbn(n N)，基本概念：①二項式展開式：右邊的多項式叫做 (a b)n的二項展開式。②二項式系數(shù):展開式中各項的系數(shù)Cnr (r

0,1,2,,n) .③項數(shù)：共(r1) 項，是關(guān)于a與b的齊次多項式④通項：展開式中的第

r1項

ranrbr叫做二項式展開式的通項。用T

Cranr表示。n r1 n注意關(guān)鍵點：①項數(shù)：展開式中總共有 (n 1)項。②順序：注意正確選擇 a,b,其順序不能更改。(ab)

與(b a)n是不同的。③指數(shù)：a的指數(shù)從n逐項減到0，是降冪排列。 b的指數(shù)從0逐項減到n，是升冪排列。各項的次數(shù)和等于 n.④系數(shù)：注意正確區(qū)分二項式系數(shù)與項的系數(shù)，

二項式系數(shù)依次是 C0,C1,C2,

r, ,Cnn

.a與b的系數(shù)n n n n（包括二項式系數(shù)）。nn常用的結(jié)論：nn令a 1,b x,

(1 x)n

n0

1x

n2L

CnrL

Cn(n N)令a 1,b

x, (1x)n

Cn0 Cn1x C2L

Cnrxr L

(1)nC

n(n N)nn性質(zhì)：nn①二項式系數(shù)的對稱性：與首末兩端“對距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即

C0 Cn，··Ck Ck1n n n n②二項式系數(shù)和：令

ab1,則二項式系數(shù)的和為

C0

C2 L Cr

L Cn 2n，n n n n nnn變形式C1nn

C2 L

nr

Cnn 2n 1。③奇數(shù)項的二項式系數(shù)和 =偶數(shù)項的二項式系數(shù)和：在二項式定理中，令 a 1,b

1，則Cn0

Cn1 Cn2 C3 L

(Cn

(11)n 0，C

C 2 C

C2r

nC1 C3 L C

n1 2n 2n n n n n

n2r1 n12④奇數(shù)項的系數(shù)和與偶數(shù)項的系數(shù)和：(a x)n C0anx0n

Ca xCa x1 n1 2 n2 2n n

L Cna0xn an 0

ax1 ax21 2

L a xnn(xa)n Cn0a0xn

Cn1axn

C2xn2 L

Cnx0 axn L a aann n 2 1 令x 1, 則a0 a1 a2 a3nn n 2 1 令x 1,則a0 a1 a2 a3

an (a1)n ①an (a1)n ②(a1)① ②得,a0 a2 a4L

an (a 2

n(奇數(shù)項的系數(shù)和)① ②得,a1 a3 a5L an (a 1)n (a1)n (偶數(shù)項的系數(shù)和 )2n⑤二項式系數(shù)的最大項：如果二項式的冪指數(shù) n是偶數(shù)時，則中間一項的二項式系數(shù) Cn2取得最大值。⑥系數(shù)的最大項：求

n1 n12如果二項式的冪指數(shù)n是奇數(shù)時，則中間兩項的二項式系數(shù) Cn ,2同時取得最大值。2(a bx)n展開式中最大的項，一般采用待定系數(shù)法。設(shè)展開式中各項系數(shù)分別A

