BS版九年級(jí)上3正方形的性質(zhì)與判定第一章特殊平行四邊形第3課時(shí)正方形的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用BS版九年級(jí)上3正方形的性質(zhì)與判定第一章特殊平行四4提示：點(diǎn)擊進(jìn)入習(xí)題1234提示：點(diǎn)擊進(jìn)入習(xí)題1231．如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E，F(xiàn)分別在OD，OC上，且DE＝CF，連接DF，AE，并延長(zhǎng)AE交DF于點(diǎn)M.求證：AM⊥DF.1．如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E證明：∵AC，BD是正方形ABCD的兩條對(duì)角線，∴AC⊥BD，OA＝OD＝OC＝OB.∴∠AOE＝∠DOF＝90°.∵DE＝CF，∴OE＝OF.∴△AOE≌△DOF.∴∠OAE＝∠ODF.∵∠DOF＝90°，∴∠DFO＋∠FDO＝90°.∴∠DFO＋∠FAE＝90°.∴∠AMF＝90°，即AM⊥DF.證明：∵AC，BD是正方形ABCD的兩條對(duì)角線，2．在正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB，DC(或它們的延長(zhǎng)線)于點(diǎn)M，N.(1)如圖①，當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM＝DN時(shí)，易證：BM＋DN＝MN.當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時(shí)，如圖②，請(qǐng)問(wèn)圖①中的結(jié)論是否還成立？如果成立，請(qǐng)給予證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．2．在正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN繞點(diǎn)A順時(shí)解：仍有BM＋DN＝MN成立．證明如下：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AN，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則∠EAM＝∠NAM＝45°.易證△ABE≌△ADN，∴DN＝BE，AE＝AN.又∵AM＝AM，∴△EAM≌△NAM.∴ME＝MN.∵M(jìn)E＝BE＋BM＝DN＋BM，∴BM＋DN＝MN.解：仍有BM＋DN＝MN成立．證明如下：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AN

(2)當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖③所示的位置時(shí)，線段BM，DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，并說(shuō)明理由．

DN－BM＝MN.理由如下：如圖，在DN上截取DE＝BM，連接AE.∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABM＝∠D＝∠BAD＝90°，AB＝AD.(2)當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖③所示的位置時(shí)，線段BM，又∵BM＝DE，∴△ABM≌△ADE.∴AM＝AE，∠BAM＝∠DAE.∵∠DAB＝90°，∴∠MAE＝90°.∵∠MAN＝45°，∴∠EAN＝45°＝∠MAN.又∵AM＝AE，AN＝AN，∴△AMN≌△AEN.∴MN＝EN.∴DN＝DE＋EN＝BM＋MN.∴DN－BM＝MN.又∵BM＝DE，∴△ABM≌△ADE.3．如圖，正方形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)E在AC上，AF⊥AC，垂足為A，AF＝AE，連接BE.(1)求證：BF＝DE.3．如圖，正方形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)E在AC上，AF⊥AC，垂足特殊平行四邊形《正方形的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用》課件(北師版九上)

(2)當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)(其他條件都保持不變)，問(wèn)四邊形AFBE是正方形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)(其他條件都保持不變)，問(wèn)四∴∠FAE＝∠BEC，∴BE∥AF.∵BE＝AF，∴四邊形AFBE為平行四邊形．∵∠FAE＝90°，AF＝AE，∴平行四邊形AFBE是正方形．∴∠FAE＝∠BEC，∴BE∥AF.4．如圖，P，Q，R，S四個(gè)小球分別從正方形的四個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，D同時(shí)出發(fā)，以同樣的速度分別沿AB，BC，CD，DA的方向滾動(dòng)，其終點(diǎn)分別是B，C，D，A.(1)求證：在任何時(shí)刻，連接四個(gè)小球所得的四邊形PQRS總是正方形．4．如圖，P，Q，R，S四個(gè)小球分別從正方形的四個(gè)頂點(diǎn)A，B證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA.又∵在任何時(shí)刻，AP＝BQ＝CR＝DS，∴PB＝QC＝RD＝SA.∴△ASP≌△BPQ≌△CQR≌△DRS.∴PS＝QP＝RQ＝SR，∠ASP＝∠BPQ.∴在任何時(shí)刻，四邊形PQRS是菱形．又∵∠APS＋∠ASP＝90°，∴∠APS＋∠BPQ＝90°.∴∠QPS＝180°－(∠APS＋∠BPQ)＝180°－90°＝90°.∴在任何時(shí)刻，四邊形PQRS總是正方形．證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝

