---精品常微分方程練習(xí)試卷一、填空題。3方x0是 階 （線性、非線性）微分方程.3dt2方程xdy f(xy)經(jīng)變換 ydx

，可以化為變量分離方程 .微分方程d3y y2 x 0滿足條件y(0) 1,y(0) 2 的解有 個(gè).dx3設(shè)常系數(shù)方程y y y ex 的一個(gè)特解y*(x) e 2x exxex ，則此方程的系數(shù)， ， .朗斯基行列式W(t) 0是函數(shù)組x1(t),x2(t),L,xn(t)在ax b上線性相關(guān)的條件.方程xydx (23y2 20)dy 0的只與y有關(guān)的積分因子為 .已知X A(t)X的基解矩陣為(t)的，則A(t) 2 0方程組x' x的基解矩陣為 ．0 5可用變換 將伯努利方程 化為線性方程.10. 是滿足方程y 2y 5y y1 和初始條件 的唯一解.方程 的待定特解可取 的形式:三階常系數(shù)齊線性方程y 2y y 0 的特征根是二、計(jì)算題1.求平面上過原點(diǎn)的曲線方程,該曲線上任一點(diǎn)處的切線與切點(diǎn)和點(diǎn) (1,0)的連線相互垂直.dyxy1dxdyxy1dxxy3d 3. 求解方程x 2

dx) 0 。2精品dt2 dt2精品．用比較系數(shù)法解方程. .．求方程 y

y sinx.．驗(yàn)證微分方程(cosxsinx )dx

y(1 )dy

0是恰當(dāng)方程，并求出它的通解.3 17．設(shè)A ，2 4

1，試求方程組dX1 dt

AX的一個(gè)基解基解矩陣

dX(t)，求 AXdt滿足初始條件x(0) 的解.求方程dy 2x 1 3y2 通過點(diǎn)(1,0)的第二次近似解.dxdy 3 dy 2

(4xydx 8y

0的通解2 1若 A 試求方程組x Ax的解(t), (0)1 4

, expAt12三、證明題若 (t), (t)是X

A(t)X的基解矩陣，求證：存在一個(gè)非奇異的常數(shù)矩陣C，使得(t)

(t)C.設(shè) (x)( x0,x )是積分方程y(x) y0

x[2y() ]d, x0,x [ , ]x0的皮卡逐步逼近函數(shù)序列{ n(x)}在[, ]上一致收斂所得的解，而(x)是這積分方程在[ ,連續(xù)解，試用逐步逼近法證明：在[ , ]上(x) (x).設(shè) 都是區(qū)間 上的連續(xù)函數(shù),且 是二階線性方的一個(gè)基本解組.試證明:和都只能有簡單零點(diǎn)(即函數(shù)值與導(dǎo)函數(shù)值不能在一點(diǎn)同時(shí)為零 );和沒有共同的零點(diǎn);

]上的---精品和 沒有共同的零點(diǎn).dX試證：如果 (t)是dt

AX滿足初始條件(t0) 的解，那么(t) expA(tt 0 ).答案一.填空題。1.二，非線性 2.u xy， 1u(f(u)

1du dx 3.無窮多 4.3,2,11) x5.必要6.7. (t)

1(t) 8. eAt

e2t00 e5t 9.10. 11.12. 1,二、計(jì)算題求平面上過原點(diǎn)的曲線方程,該曲線上任一點(diǎn)處的切線與切點(diǎn)和點(diǎn) (1,0)的連線相互垂直.解:設(shè)曲線方程為 ,切點(diǎn)為(x,y),切點(diǎn)到點(diǎn)(1,0)的連線的斜率為 ,則由題可得如下初值問題:.分離變量,積分并整理后可得 .代入初始條件可得 ,因此得所求曲線為 .精品dy x y 1求解方程 .dx x y 3x解：由 y 1 0, 求得xx y 3 0

1,y 2 令 x 1,y 2,d (1則有 .令z ，解得 z)dz d

1,積分得arctanz

ln(1z2

) ln||C ,d 1 z2 2y故原方程的解為arctan

2 ln(x 1)2 (y 2)2 C.x 1x

d2x

(dx2 0)dt2 dt解令 ，直接計(jì)算可得 ，于是原方程化為或 ，積分后得 ，即 ，所程的通解，這里 為任意常數(shù)。

，故有就是原方用比較系數(shù)法解方程. .解：特征方程為 ,特征根為 .對(duì)應(yīng)齊方程的通解為 .設(shè)原方程的特解有形如代如原方程可得利用對(duì)應(yīng)系數(shù)相等可得,故.原方程的通解可以表示為( 是任意常數(shù)).求方程

y y sinx.解：先解y y得通解為y cex, 令y c(x)ex為原方程的解，代入得c(x)ex c(x)ex c(x)ex sinx, 即有c(x) exsinx,---1 精品 1c(x)

ex(sinxcosx)c ,

所以y cex

(sinxcosx) .2 26．驗(yàn)證微分方程(cosxsinx xy2)dx y(1 x2)dy 0是恰當(dāng)方程，并求出它的通解.解：由于M(x,y) cosxsinx ,N(x,y) y(1

