2023學年高考數學模擬測試卷注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．是正四面體的面內一動點，為棱中點，記與平面成角為定值，若點的軌跡為一段拋物線，則（）A． B． C． D．2．將函數f(x)=sin3x-cos3x+1的圖象向左平移個單位長度，得到函數g(x)的圖象，給出下列關于g(x)的結論：①它的圖象關于直線x=對稱；②它的最小正周期為；③它的圖象關于點(，1)對稱；④它在[]上單調遞增.其中所有正確結論的編號是（）A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④3．已知函數是定義在上的偶函數，且在上單調遞增，則（）A． B．C． D．4．阿基米德（公元前287年—公元前212年），偉大的古希臘哲學家、數學家和物理學家，他死后的墓碑上刻著一個“圓柱容球”的立體幾何圖形，為紀念他發(fā)現“圓柱內切球的體積是圓柱體積的，且球的表面積也是圓柱表面積的”這一完美的結論.已知某圓柱的軸截面為正方形，其表面積為，則該圓柱的內切球體積為()A． B． C． D．5．已知集合，，，則集合()A． B． C． D．6．《易·系辭上》有“河出圖，洛出書”之說，河圖、洛書是中華文化，陰陽術數之源，其中河圖的排列結構是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如圖，白圈為陽數，黑點為陰數，若從陰數和陽數中各取一數，則其差的絕對值為5的概率為A． B． C． D．7．“一帶一路”是“絲綢之路經濟帶”和“21世紀海上絲綢之路”的簡稱，旨在積極發(fā)展我國與沿線國家經濟合作關系，共同打造政治互信、經濟融合、文化包容的命運共同體.自2015年以來，“一帶一路”建設成果顯著.如圖是2015—2019年，我國對“一帶一路”沿線國家進出口情況統計圖，下列描述錯誤的是()A．這五年，出口總額之和比進口總額之和大B．這五年，2015年出口額最少C．這五年，2019年進口增速最快D．這五年，出口增速前四年逐年下降8．下列函數中，既是奇函數，又是上的單調函數的是()A． B．C． D．9．的展開式中的常數項為()A．－60 B．240 C．－80 D．18010．記遞增數列的前項和為.若，，且對中的任意兩項與（），其和，或其積，或其商仍是該數列中的項，則（）A． B．C． D．11．已知直線與圓有公共點，則的最大值為（）A．4 B． C． D．12．已知、分別為雙曲線：（，）的左、右焦點，過的直線交于、兩點，為坐標原點，若，，則的離心率為（）A．2 B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數列的前項和且，設，則的值等于_______________.14．已知，，且，則的最小值是______.15．已知是偶函數，則的最小值為___________.16．已知等比數列的前項和為，，且，則__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數．(Ⅰ)求函數的極值；(Ⅱ)若,且,求證：．18．（12分）如圖，在三棱錐中，平面平面，，.點，，分別為線段，，的中點，點是線段的中點.（1）求證：平面.（2）判斷與平面的位置關系，并證明.19．（12分）如圖，已知橢圓C:x24+y2=1，F為其右焦點，直線l:y=kx+m(km<0)與橢圓交于P(x1(I)試用x1表示|PF|(II)證明：原點O到直線l的距離為定值.20．（12分）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.（1）求B；（2）若的面積為，周長為8，求b.21．（12分）已知.（1）求不等式的解集；（2）若存在，使得成立，求實數的取值范圍22．（10分）已知，.（1）當時，證明：；（2）設直線是函數在點處的切線，若直線也與相切，求正整數的值.

2023學年模擬測試卷參考答案（含詳細解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【答案解析】

設正四面體的棱長為，建立空間直角坐標系，求出各點的坐標，求出面的法向量，設的坐標，求出向量，求出線面所成角的正弦值，再由角的范圍，結合為定值，得出為定值，且的軌跡為一段拋物線，所以求出坐標的關系，進而求出正切值．【題目詳解】由題意設四面體的棱長為，設為的中點，以為坐標原點，以為軸，以為軸，過垂直于面的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則可得，，取的三等分點、如圖，則，，，，所以、、、、，由題意設，，和都是等邊三角形，為的中點，，，，平面，為平面的一個法向量，因為與平面所成角為定值，則，由題意可得，因為的軌跡為一段拋物線且為定值，則也為定值，，可得，此時，則，.故選：B.【答案點睛】考查線面所成的角的求法，及正切值為定值時的情況，屬于中等題．2、B【答案解析】

