湖南師大附中2023屆高三月考試卷(二)數(shù)學(xué)第I卷一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若以集合的四個(gè)元素為邊長(zhǎng)構(gòu)成一個(gè)四邊形,則這個(gè)四邊形可能是A.梯形 B.平行四邊形 C.菱形 D.矩形2.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,-1),則A.2 B. C. D.3.設(shè)點(diǎn)不共線,則“與的夾角是銳角”是“”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件4.函數(shù)的圖象大致形狀為5.圓內(nèi)接四邊形中,是圓的直徑,則等于A.12 B.-12 C.20 D.-206.在三棱錐中,底面,底面是邊長(zhǎng)為的正三角形,為的中點(diǎn),球是三棱錐的外接球,若是球上一點(diǎn),則三棱錐的體積的最大值是A.2 B. C. D.7.函數(shù),已知為圖象的一個(gè)對(duì)稱中心,直線為圖象的一條對(duì)稱軸,且在上單調(diào)遞減.記滿足條件的所有的值的和為,則的值為A. B. C. D.8.古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》中描述了圓錐曲線的共性，并給出了圓錐曲線的統(tǒng)一定義,只可惜對(duì)這一定義歐幾里得沒(méi)有給出證明.經(jīng)過(guò)了500年,到了3世紀(jì),希臘數(shù)學(xué)家帕普斯在他的著作《數(shù)學(xué)匯篇》中，完善了歐幾里得關(guān)于圓錐曲線的統(tǒng)一定義,并對(duì)這一定義進(jìn)行了證明.他指出,到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線;當(dāng)時(shí)，軌跡為橢圓;當(dāng)時(shí),軌跡為拋物線;當(dāng)時(shí)，軌跡為雙曲線:現(xiàn)有方程表示的曲線是雙曲線,則的取值范圍為A. B. C. D.二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9.已知數(shù)列滿足,則下列結(jié)論中正確的是A. B.為等比數(shù)列C. D.10.已知是兩個(gè)隨機(jī)事件,,下列命題正確的是A.若相互獨(dú)立,B.若事件,則C.若是對(duì)立事件,則D.若是互斥事件,則11.已知,下列結(jié)論正確的是A.B.當(dāng)時(shí),設(shè),則C.當(dāng)時(shí),中最大的是D.當(dāng)時(shí),12.已知定義在上的函數(shù)滿足:當(dāng)時(shí),,且當(dāng)時(shí),,則下列說(shuō)法正確的是A.B.在上單調(diào)遞減C.若,則D.若是在區(qū)間(0,2)內(nèi)的兩個(gè)零點(diǎn),且,則第Ⅱ卷三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.將5名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑和冰壺3個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn),每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目,每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者,則不同的分配方案共有_____種.14.已知拋物線的焦點(diǎn)為,過(guò)的直線與拋物線相交于兩點(diǎn),分別過(guò)兩點(diǎn)作的切線,且相交于點(diǎn),則面積的最小值為_____.15.已知四面體的各條棱長(zhǎng)都為2,其頂點(diǎn)都在球的表面上,點(diǎn)滿足,過(guò)點(diǎn)作平面,則平面截球所得截面面積的取值范圍是_____.16.已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,且,若在上沒(méi)有最大值,則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____.四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.(本小題滿分12分)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,已知.(1)求;(2)若,證明:是直角三角形.18.(本小題滿分12分)己知數(shù)列中,是數(shù)列的前項(xiàng)和,且.(1)求,并求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),數(shù)列的前項(xiàng)和為,若對(duì)任意的正整數(shù)都成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.19.(本小題滿分12分)如圖,在四棱錐中,底面為直角梯形,其中,平面,且,點(diǎn)在棱上,點(diǎn)為中點(diǎn).(1)證明:若,直線平面;(2)求二面角的正弦值;(3)是否存在點(diǎn),使與平面所成角的正弦值為?若存在求出值;若不存在,說(shuō)明理由.20.(本小題滿分12分)為了檢測(cè)某種抗病毒疫苗的免疫效果,需要進(jìn)行動(dòng)物與人體試驗(yàn).研究人員將疫苗注射到200只小白鼠體內(nèi),一段時(shí)間后測(cè)量小白鼠的某項(xiàng)指標(biāo)值,按分組,繪制頻率分布直方圖如圖所示.試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)小白鼠體內(nèi)產(chǎn)生抗體的共有160只,其中該項(xiàng)指標(biāo)值不小于60的有110只.假設(shè)小白鼠注射疫苗后是否產(chǎn)生抗體相互獨(dú)立.