演示文稿單純矩陣的譜分解第一頁，共二十四頁。（優(yōu)選）單純矩陣的譜分解第二頁，共二十四頁。

矩陣的分解第四章第三頁，共二十四頁。

§4.4單純矩陣的譜分解定理1:

設(shè)是一個(gè)階可對(duì)角化的矩陣，相異特征值為，則使得:此式稱為A的譜分解稱為A的譜族且滿足:第四頁，共二十四頁。分析:設(shè)是的代數(shù)重復(fù)度則:第五頁，共二十四頁。證明(1)

因?yàn)樗?證明(2)第六頁，共二十四頁。(3)由得同理可得證明:而:,所以:證明:證明:(5)

假設(shè)A有譜分解和第七頁，共二十四頁。則由(3)知:由于,所以:同理可得:因?yàn)橐驗(yàn)樗?唯一性得證第八頁，共二十四頁。

可對(duì)角化矩陣的譜分解步驟：（1）首先求出矩陣的全部互異特征值及每個(gè)特征值所決定的線性無關(guān)特征向量（3）令:（2）寫出（4）最后寫出第九頁，共二十四頁。例1：已知矩陣為一個(gè)可對(duì)角化矩陣，求其譜分解表達(dá)式。解:

首先求出矩陣的特征值與特征向量。容易計(jì)算從而的特征值為

可以求出分別屬于這三個(gè)特征值的三個(gè)線性無關(guān)的特征向量:第十頁，共二十四頁。于是第十一頁，共二十四頁。取令那么其譜分解表達(dá)式為第十二頁，共二十四頁。正規(guī)陣的譜分解:設(shè)為正規(guī)矩陣，那么存在使得:

其中是矩陣的特征值所對(duì)應(yīng)的單位特征向量。我們稱上式為正規(guī)矩陣的譜分解表達(dá)式。第十三頁，共二十四頁。

設(shè)正規(guī)矩陣有個(gè)互異的特征值，特征值的代數(shù)重?cái)?shù)為，所對(duì)應(yīng)的個(gè)兩兩正交的單位特征向量為,則的譜分解表達(dá)式又可以寫成其中，并且顯然有:第十四頁，共二十四頁。（6）滿足上述性質(zhì)的矩陣是唯一的。我們稱為正交投影矩陣。即對(duì)于正規(guī)陣,滿足如下6條:推論1

設(shè)是一個(gè)階可對(duì)角化的矩陣，譜分解為:,若:則有第十五頁，共二十四頁。解：首先求出矩陣的特征值與特征向量。容易計(jì)算例2：求正規(guī)矩陣的譜分解表達(dá)式。從而的特征值為第十六頁，共二十四頁。當(dāng)時(shí)，求得三個(gè)線性無關(guān)的特征向量為

當(dāng)時(shí)，求得一個(gè)線性無關(guān)的特征向量為將正交化與單位化可得第十七頁，共二十四頁。將單位化可得：第十八頁，共二十四頁。于是有第十九頁，共二十四頁。這樣可得其譜分解表達(dá)式為第二十頁，共二十四頁。解：首先求出矩陣的特征值與特征向量。求正規(guī)矩陣的譜分解表達(dá)式。練習(xí)從而的特征值為

可以求出分別屬于這三個(gè)特征值的三個(gè)線性無關(guān)的特