根據函數圖象的平移變換公式求出函數的解析式，再利用正弦函數的對稱性、單調區(qū)間等相關性質求解即可.【題目詳解】因為f(x)=sin3x-cos3x+1=2sin(3x-)+1，由圖象的平移變換公式知，函數g(x)=2sin[3(x+)-]+1=2sin(3x+)+1，其最小正周期為，故②正確；令3x+=kπ+，得x=+(k∈Z)，所以x=不是對稱軸，故①錯誤；令3x+=kπ，得x=-(k∈Z)，取k=2，得x=，故函數g(x)的圖象關于點(，1)對稱，故③正確；令2kπ-≤3x+≤2kπ+，k∈Z，得-≤x≤+，取k=2，得≤x≤，取k=3，得≤x≤，故④錯誤；故選：B【答案點睛】本題考查圖象的平移變換和正弦函數的對稱性、單調性和最小正周期等性質；考查運算求解能力和整體代換思想；熟練掌握正弦函數的對稱性、單調性和最小正周期等相關性質是求解本題的關鍵;屬于中檔題、?？碱}型3、C【答案解析】

根據題意，由函數的奇偶性可得，，又由，結合函數的單調性分析可得答案．【題目詳解】根據題意，函數是定義在上的偶函數，則，，有，又由在上單調遞增，則有，故選C.【答案點睛】本題主要考查函數的奇偶性與單調性的綜合應用，注意函數奇偶性的應用，屬于基礎題．4、D【答案解析】

設圓柱的底面半徑為,則其母線長為,由圓柱的表面積求出,代入圓柱的體積公式求出其體積,結合題中的結論即可求出該圓柱的內切球體積.【題目詳解】設圓柱的底面半徑為,則其母線長為,因為圓柱的表面積公式為，所以,解得,因為圓柱的體積公式為,所以,由題知,圓柱內切球的體積是圓柱體積的，所以所求圓柱內切球的體積為.故選:D【答案點睛】本題考查圓柱的軸截面及表面積和體積公式;考查運算求解能力;熟練掌握圓柱的表面積和體積公式是求解本題的關鍵;屬于中檔題.5、D【答案解析】

根據集合的混合運算，即可容易求得結果.【題目詳解】，故可得.故選：D.【答案點睛】本題考查集合的混合運算，屬基礎題.6、A【答案解析】

陽數：，陰數：，然后分析陰數和陽數差的絕對值為5的情況數，最后計算相應概率.【題目詳解】因為陽數：，陰數：，所以從陰數和陽數中各取一數差的絕對值有：個，滿足差的絕對值為5的有：共個，則.故選：A.【答案點睛】本題考查實際背景下古典概型的計算，難度一般.古典概型的概率計算公式：.7、D【答案解析】

根據統計圖中數據的含義進行判斷即可.【題目詳解】對A項，由統計圖可得，2015年出口額和進口額基本相等，而2016年到2019年出口額都大于進口額，則A正確；對B項，由統計圖可得，2015年出口額最少，則B正確；對C項，由統計圖可得，2019年進口增速都超過其余年份，則C正確；對D項，由統計圖可得，2015年到2016年出口增速是上升的，則D錯誤；故選：D【答案點睛】本題主要考查了根據條形統計圖和折線統計圖解決實際問題，屬于基礎題.8、C【答案解析】

對選項逐個驗證即得答案.【題目詳解】對于，，是偶函數，故選項錯誤；對于，，定義域為，在上不是單調函數，故選項錯誤；對于，當時，；當時，；又時，.綜上，對，都有，是奇函數.又時，是開口向上的拋物線，對稱軸，在上單調遞增，是奇函數，在上是單調遞增函數，故選項正確；對于，在上單調遞增，在上單調遞增，但，在上不是單調函數，故選項錯誤.故選：.【答案點睛】本題考查函數的基本性質，屬于基礎題.9、D【答案解析】

求的展開式中的常數項，可轉化為求展開式中的常數項和項，再求和即可得出答案.【題目詳解】由題意，中常數項為，中項為，所以的展開式中的常數項為：.故選：D【答案點睛】本題主要考查二項式定理的應用和二項式展開式的通項公式，考查學生計算能力，屬于基礎題.10、D【答案解析】

由題意可得，從而得到，再由就可以得出其它各項的值，進而判斷出的范圍．【題目詳解】解：，或其積，或其商仍是該數列中的項，或者或者是該數列中的項，又數列是遞增數列，，，，只有是該數列中的項，同理可以得到，，，也是該數列中的項，且有，，或（舍，，根據，，，同理易得，，，，，，，故選：D．【答案點睛】本題考查數列的新定義的理解和運用，以及運算能力和推理能力，屬于中檔題．11、C【答案解析】

根據表示圓和直線與圓有公共點，得到，再利用二次函數的性質求解.【題目詳解】因為表示圓，所以，解得，因為直線與圓有公共點，所以圓心到直線的距離，即，解得，此時，因為，在遞增，所以的最大值.故選：C【答案點睛】本題主要考查圓的方程，直線與圓的位置關系以及二次函數的性質，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.12、D【答案解析】