,A2,

,An1，設(shè)第r

1項系數(shù)最大，應(yīng)有

r1 A

，從而解出

r來。r1 2專題一題型一：二項式定理的逆用；Cn例：C1Cn

n2 6

n3 62L

nn 6n1 .解：(1 6)n

0 C1

6 C

C

L

Cnn 6n與已知的有一些差距，n n n n1C1

6L

n 6n

(C1 6

2

L Cn 6n)n n n n

n n n1 6 1(C0

6

62 L

n 6n

[(16)n 1] 1(7 1)n n n n nn6 6 6nn練：Cn

1

9Cn3

L 1Cnn .解：設(shè)Cn13Cn2 9Cn3L 3nnn，則n3Sn n

13

3

L Cn

C0

13L

n1

3)1nnnnnnnnS (11nnnnnnnnn 3題型二：利用通項公式求

4n13xn的系數(shù)；例：在二項式(4 1x

3

的展開式中倒數(shù)第3項的系數(shù)為，求含有

的項的系數(shù)n解：由條件知Cnn2

45，即Cn245， n2 n

900，解得n 舍去或n由Tr1

1 2r(xx)rr

10rrC xr

r，由題意 10

2r3,r6，10 4

10 44 31則含有的項是第7T61

C63 2103210。10練：求(210

19展開式中9的系數(shù)12x 11解：T

Cr(

x9(1)rr

C9rx18

()xr

Cr(

r183，令183r9則r 3r1 92x

2r r 92 2故的系數(shù)為C3(1) 21。9 32 2題型三：利用通項公式求常數(shù)項；例：求二項式

1的展開式中的常數(shù)項xT Crx0(1

1Cr(rx205

205r

r8

1(45解：r1 10

r r 10 ，令 ，得22x 2 2

9 102

256練：求二項式(2x16的展開式中的常數(shù)項解：

2x 1r(2((

)r (

r61)6rr

，令62r

0，得r

，所以T

(

3 201 6 1

6 r 2r 4 62x 2(x2

n的二項展開式中第5項為常數(shù)項，則n .xn1n解

4(2n(4

Cn4n令2n120，得n 6 .x題型四：利用通項公式，再討論而確定有理數(shù)項例：求二項式(x3 )展開式中的有理項C解：Tr1 rC9

1 1(2 9() (x )27

rr(1)C9x

27r6，令

27r6

Z,(0 r 9)得r 3或r 9，所以當r 3時，27r

r 4，T46

(1)3C93x4 84x4，當r 9時，

3，T10 (

9x3。6題型五：奇數(shù)項的二項式系數(shù)和

9=偶數(shù)項的二項式系數(shù)和；例：若( x2

1n展開式中偶數(shù)項系數(shù)和為x23

256，求n.解：設(shè)( x2

1n展開式中各項系數(shù)依次設(shè)為x23

a0,an,令x 1,則有a0 a1 an

0,①，令x 1,則有a0 a

a2 a3

(1)nan 2n,②-2(a

a3 a5

, a1 a3 a5

2n1,有題意得， 2n

256

28， n 9。練：若 13

1 n的展開式中，所有的奇數(shù)項的系數(shù)和為5

1024，求它的中間項。( x )Q

C2 C4

2r

C3 L

C2r

2n 1，2n

1024n11n n

n n n 6,n 7

nC5

11 1(

1462x 4

61462x5所以中間兩個項分別為51題型六：最大系數(shù)，最大項；1

， 1 n 3 5 2x x

，61 15例：已知(2

2x)n，若展開式中第567項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中二項式系數(shù)最大項的系數(shù)是多少解：QC4 C6 2C

5,n2 21n 98 0,解出n7或n 14，當n 7時，展開式中二項式系數(shù)最大的項是n n

1 35 1T4和T5 T4的系

C73(2

)4231

2

C74

( )324 70,當n14 時，展開式中二項式系數(shù)最大2的項是T8， T8的系

C147

( 2

273432。練：在(a b)2n的展開式中，二項式系數(shù)最大的項是多少解：二項式的冪指數(shù)是偶數(shù) 2n，則中間一項的二項式系數(shù)最大，即

T2n 1，也就是第n1項。21x練：在(23

1)n的展開式中，只有第5項的二項式最大，則展開式中的常數(shù)項是多少x解：只有第5項的二項式最大，則 n

n 8, 6 1 22 1 5，即

所以展開式中常數(shù)項為第七項等于

C8( ) 72練：寫出在(a b)

的展開式中，系數(shù)最大的項系數(shù)最小的項解：因為二項式的冪指數(shù) 7是奇數(shù)，所以中間兩項 (第4,5項)的二項式系數(shù)相等，且同時取得最大值，從而有T4 C73a4b3的系數(shù)最小，C74a3b4系數(shù)最大。練：若展開式前三項的二項式系數(shù)和等于

179(2

2x)n的展開式中系數(shù)最大的項解：由Cn0 Cn1 Cn2 79,解出n A

,假設(shè)T

r1Q(121

2x)12

1( (1 4x)122

r

C r14r1

r 10.4

Q0 r

r 10r1 12 12

，又

，展開式中系數(shù)最A(yù) A ，化簡得到9.4r1 r

C r

C r14r1大的項為T

,

12(1)

124

16896x1011

12 2

10 10練：在(1 2x)10

的展開式中系數(shù)最大的項是多少1解：假設(shè)Tr 1項最大，QTr C10r2rxr1A A

r2

Cr 2

2(11 r) rr1

10 101 r1解得

，化簡得到6.3 k 7.3，又Q0 r 10，A A

r2r

r12r

, r 1 2(10 r)r1 r 2 10

10 110r 7，展開式中系數(shù)最大的項為 10

715360x7.題型七：含有三項變兩項 ；例：求當(x23x2)解法①：例：求當(x23x2)解法①：(x23x2)5[(2) ，Tr1 C5r(x2 2)5r(3x)r，當且僅當r 1時，Tr1的展開式中才有x的一次項，此時Tr T2 C1(2)43x，所以x得一次項為C51C44243x1 5它的系數(shù)為C1C4243 240。5 4解法②：(x2 3x 2)5 (x1)5(x 2)5 (C0

1x4

5)(C0

2 C5)5 5 5 5 5 5故展開式中含x的項為C54xC5525 C4240x，故展開式中x的系數(shù)為240.5練：求式子(x

1 2)3的常數(shù)項x1x

1 2)3 ( x

1

r

1項為常數(shù)項，則T

Cr( 1)r

x6

( )r (

r x6 2r，得r1 6 6x x x62r 0,r 3,題型八：兩個二項式相乘；

T31 (1)3C63 20.例： 2x)3(1 數(shù).

