人在雨中奔跑的速度與淋雨量的關系摘要：本文通過分析人在雨中奔跑的速度與淋雨量之間存在的關聯(lián)，針對不同的降雨方向，將人簡化為長方體模型，建立了奔跑速度與總淋雨量的優(yōu)化模型。針對問題一，假設雨水淋遍全身且不考慮雨的方向，通過簡單的模型分析得到跑完全程的總淋雨量。針對問題二，考慮雨從迎面打來，雨線方向與奔跑方向在同一鉛直平面，通過分析淋雨部位、豎直方向雨速和水平方向雨相對于人的速度，建立了總淋雨量的模型，又對模型進行了函數(shù)的單調性分析，得知總淋雨量最少時奔跑速度最大。針對問題三，考慮雨從后面打來，雨線方向與奔跑方向在同一鉛直平面，通過分析淋雨部位、豎直方向速度和水平方向上的相對速度，針對不同情況，建立了總淋雨量的模型，又對模型進行了函數(shù)單調性的分析討論，得出了總淋雨量最少時的奔跑速度。針對問題五，針對雨線方向與跑步方向不在同一平面內的情況，對雨速進行空間直角坐標分解，結合問題三，分析模型發(fā)生的變化。關鍵詞：跑步速度；總淋雨量；相對速度；單調性分析；矢量分解一、 問題重述對于行人來說，下雨天最糟糕的情況莫過于出門在外雨傘沒帶。在這種情況下，人們習慣用快跑來擺脫困境。歸根結底，“跑得越快淋雨就越少”的觀點只是一種感性認識。因此，考慮通過建模來科學分析兩者之間的關系。對于下列四個問題，分別給出奔跑速度與淋雨量之間的定性分析。問題1：在不考慮雨線方向的情況下，計算以最大速度跑完全程的淋雨量。問題2：考慮雨從迎面打來，且與跑步方向在同一鉛直面上，雨線與人體的夾角為a。建立總淋雨量與奔跑速度的模型，進而求總淋雨量最少時的速度。問題3：考慮雨從背面打來，且與跑步方向在同一鉛直面上，雨線與人體的夾角為P。建立總淋雨量與奔跑速度的模型，進而求總淋雨量最少時的速度。問題5：考慮雨線方向與跑步不在同一鉛直面上時，模型的變化。二、 問題分析問題1，將人簡化為長方體模型，不考慮雨的方向，設降雨淋遍全身，分析人的淋雨面積共五個面分別為前面、背部、頂部、左側面和右側面。在雨速為常數(shù)且方向不變情況下，可以根據人的最大奔跑速度和路程來求出時間；若測得單位時間，單位面積的降雨量，可以求出總淋雨量。問題2,雨從迎面打來，雨線方向與奔跑方向在同一鉛直面內，且與人體的夾角為0，雨速為常數(shù)且方向不變，可以將雨速正交分解為水平方向和豎直方向，由此分析可知淋雨部位為前面和頂部。另外，雨迎面打來，雨相對于人的速度會發(fā)生變化，查閱資料可以知道降雨強度與雨的空間密度以及雨速有關。故通過關系式表示出雨的相對速度后，可以進一步表示出降雨強度（單位時間段內的降雨量），時間則可以用路程與人的速度相比得出。將時間、淋雨面積、降雨強度與總淋雨量關系表示出來，即可建立總淋雨量與奔跑速度的模型，進而分析求解出總淋雨量最少時的奔跑速度。問題3,雨從背面打來，雨線方向與跑步方向在同一鉛直面內，且與人體的夾角為a，同問題2一樣進行分析，忽略次要因素，分析得知淋雨面積為背部和頂部。另外，由于雨線方向與問題2不同，以奔跑速度和雨速在水平方向上的分量大小分類討論，時間仍由路程與奔跑速度之比表示，由此表示出時間、淋雨面積、降雨強度與淋雨量之間的關系，建立總淋雨量與奔跑速度的模型，進而討論分析出總淋雨量最少時的奔跑速度。問題5,若雨線方向與奔跑方向，不在同一平面內，可以建立空間直角坐標系，將雨速進行空間分解，分析可知淋雨部位，與問題3中的模型進行分析比較，可知模型變化。三、 模型假設把人簡化為一個長方體。雨速對人的奔跑速度的影響忽略不計。若長方體表面與雨速平行，假定不沾雨。人的奔跑速度恒定。降雨速度與強度不變。風速始終不變。

