第25講巧解小數(shù)與分?jǐn)?shù)互化問題巧點(diǎn)睛——方法和技巧有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都是小數(shù)。小數(shù)與分?jǐn)?shù)可以互化。巧指導(dǎo)——例題精講A級(jí)沖刺名校?基礎(chǔ)點(diǎn)睛【例1】不做除法，確定下列各數(shù)哪些可以化成有限小數(shù)，哪些可以化成純循環(huán)小數(shù)，哪些可以化成混循環(huán)小數(shù)?；捎邢扌?shù)的、小數(shù)位數(shù)是多少位？化成循環(huán)小數(shù)的，不循環(huán)部分?jǐn)?shù)字的個(gè)數(shù)及循環(huán)部分的循環(huán)節(jié)是多少個(gè)數(shù)字？(1)3;(2)3;(3)5;⑷7;(5)1(6)4.12501328-2206442分析與解(1)3是最簡分?jǐn)?shù).1250=X54，因?yàn)榉帜傅馁|(zhì)因數(shù)分1250解中含有2,5的質(zhì)因數(shù)，所以3可以化成有限小數(shù)?分母的質(zhì)因數(shù)51250的個(gè)數(shù)為4,比質(zhì)因數(shù)2的個(gè)數(shù)1多,所以小數(shù)位數(shù)為4位.(2)3是最簡分?jǐn)?shù).13本身就是質(zhì)數(shù),它不含2,5的質(zhì)因數(shù),所以3可以化為純循環(huán)小數(shù)?因?yàn)?,99,999…中能被分母13整除的最小數(shù)是六位數(shù)999999,所以循環(huán)節(jié)有6個(gè)數(shù)字.5是最簡分?jǐn)?shù).28=22X7,分母既含有2,5的質(zhì)因數(shù)，又含有282,5以外的質(zhì)因數(shù)7,所以這個(gè)分?jǐn)?shù)必可化為混循環(huán)小數(shù).不循環(huán)部分?jǐn)?shù)字的個(gè)數(shù)等于2。因?yàn)?,99,999,…中能被整除的最小六位數(shù)999999，所以循環(huán)節(jié)為6個(gè)數(shù)字。7是最簡分?jǐn)?shù)。220=22X5X11，這個(gè)分?jǐn)?shù)必可化為循環(huán)220小數(shù)，不循環(huán)部分?jǐn)?shù)字的個(gè)數(shù)為2。因?yàn)?,99,999,…中能被11整除的最小數(shù)為99，所以循環(huán)節(jié)為2個(gè)數(shù)字。1是最簡分?jǐn)?shù)。64=26，這個(gè)分?jǐn)?shù)必可化為有限小數(shù)，小數(shù)64位數(shù)是6位。4不是最簡分?jǐn)?shù)，先約分化為最簡分?jǐn)?shù)2o21=3X7,所64-21以這個(gè)分?jǐn)?shù)必可化成純循環(huán)小數(shù)。因?yàn)?,99,999,…中能被21整除的最小數(shù)是999999，所以循環(huán)節(jié)為6個(gè)數(shù)字。做一做1指出下面的分?jǐn)?shù),哪些能化成有限小數(shù),哪些能化成純循環(huán)小數(shù),哪些能化成混循環(huán)小數(shù),并分別寫出有限小數(shù)的位數(shù)不循環(huán)部分?jǐn)?shù)字的個(gè)數(shù)，循環(huán)節(jié)包含幾個(gè)數(shù)字。(1)3；(2)5；(3)11；(4)4；(5)27o3212E505^1【例2】寫出兩個(gè)最大分?jǐn)?shù),它們的分子都是1,并且化成小數(shù)以后分別是：循環(huán)節(jié)為4個(gè)數(shù)字的純循環(huán)小數(shù)；不循環(huán)部分有兩個(gè)數(shù)字,循環(huán)部分的循環(huán)節(jié)是3個(gè)數(shù)字,是混循環(huán)小數(shù)。分析分子是固定的數(shù)1，要使分?jǐn)?shù)最大，分母必須最小。1)為保證小數(shù)能化成循環(huán)節(jié)有4個(gè)數(shù)字的純循環(huán)小數(shù),其分母的質(zhì)因數(shù)分解中應(yīng)該不含2，5，并且分母能整除9999，但不能整除9，99，999o9999的質(zhì)因數(shù)分解為9999=32X11X101o3，32都整除9，3X11，32X11都整除99，101，32X101，11X101，32X11X101都整除9999，而最小的一個(gè)是101，所以，分母應(yīng)為101。