)，因?yàn)?/p>

M N2xy 所以原方程為恰當(dāng)方程.y x把原方程分項(xiàng)組合得cosxsinxdx (xy2dx yx2dy) ydy 0,

1 sin2x) d(

1) d(

) 0, 故原方程的通解為sin2 x x2y2 y2 C.2 2 23 1設(shè)A ，

1 ，試求方程組dX

dXAX的一個(gè)基解基解矩陣 (t)，求 AX2 4 1 dt dt滿足初始條件x(0) 的解.3 1解：特征方程為det(A E)2 4

( 2)( 5) 0,求得特征值 1 2, 2 5,對(duì)應(yīng)1 2, 2 5的特征向量分別為1 1, (, 0).1 可得一個(gè)基解矩陣

(t)

e e2t 5t . ，又因?yàn)?1

12 1，e 2e5t 31 12t2t 5t于是，所求的解為 (t)(t) 1(0) 1 e e

2 1 1

2t 5te 2e5tdy求方程dx

3 e 2e5t 1 1 13 e 4e2t 2x 1 3y2 通過點(diǎn)(1,0) 的第二次近似解2t 0解:令0(x) 0，于是0x1(x) x

[2x 1

(x)]dx x2 x,2(x)

1 1 312(x)]dx 1 xx2 x33x4 3x5,[2[21 10 2 5(dy)

4xy

dy 8y2 0求dx dx 的通解精品精品---dyx dx

3 8y2dy

p 8y4y dy p x 3 2解：方程可化為

令dx 則有

4yp 2y(p3

dp p(8y

2py求導(dǎo)得

4y )dy

p) 4y，(p3

dp)(2y

dpp) 0 2y p 0p 1

py ( )2即 dy

，由c2 2p

dy 得

cy2，即 c.xy代入（*）得

4 c2 ，

x c2 2p4 c2y (p2)即方程的含參數(shù)形式的通解為： c ，p為參數(shù)；1 4 3y又由p3 4y2 0得p (4y2)3代入（得

x27 .若

2 1A 試求方程組x1 4

Ax的解(t), (0) , 并求expAt12)p( 2 1 2 6 9)

3 n2解：特征方程 1 4

，解得

1,2

，此k=1,1 。)i1 v 1ti

1 e

1 t( 1 2(t)e3t2，

i(A3E)ii0

)2 2 t( 1 2expAt=3texpAteEt(A3E)

etn1ti(Ai!i0

E)i13t 0e

1t1 1 3t tt e0 1 1 1 t 1t三、證明題若 (t), (t)是X A(t)X的基解矩陣，求證：存在一個(gè)非奇異的常數(shù)矩陣C，使得(t) (t)C.證：(t)是基解矩陣，故 1(t)存在，令X(t) 1(t) (t) ，則X(t)可微且detX(t) 0，易知(t) (t)X(t).所以 (t) (t)X(t) (t)X(t) A(t) (t)X(t) (t)X(t) A(t) (t) (t)X(t)而 (t) A(t) (t)，所以(t)X(t) 0,X(t) 0,X(t) C（常數(shù)矩陣），故(t) (t)C.設(shè)(x)( x0,x )是積分方程y(x) y0

x[ 2y() ]d, x ,x[,]0x00的皮卡逐步逼近函數(shù)序列{ n(x)}在[ , ]上一致收斂所得的解，而 (x)是這積分方程在[,]上的連續(xù)解，試用逐步逼近法證明：在[ , ]上(x)

(x).證明：由題設(shè)，有 (x)

xy0 [ 2x0

() ]d ,0(x) y0, n(x)

x ()[2n1 ]d,x0,x[,]，(n1,2, ).x0下面只就區(qū)間x0 x 上討論，對(duì)于 x 的討論完全一樣。因?yàn)?| ((x)|

x( 2| ( )| | |)d M(x x0), 其中M max{x2 | (x)| |x|}，所以|(x)

x1(x)|x0

x0(2|()

x0()|)d LM(x0

x0)d

ML(x2!

x[, ]其中L max{x2},x [, ]

設(shè)對(duì)正整數(shù)n有| (x)

n1(x)|1 (xn!

x0)n,則有| (x

xn(x)| n

2| (

( )|)d

LxMn1

d MLn(x

)n1,nnnx0

(n1)! ,故由歸納法，對(duì)一切正整數(shù)k，有|(x)

k1(x)|1 (xx0)k 1

)k.k! k!而上不等式的右邊是收斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)，故當(dāng) k 時(shí)，它 0,因而函數(shù)序列{ n(x)}在x0 x 上一致收斂于 (x).根據(jù)極限的唯一性,即得0(x) (x), x x .0設(shè) 都是區(qū)間 上的連續(xù)函數(shù)/r