1.1隨機事件、頻率與概率一、樣本空間與隨機事件二、事件的關(guān)系及運算三、頻率和統(tǒng)計規(guī)律性1

1654年,一個名叫梅累的騎士就“兩個賭徒約定賭若干局,且誰先贏

c局便算贏家,若在一賭徒勝

a局(a<c),另一賭徒勝b局(b<c)時便終止賭博,問應(yīng)如何分賭本”

為題求教于帕斯卡,帕斯卡與費馬通信討論這一問題,于1654年共同建立了概率論的第一個基本概念數(shù)學(xué)期望.概率論的誕生及應(yīng)用1.概率論的誕生2在生活當中,經(jīng)常接觸到事件的概率降水概率為30%；某強隊對弱隊贏球的概率為80%；比如:3為什么要學(xué)習(xí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計?因為概率論與數(shù)理統(tǒng)計應(yīng)用廣泛:例如:(1)體育彩票數(shù)據(jù)需檢驗(a)每個數(shù)字被選中的機會是等可能的;(b)每個數(shù)字被選中是相互獨立的.（2）自動生產(chǎn)線的控制:（可口可樂）抽樣、檢驗、調(diào)試

4(4)經(jīng)濟、保險;管理決策;生物醫(yī)藥;工業(yè)(工藝方案等);農(nóng)業(yè)(試驗設(shè)計等);等等

例如天氣預(yù)報、地震預(yù)報、產(chǎn)品的抽樣調(diào)查;在通訊工程中可用以提高信號的抗干擾性、分辨率等等（3）金融、債券與風險管理（金融工程師、精算師）企業(yè)管理等等;5

在我們所生活的世界上，

充滿了不確定性

從扔硬幣、擲骰子和玩撲克等簡單的機會游戲，到復(fù)雜的社會現(xiàn)象；從嬰兒的誕生，到世間萬物的繁衍生息；從流星墜落，到大自然的千變?nèi)f化……，我們無時無刻不面臨著不確定性（隨機性）.6從亞里士多德時代開始，哲學(xué)家們就已經(jīng)認識到隨機性在生活中的作用，他們把隨機性看作為破壞生活規(guī)律、超越了人們理解能力范圍的東西.他們沒有認識到有可能去研究隨機性，或者是去測量不定性.7將不定性（隨機性）數(shù)量化，來嘗試回答這些問題，是直到20世紀初葉才開始的.還不能說這個努力已經(jīng)十分成功了，但就是那些已得到的成果，已經(jīng)給人類活動的一切領(lǐng)域帶來了一場革命.8

了解事件發(fā)生的可能性即概率的大小,對人們的生活有什么意義呢?例如:

了解發(fā)生意外人身事故的可能性大小,確定保險金額.

了解來商場購物的顧客人數(shù)的各種可能性大小,合理配置服務(wù)人員.

了解每年最大洪水超警戒線可能性大小,合理確定堤壩高度.9確定性現(xiàn)象:一定發(fā)生的現(xiàn)象

:在一定的條件下,可能出現(xiàn)這樣的結(jié)果,也可能出現(xiàn)那樣的結(jié)果,而且在事先無法預(yù)知確切結(jié)果的現(xiàn)象隨機現(xiàn)象自然界的現(xiàn)象:例如,自由落體運動太陽不會從西邊升起例如,車站等車人數(shù)新生的嬰兒可能是男或女10結(jié)果有可能為:“1”,“2”,“3”,“4”,“5”或“6”.實例3

“拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點數(shù)”.實例2

“用同一門炮向同一目標發(fā)射同一種炮彈多發(fā),觀察彈落點的情況”.結(jié)果:“彈落點會各不相同”.11實例4

“從一批含有正品和次品的產(chǎn)品中任意抽取一個產(chǎn)品”.其結(jié)果可能為:

正品

、次品.實例5

“過馬路交叉口時,可能遇上各種顏色的交通指揮燈”.實例6“一只燈泡的壽命”可長可短.12隨機現(xiàn)象的分類個別隨機現(xiàn)象：原則上不能在相同條件下重復(fù)出現(xiàn)（例6）大量性隨機現(xiàn)象：在相同條件下可以重復(fù)出現(xiàn)（例1-5）隨機現(xiàn)象的特征條件不能完全決定結(jié)果132.隨機現(xiàn)象在一次觀察中出現(xiàn)什么結(jié)果具有偶然性,但在大量重復(fù)試驗或觀察中,這種結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的統(tǒng)計規(guī)律性

,概率論就是研究隨機現(xiàn)象這種本質(zhì)規(guī)律的一門數(shù)學(xué)學(xué)科.隨機現(xiàn)象是通過隨機試驗來研究的.問題什么是隨機試驗?如何來研究隨機現(xiàn)象?說明1.隨機現(xiàn)象揭示了條件和結(jié)果之間的非確定性聯(lián)系,其數(shù)量關(guān)系無法用函數(shù)加以描述.141.可以在相同的條件下重復(fù)地進行;2.每次試驗的可能結(jié)果不止一個,并且能事先明確試驗的所有可能結(jié)果;3.進行一次試驗之前不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn).定義在概率論中,把具有以下三個特征的試驗稱為隨機試驗.隨機試驗15說明