所求分?jǐn)?shù)為1o101(1)(1)0.123(2)0.347(2)為保證分?jǐn)?shù)能化成混循環(huán)小數(shù)，使不循環(huán)部分有兩個(gè)數(shù)字循環(huán)節(jié)有3個(gè)數(shù)字，分母應(yīng)當(dāng)是2nX5nXp的形式(這里n20,m20,p不含質(zhì)因數(shù)2，5)。為了使分母最小,而不循環(huán)部分有兩個(gè)數(shù)字,我們應(yīng)該取n=2,m=0。為了使循環(huán)節(jié)有3個(gè)數(shù)字，p應(yīng)該能整除999，但不整除9,99。999=33X273因?yàn)?,32能整除9,33,3X37,33X37都能整除999,其中最小的一個(gè)是33=27,所以取p=27。解因?yàn)榉肿邮欠乔?為保證分?jǐn)?shù)最大,應(yīng)使分母最小。9999=33XllX101,因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)化為循環(huán)節(jié)有4個(gè)數(shù)字的純循環(huán)小數(shù),所以分母為101,所求分?jǐn)?shù)為1。101因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)化為混循環(huán)小數(shù),不循環(huán)部分?jǐn)?shù)字的個(gè)數(shù)為2,所以分母為22Xp，p不含質(zhì)因數(shù)2,5因?yàn)檠h(huán)節(jié)有3個(gè)數(shù)字而999=33X37，所以X37，所以p=33=27,所求分?jǐn)?shù)為1=12x2~108做一做2寫出兩個(gè)最大分?jǐn)?shù)，它們的分子是1,并且化成小數(shù)分別是：循環(huán)節(jié)有1個(gè)數(shù)字的純循環(huán)小數(shù)；不循環(huán)部分有一個(gè)數(shù)字,循環(huán)節(jié)有2個(gè)數(shù)字的混循環(huán)小數(shù)例3】將下列循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)。解（1）解（1）設(shè)X=0月2專(2)設(shè)y=0.3471000X=123+0.12310y=3.471000x=123+x10y=3+0.47999X=12310y=3+47=123=41y=344=172X==y==999333990495做一做3把下面的循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)。(1)0.518(2)0.217305(3)0.312(4)10.296B級(jí)培優(yōu)競賽?更上層樓【例4】在下述循環(huán)小數(shù)的某個(gè)小數(shù)位上添上一個(gè)表示循環(huán)的小圓點(diǎn)，使新產(chǎn)生的循環(huán)小數(shù)盡可能大，請(qǐng)寫出這個(gè)新的循環(huán)小數(shù)。（1）2.718281（2）2.718182分析與解（1）要使新產(chǎn)生的循環(huán)小數(shù)盡可能大，必須使小2.數(shù)718281…中已出現(xiàn)的數(shù)字的后面第一個(gè)數(shù)字盡可能大，因此這個(gè)數(shù)字應(yīng)取“8”。同樣的道理，要使這個(gè)“8”的后面出現(xiàn)的數(shù)字也要盡可能大。因此，我們不取2.718281，而取，2.7188281。（2）根據(jù)同樣的道理，應(yīng)取2.718182。小結(jié)分?jǐn)?shù)化小數(shù)，做分子除以分母的除法即可。有限小數(shù)化分?jǐn)?shù)也容易，如0.75=75=3。循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)則要記住本節(jié)例題中1004介紹的方法。