作出圖象，取AB中點E，連接EF2，設F1A＝x，根據雙曲線定義可得x＝2a，再由勾股定理可得到c2＝7a2，進而得到e的值【題目詳解】解：取AB中點E，連接EF2，則由已知可得BF1⊥EF2，F1A＝AE＝EB，設F1A＝x，則由雙曲線定義可得AF2＝2a+x，BF1﹣BF2＝3x﹣2a﹣x＝2a，所以x＝2a，則EF2＝2a，由勾股定理可得（4a）2+（2a）2＝（2c）2，所以c2＝7a2，則e故選：D．【答案點睛】本題考查雙曲線定義的應用，考查離心率的求法，數形結合思想，屬于中檔題．對于圓錐曲線中求離心率的問題，關鍵是列出含有中兩個量的方程，有時還要結合橢圓、雙曲線的定義對方程進行整理，從而求出離心率.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、7【答案解析】

根據題意，當時，，可得，進而得數列為等比數列，再計算可得，進而可得結論.【題目詳解】由題意，當時，，又，解得，當時，由，所以，，即，故數列是以為首項，為公比的等比數列，故，又，，所以，.故答案為：.【答案點睛】本題考查了數列遞推關系、函數求值，考查了推理能力與計算能力，計算得是解決本題的關鍵，屬于中檔題.14、1【答案解析】

先將前兩項利用基本不等式去掉，，再處理只含的算式即可．【題目詳解】解：，因為，所以，所以，當且僅當，，時等號成立，故答案為：1．【答案點睛】本題主要考查基本不等式的應用，但是由于有3個變量，導致該題不易找到思路，屬于中檔題．15、2【答案解析】

由偶函數性質可得，解得，再結合基本不等式即可求解【題目詳解】令得，所以，當且僅當時取等號.故答案為：2【答案點睛】考查函數的奇偶性、基本不等式，屬于基礎題16、【答案解析】

由題意知，繼而利用等比數列的前項和為的公式代入求值即可.【題目詳解】解：由題意知，所以.故答案為：.【答案點睛】本題考查了等比數列的通項公式和求和公式，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)極大值為：，無極小值；(Ⅱ)見解析.【答案解析】

(Ⅰ)求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區(qū)間即可求出函數的極值；(Ⅱ)得到,根據函數的單調性問題轉化為證明，即證,令，根據函數的單調性證明即可．【題目詳解】(Ⅰ)的定義域為且令，得；令，得在上單調遞增，在上單調遞減函數的極大值為，無極小值(Ⅱ)，，即由(Ⅰ)知在上單調遞增，在上單調遞減且，則要證，即證，即證，即證即證由于，即，即證令則恒成立在遞增在恒成立【答案點睛】本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，轉化思想，考查不等式的證明，考查運算求解能力及化歸與轉化思想，關鍵是能夠構造出合適的函數，將問題轉化為函數最值的求解問題，屬于難題．18、（1）見解析（2）平面.見解析【答案解析】

（1）要證平面，只需證明，，即可求得答案；（2）連接交于點，連接，根據已知條件求證，即可判斷與平面的位置關系，進而求得答案.【題目詳解】（1），為邊的中點，，平面平面，平面平面，平面，平面，，在內，，為所在邊的中點，，又，，平面.（2）判斷可知，平面，證明如下：連接交于點，連接.、、分別為邊、、的中點，.又是的重心，，，平面，平面，平面.【答案點睛】本題主要考查了求證線面垂直和線面平行，解題關鍵是掌握線面垂直判定定理和線面平行判斷定理，考查了分析能力和空間想象能力，屬于中檔題.19、(I)|FP|=2-32x【答案解析】

(I)直接利用兩點間距離公式化簡得到答案.(II)設Ax3,y3，Bx4【題目詳解】(I)橢圓C:x24|FP|=x(II)設Ax3,y3，B4k2+1x2OA=OB，故y3PA=PF，故1+k由已知得：x3<x故1+k即1+k2?故原點O到直線l的距離為d=m【答案點睛】本題考查了橢圓內的線段長度，定值問題，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.20、（1）；（2）【答案解析】

（1）通過正弦定理和內角和定理化簡，再通過二倍角公式即可求出；（2）通過三角形面積公式和三角形的周長為8，求出b的表達式后即可求出b的值.【題目詳解】（1）由三角形內角和定理及誘導公式，得，結合正弦定理，得，由及二倍角公式，得，即，故；（2）由題設，得，從而，由余弦定理，得，即，又，所以，解得.【答案點睛】本題綜合考查了正余弦定理，倍角公式，三角形面積公式，屬于基礎題.21、（1）.（2）.【答案解析】試題