(2)四邊形PQRS在什么時(shí)候面積最大？(3)四邊形PQRS在什么時(shí)候面積為正方形ABCD面積的一半？解：當(dāng)P，Q，R，S四個(gè)小球剛出發(fā)時(shí)或到達(dá)終點(diǎn)時(shí)面積最大，此時(shí)的面積等于正方形ABCD的面積．當(dāng)P，Q，R，S四個(gè)小球滾動(dòng)到正方形ABCD四邊中點(diǎn)時(shí)，四邊形PGRS的面積為正方形ABCD面積的一半。(2)四邊形PQRS在什么時(shí)候面積最大？解：當(dāng)P，Q，R，BS版九年級(jí)上3正方形的性質(zhì)與判定第一章特殊平行四邊形第3課時(shí)正方形的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用BS版九年級(jí)上3正方形的性質(zhì)與判定第一章特殊平行四4提示：點(diǎn)擊進(jìn)入習(xí)題1234提示：點(diǎn)擊進(jìn)入習(xí)題1231．如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E，F(xiàn)分別在OD，OC上，且DE＝CF，連接DF，AE，并延長(zhǎng)AE交DF于點(diǎn)M.求證：AM⊥DF.1．如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E證明：∵AC，BD是正方形ABCD的兩條對(duì)角線，∴AC⊥BD，OA＝OD＝OC＝OB.∴∠AOE＝∠DOF＝90°.∵DE＝CF，∴OE＝OF.∴△AOE≌△DOF.∴∠OAE＝∠ODF.∵∠DOF＝90°，∴∠DFO＋∠FDO＝90°.∴∠DFO＋∠FAE＝90°.∴∠AMF＝90°，即AM⊥DF.證明：∵AC，BD是正方形ABCD的兩條對(duì)角線，2．在正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB，DC(或它們的延長(zhǎng)線)于點(diǎn)M，N.(1)如圖①，當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM＝DN時(shí)，易證：BM＋DN＝MN.當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時(shí)，如圖②，請(qǐng)問(wèn)圖①中的結(jié)論是否還成立？如果成立，請(qǐng)給予證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．2．在正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN繞點(diǎn)A順時(shí)解：仍有BM＋DN＝MN成立．證明如下：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AN，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則∠EAM＝∠NAM＝45°.易證△ABE≌△ADN，∴DN＝BE，AE＝AN.又∵AM＝AM，∴△EAM≌△NAM.∴ME＝MN.∵M(jìn)E＝BE＋BM＝DN＋BM，∴BM＋DN＝MN.解：仍有BM＋DN＝MN成立．證明如下：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AN

(2)當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖③所示的位置時(shí)，線段BM，DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，并說(shuō)明理由．

DN－BM＝MN.理由如下：如圖，在DN上截取DE＝BM，連接AE.∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABM＝∠D＝∠BAD＝90°，AB＝AD.(2)當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖③所示的位置時(shí)，線段BM，又∵BM＝DE，∴△ABM≌△ADE.∴AM＝AE，∠BAM＝∠DAE.∵∠DAB＝90°，∴∠MAE＝90°.∵∠MAN＝45°，∴∠EAN＝45°＝∠MAN.又∵AM＝AE，AN＝AN，∴△AMN≌△AEN.∴MN＝EN.∴DN＝DE＋EN＝BM＋MN.∴DN－BM＝MN.又∵BM＝DE，∴△ABM≌△ADE.3．如圖，正方形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)E在AC上，AF⊥AC，垂足為A，AF＝AE，連接BE.(1)求證：BF＝DE.3．如圖，正方形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)E在AC上，AF⊥AC，垂足特殊平行四邊形《正方形的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用》課件(北師版九上)

(2)當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)(其他條件都保持不變)，問(wèn)四邊形AFBE是正方形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)(其他條件都保持不變)，問(wèn)四∴∠FAE＝∠BEC，∴BE∥AF.∵BE＝AF，∴四邊形AFBE為平行四邊形．∵∠FAE＝90°，AF＝AE，∴平行四邊形AFBE是正方形．∴∠FAE＝∠BEC，∴BE∥AF.4．如圖，P，Q，R，S四個(gè)小球分別從正方形的四個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，D同時(shí)出發(fā)，以同樣的速度分別沿AB，BC，CD，DA的方向滾動(dòng)，其終點(diǎn)分別是B，C，D，A.(1)求證：在任何時(shí)刻，連接四個(gè)小球所得的四邊形PQRS總是正方形．4．如圖，P，Q，R，S四個(gè)小球分別從正方形的四個(gè)頂點(diǎn)A，B證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA.又∵在任何時(shí)刻，AP＝BQ＝CR＝DS，∴PB＝QC＝RD＝SA.∴△ASP≌△BPQ≌△CQR≌△DRS.∴PS＝QP＝RQ＝SR，∠ASP＝∠BPQ.∴在任何時(shí)刻，四邊形PQRS是菱形．又∵∠APS＋∠ASP＝90°，∴∠APS＋∠BPQ＝90°.∴∠QPS＝180°－(∠APS＋∠BPQ)＝180°－90°＝90°.∴在任何時(shí)刻，四邊形PQR