(1)填寫下面的列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表及的獨(dú)立性檢驗(yàn),判斷能否認(rèn)為注射疫苗后小白鼠產(chǎn)生抗體與指標(biāo)值不小于60有關(guān).單位：只抗體指標(biāo)值合計(jì)小于60不小于60有抗體沒(méi)有抗體合計(jì)(2)為檢驗(yàn)疫苗二次接種的免疫抗體性,對(duì)第一次注射疫苗后沒(méi)有產(chǎn)生抗體的40只小白鼠進(jìn)行第二次注射疫苗,結(jié)果又有20只小白鼠產(chǎn)生抗體.(i)用頻率估計(jì)概率,求一只小白鼠注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的概率;(ⅱ)以(i)中確定的概率作為人體注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的概率，進(jìn)行人體接種試驗(yàn),記個(gè)人注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的數(shù)量為隨機(jī)變量.試驗(yàn)后統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示,當(dāng)時(shí),取最大值,求參加人體接種試驗(yàn)的人數(shù)及.參考公式:(其中為樣本容量).0.500.400.250.150.1000.0500.0250.4550.7081.3232.0722.7063.8415.02421.(本小題滿分12分)已知,直線的斜率之積為,記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.(1)求的方程;(2)直線與曲線交于兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),若直線的斜率之積為,證明:的面積為定值.22.(本小題滿分12分)已知函數(shù).(1)求證:當(dāng)時(shí),;(2)已知函數(shù)有3個(gè)不同的零點(diǎn).(i)求證:;(ⅱ)求證:(是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).湖南師大附中2023屆高三月考試卷(二)數(shù)學(xué)參考答案題號(hào)123456789101112答案AACABCACADABDADACD13.15014.1615.16.17．【解析】（1）因?yàn)?，所以，即，解得，又，所以；?）因?yàn)?，所以，即①，又②，將②代入①得，，即，而，解得，所以，故，即是直角三角形?8．【解析】（1）在中，，則，即，得，由得：當(dāng)時(shí)，，化簡(jiǎn)得，即，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等差數(shù)列，所以.又因?yàn)?，所以，所以?當(dāng)時(shí)，，對(duì)也成立，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，所以的最小值為.因?yàn)閷?duì)任意的正整數(shù)都成立，所以，即.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.19．【解析】（1）如圖所示，在線段上取一點(diǎn)，使，連接，，，，又，，，四邊形為平行四邊形，，又，，所以平面平面，平面，平面；（2）如圖所示，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，又是中點(diǎn)，則，所以，，，設(shè)平面的法向量，則，令，則，設(shè)平面的法向量，則，令，則，所以，則二面角的正弦值為；（3）存在，或假設(shè)存在點(diǎn)，設(shè)，即，，由（2）得，，，且平面的法向量，則，，則，，解得或，故存在點(diǎn)，此時(shí)或.20．【解析】（1）由頻率分布直方圖，知200只小白鼠按指標(biāo)值分布為：在內(nèi)有(只)；在內(nèi)有(只)；在內(nèi)有(只)；在內(nèi)有(只)；在內(nèi)有(只)．由題意，有抗體且指標(biāo)值小于60的有50只：而指標(biāo)值小于60的小白鼠共有只，所以指標(biāo)值小于60且沒(méi)有抗體的小白鼠有20只，同理，指標(biāo)值不小于60且沒(méi)有抗體的小白鼠有20只，故列聯(lián)表如下：抗體指標(biāo)值合計(jì)小于60不小于60有抗體50110160沒(méi)有抗體202040合計(jì)70130200零假設(shè)為：注射疫苗后小白鼠產(chǎn)生抗體與指標(biāo)值不小于60無(wú)關(guān)聯(lián)．根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，得，根據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，即認(rèn)為注射疫苗后小白鼠產(chǎn)生抗體與指標(biāo)值不小于60有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05；（2）①令事件“小白鼠第一次注射疫苗產(chǎn)生抗體”，事件“小白鼠第二次注射疫苗產(chǎn)生抗體”，事件“小白鼠注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體”，記事件A，B，C發(fā)生的概率分別為，，，則，，，所以一只小白鼠注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的概率為0.9．②由題意，知隨機(jī)變量，,因?yàn)樽畲?，所以由可得，解得，因n是整數(shù)，故或，所以接受接種試驗(yàn)的人數(shù)為109或110,當(dāng)接種人數(shù)為109時(shí)，；當(dāng)接種人數(shù)為110時(shí)，21．【解析】（1）設(shè)，則直線的斜率，直線的斜率，由題意，化簡(jiǎn)得；（2）直線的斜率存在時(shí)，可設(shè)其方程為，聯(lián)立化簡(jiǎn)得，設(shè)，則，，所以化簡(jiǎn)得則，又/