做一做4請(qǐng)?jiān)谛?shù)1.1001203上加兩個(gè)循環(huán)點(diǎn)，使新產(chǎn)生的循環(huán)小數(shù)盡可能小。【例5】計(jì)算：0.01+0.02+0.023+0.89分析與解先將各循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)，再計(jì)算。0.01+0.02+0.023——0.89二解因?yàn)锽的循環(huán)節(jié)是三位數(shù)字，所以A是一位數(shù)。因?yàn)?44+12-1+23一B解因?yàn)锽的循環(huán)節(jié)是三位數(shù)字，所以A是一位數(shù)。因?yàn)?44B=1X9B，0.3A7=3A74449994999所以9b=3A7，B3A7X4。因?yàn)锽是自然數(shù)，所以3A7能被9整90^90-=1+11+21+…+81+1+11+21+...+81=369=4.1909090909090小結(jié)上例巧用循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)的方法，使問題行到很快解決。做一做5請(qǐng)將0.1+0.01+0.001的結(jié)果寫成最簡分?jǐn)?shù)形式?！纠?】設(shè)n是一個(gè)自然數(shù)，是十進(jìn)位中的一個(gè)數(shù)碼，君=0.d2<810試求n。分析與解由循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)的法則得0?d25=d25，有n二d25，則n二81°Xd25=30d25。労9810弓99999—7—d25是37與25的公倍數(shù)，所以d25=37X25K,且顯然只有K=l,因此（r25=37X25,n=25X30=750。做一做假定n是一個(gè)自然數(shù)，d是1?9中的一個(gè)數(shù)碼，已知n=0.d05,求n。296C級(jí)（選學(xué)）決勝總決賽?勇奪冠軍【例7】B是自然數(shù)，A是一個(gè)數(shù)字，如果B=0.3A7,那么B是444除，推知A=8，B=387X4=172?！?做一做7在下面的算式中，A,B是兩個(gè)自然數(shù)，C,D,E,F代表四個(gè)0?9中的不同數(shù)字，那么（A+B）的最小值為。巧練習(xí)一一溫故知新（二十五）A級(jí)沖刺名校?基礎(chǔ)點(diǎn)晴寫出所有分母是兩位數(shù)，分子是1，且能化成有限小數(shù)的分?jǐn)?shù)。指出下面的分?jǐn)?shù)，哪些能化成有限小數(shù)？哪些能化成純循環(huán)小數(shù)？哪些能化成混循環(huán)小數(shù)？有限小數(shù)的位數(shù)、不循環(huán)部分?jǐn)?shù)字的個(gè)數(shù)、循環(huán)節(jié)最小位數(shù)各是幾？3，5，11，75，3，4rc”r廠cr—7”廠i-/>i-2012603716505寫出最大的分?jǐn)?shù)，它的分子是1，并且它所化成的小數(shù)是：（1）循環(huán)節(jié)里只有兩位數(shù)字的純循環(huán)小數(shù)；（2）不循環(huán)部分有兩位數(shù)字，循環(huán)節(jié)里最少的倍數(shù)是2的混循環(huán)小數(shù)。把下列循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)：0.0012,518,0.12345,0.543,3.2965?請(qǐng)將0.1+0.01+0.001的結(jié)果寫成最簡分?jǐn)?shù)形式。

B級(jí)培優(yōu)競賽?更上層樓請(qǐng)?jiān)谛?shù)1.10010203的某位數(shù)字上加上循環(huán)點(diǎn)，使新產(chǎn)生的循環(huán)小數(shù)盡可能小。寫出所有分子是1，分母是兩位數(shù)，而且只能化成不循環(huán)部分有一位數(shù)字，循環(huán)節(jié)最小位數(shù)是2的混循環(huán)小數(shù)的分?jǐn)?shù)來。8.下表中，第一組是“共社”，第二組是“產(chǎn)會(huì)”，8.下表中，第一組是“共社”，第二組是“產(chǎn)會(huì)”，那么10第0組是什么文字？r共r產(chǎn)會(huì)-黨、■1-好義r共r產(chǎn)社-黨會(huì)-好、■1r共義r/