(1

4x2的系解：Q(1 2x)3的展開式的通項是C3m (2x)m C3m 2m xm,(1x)4的展開式的通項是C4n ( x)n1且

C4n 1n xn,其中m 0,1,2,3,n 0,1,2,3,4,令m n 2,則

0且n 2,m

1,m 2且n 0,因此(1 2x)3(1 x)4)的展開式中x2的系數(shù)等于C30 20 C42( 1)2 )

121

1 ( 1)1

2 22

0 (6.1練：求(1 3x)6(14

3 4 3 410 展開式中的常數(shù)項.m n 4m3n解：(1 3 x)6(1

10展開式的通項為C6mx3

nx4 Cm

n x1210 6 104x4m其中 當且僅當

即 0,或m 3,或m 6,m 0,1,2, ,6,n 0,1,2,

4m 3n, n

n 4, n 8,時得展開式中的常數(shù)項為C60 C 0 C3 C4 C6

8 4246.10 6 101

6 10已知(1 xx 2)(x練：

n的展開式中沒有常數(shù)項x3)

,nN

*且2 n 8,則n .3r 解：(x 3n展開式的通項為Cnrn3r x

x Cr4r,通項分別與前面的三項相乘可得n4rCnr n4r,Cnrn4r

xn4r

2,Q展開式中不含常數(shù)項,2 n 8nn 4r且n n

1且n 4r 2，即n 4,8且n 3,7且n

n 5.題型九：奇數(shù)項的系數(shù)和與偶數(shù)項的系數(shù)和 ；x

2006,x的奇次冪的項之和為 S,當x 2時,S .解：(x 2)a2x2 a3L a2006------- ①( x 2)2006a1a2a3x3 L a2006------- ②①②得2(ax ax1 3

ax5 5

xa2005a2005

)(x 1

2006 (

2)2006(x 2)2006展開式的奇次冪項之和為S(

[(x 2

2006

(x

]2006當x 2時,S(2) 2

[(2 2) 2006 (

2)2006

32006222

23008題型十：賦值法；例：設(shè)二項式

3 1n p(3x

)的展開式的各項系數(shù)的和為x

，所有二項式系數(shù)的和為 ,p s 272,n等于多少n解：若(33x 1)n

a0 a1x a2x2 anxn，有P a0 a1 an，S Cn0 Cnn 2n，x令x 1得P 4n，又p s 272,即4n 2n

272 (2n 17)(2n 16) 0解得2n 16或2n 17(舍去)，n 4.練：若3 x

1 n的展開式中各項系數(shù)之和為x

64，則展開式的常數(shù)項為多少n解：令x 1，則3 x 1 的展開式中各項系數(shù)之和為x

2n 64，所以，則展開式的常數(shù)項為6C3(3 x6

1 x

540.

a x a a a練：若(1 1

2009

a0

1x1

a2x2

a3x3L

2009

2009(x

R),

1 22 2 2

2009的值為22009解：令x ,可得a0 a1 a2 a20092 2 22 2

0, a1 a22 22

a2009 a020可得

2009a1 a2

a2009

2009在令x a0 1,因

2 22

2 1.2009練：若(x 2)5 a5x5 a4x4 a3x3 a2x2 a1x1 a0,則a1 a2 a3 a4 a5 .解：令x 0得a0 32,令x 1得a0 a1 a2 a3 a4 a5 1,a1 a2 a3 a4 a5 31.題型十一：整除性；2例：證明：32n 8n 9(n N能被64整除2證：32n2 8n 9 9n1 8n 9 (8 1)n1 8n 9C0 8n1C1

Cn 182

n 81C

1 8n9nn 1 n 1 n 1 n 1 n 1nnCn018n1C118nn

Cnn1182 8(n1)18n9 N*)64整

n0

8n1 C11

n12Cn1C由于各項均能被64整除

32n2

8n 9(n 除1、(x1)

展開式中x的偶次項系數(shù)之和是1、設(shè)f(x)=(x-1)11,偶次項系數(shù)之和是 f(1)f(1)2

(2)11/21024n2、Cn0 n

32Cn2

3nCnn 2、2、4n3、(35

1 )20的展開式中的有理項是展開式的第 項53、3,9,15,214、(2x-1)5展開式中各項系數(shù)絕對值之和是4、(2x-1)5展開式中各項系數(shù)系數(shù)絕對值之和實為 (2x+1)5展開式系數(shù)之和，故令 x=1，則所求和為355、求(1+x+x2)(1-x)10展開式中x4的系數(shù)5、(1x x2)(1

x

(1 x3)(1 x)9,要得到含x4的項，必須第一個因式中的1與展開式中的項C94(x4作積，第一個因式中的－

展開式中的項C19(x)作積，故x4

的系數(shù)是C91

C4 1356(1+x)+(1+x)2++(1+x)10展開式中x3的系數(shù)(1 x)[1 (1 x)10]x）6、(1x) (1 x)2 x）=(x

1)11 (x

91)9，原式中x3實為這分子中的 x4，則所1(1