四、符號表示a人體身高b人體寬度c人體厚度d跑步距離vmax跑步最大速度u雨速I降雨強度o降雨量v跑步速度9同一半面內，雨從迎面吹來，雨線與人體夾角a同一半面內，雨從背面吹來，雨線與人體夾角t全過程所花費的時間S面積Q淋雨量p在一定時刻單位體積空間內雨滴所占的空間比例數(shù)五、模型建立與求解5.5.問題1的模型建立與求解設長方體模型作為人的簡化模型。全身面積:S設長方體模型作為人的簡化模型。全身面積:S=2(ab+ac)+bc淋雨量:3dS①d\l(ab3dS①d\l(ab+ac)+bc]Q=——vmax5.2問題2的模型建立與求解圖1為問題2的示意圖。迎面淋雨量:abdp(usin0迎面淋雨量:abdp(usin0+v)Q=1其中I=p(usin0+v)頂部淋雨量:bcdpucos0Q= 2 V其中I=pucos0淋雨量:u(asin0+ccos0) +aV(1)bdp^a(usin0u(asin0+ccos0) +aV(1)Q=Q1+Q2= =bdP模型（1）連續(xù)變化，通過單調性分析，可知模型（1）是Q關于V的單調遞減函數(shù)，故當人的奔跑速度達到最大時，總淋雨量最少。5.3問題3的模型建立與求解圖2為問題3的示意圖。c*vc*v背面淋雨量：圖2abdp(usina-v)Q=3 V其中I=p(usina-v)頂部淋雨量:bcdpucosaQ=2V其中I=pucosa當usina>v時淋雨量:

bdp\cucosa+a(usina—v)JQ=bdp\cucosa+a(usina—v)JQ=Q+Q=—2 3(2)模型（2）連續(xù)變化，通過單調性分析，模型（2）是2關于v的單調遞減函數(shù)，故當人的奔跑速度達到最大時，總淋雨量最少。當usina<v時背面淋雨量：_abdp(v—usina)3頂部淋雨量:/ bcdpucosaQ'=2淋雨量:bdp\cucosa+a(v一usina)J,,Q=Q'+Q'= =bdp2 3u(ccosa一asina)— +a（3）當ccosa—asina>0時大時，總淋雨量最少。當ccosa—asina<0時淋雨量最少。人奔跑的速度越大人奔跑的速度越小總淋雨量越小。人的奔跑速度最總淋雨量越小。v=usina時，總5.4問題5的模型建立與求解圖3為問題5的示意圖。圖3如圖3所示，建立空間直角坐標系，將與跑步速度方向不在同一平面內的雨速分解，分析雨速u在x,j,z軸上的分量，可知淋雨部位包括側面，背面和頂部，與模型⑵、（3）相比，多考慮了側面，由此可知，若雨線方向與奔跑方向不在同一平面內，要多考慮側面，另外雨相對于人的速度會發(fā)生變化，需要分類討論，但問題的性質沒有變。六、模型結果的分析與檢驗在不考慮雨的方向的情況下，奔跑速度越快，總淋雨量越小。當雨從迎面打來時，奔跑速度越快，總淋雨量越小。當雨從背面打來時，奔跑速度與總淋雨量的關系與參量的大小有關。由以上結果可知，并不是奔跑速度越大淋雨量越小，淋雨量的大小與奔跑速度以及雨下落的方向有關。查閱資料可以得到參數(shù)具體數(shù)值的一組數(shù)據如下：兀a=1.7mb=0.5mc=0.2mu=4m：sp=1.39x10-6d=100m0=—通過MATLAB進行簡單數(shù)值運算和函數(shù)單調性分析，得到當v=usin0=2.828ms時，總淋雨量最小值為0.13L，經檢驗符合實際情況。七、模型評價與推廣優(yōu)點：模型結果的分析較易實現(xiàn)，不涉及復雜的編程運算。模型簡單易懂，便于計算和操作，實用性強。缺點：為了簡化模型，忽略