1.隨機試驗簡稱為試驗,是一個廣泛的術(shù)語.它包括各種各樣的科學(xué)實驗,也包括對客觀事物進行的“調(diào)查”、“觀察”、或“測量”等.實例

“拋擲一枚硬幣,觀察正面,反面出現(xiàn)的情況”.分析

2.隨機試驗通常用E來表示.(1)試驗可以在相同的條件下重復(fù)地進行;161.“拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點數(shù)”.2.“從一批產(chǎn)品中,依次任選三件,記錄出現(xiàn)正品與次品的件數(shù)”.同理可知下列試驗都為隨機試驗(2)試驗的所有可能結(jié)果:正面，反面;(3)進行一次試驗之前不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn).故為隨機試驗.173.記錄某公共汽車站某日上午某時刻的等車人數(shù).4.考察某地區(qū)10月份的平均氣溫.5.從一批燈泡中任取一只,測試其壽命.18樣本空間:試驗的所有可能結(jié)果組成的集合記為樣本點:樣本空間的元素即隨機試驗的單個結(jié)果記為由隨機試驗的定義可知所有的樣本點是已知的一、樣本空間與隨機事件19例如,擲一枚硬幣觀察正、反面出現(xiàn)的情況:一次試驗就是擲一次硬幣試驗的可能結(jié)果有兩個:正(正面朝上)、反(反面朝上)即有兩個樣本點:正、反這個隨機試驗的樣本空間為:{正、反}20例如,測量燈泡壽命:樣本點是一非負數(shù),由于不能確知壽命的上界,所以可以認為任一非負實數(shù)都是一個可能結(jié)果,則樣本空間:S={t:t≥0｝21例如，從包含兩件次品(a1,a2)和三件正品(b1,b2,b3)的五件產(chǎn)品中任意取出兩件:例如拿出的兩件是a1、b1這就是一個樣本點,記為{a1,b1}樣本空間為:具體拿出兩件就是一次試驗={{a1,a2},{a1,b1},{a1,b2},{a1,b3},{a2,b1},{a2,b2},{a2,b3},{b1,b2},{b1,b3},{b2,b3}}22把樣本空間的任意一個子集稱為一個隨機事件,簡稱事件可見,隨機事件是由試驗的若干個結(jié)果組成的集合記作A、B、C等23在上例中,令表示事件:“沒有抽到次品”表示事件:“恰好抽到一件次品”A={{b1,b2},{b1,b3},{b2,b3}}B={{a1,b1},{a1,b2},{a1,b3},{a2,b1},{a2,b2},{a2,b3}}24在試驗中,當事件中的一個樣本點出現(xiàn)時,稱這一事件發(fā)生上例中,事件A發(fā)生當且僅當A中所含的3個樣本點之一出現(xiàn);事件B發(fā)生當且僅當B中所含的6個樣本點之一出現(xiàn)25必然事件:在每次試驗中必然出現(xiàn)的事件,記為不可能事件:一定不出現(xiàn)的事件,記為兩個特殊的事件：例如,在擲骰子試驗中:是必然事件是不可能事件“擲出點數(shù)小于7”“擲出點數(shù)8”26二、事件的關(guān)系及運算對應(yīng)集合的關(guān)系和運算來定義事件的關(guān)系及運算,并根據(jù)“事件發(fā)生”的含義,來理解它們在概率論中的含義27B

1.

子事件包含事件A發(fā)生必有事件B發(fā)生,稱B包含AA顯然A相等AB且BA

A=B:AB:282.

和事件:事件A和B至少有一個發(fā)生A

B顯然,A∪=A

A∪=A∪B293.

積事件:事件A與B同時發(fā)生簡寫AB

A

B顯然,A∩=A∩=AA∩B304.

互斥事件(互不相容):事件A與B是互斥的,或互不相容的AB互斥的事件不可能在一次試驗中同時發(fā)生A∩B=315.

差事件:事件A發(fā)生而B不發(fā)生AB顯然,AA=A=AA=AB326.

逆事件(對立事件)：A不發(fā)生

A顯然,33事件的和與積可推廣到有(無)限個事件的情形：A1,A2,…,An,…中至少有一個發(fā)生A1,A2,…,An,…同時發(fā)生34注:互斥與互逆:AB若A∪B=,則A與B互逆互逆一定互斥若A∪B,則A與B不是互逆的A∩B=A與B互斥35事件的運算1、交換律:A∪B=B∪AAB=BA2、結(jié)合律:(A∪B)∪C=A∪(B∪C)(AB)C=A(BC)3、分配律:(A∪B)C=(AC)∪(BC)(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C)364、對偶律:可推廣:37A1:“至少有一人命中目標”:A2:“恰有一人命中目標”:A3:“恰有兩人命中目標”:A4:“最多有一人命中目標”:A5:“三人均命中目標”:A6:“三人均未命中目標”:例1甲、乙、丙三人各向目標射擊一發(fā)子彈,以A、B、C分別表示甲、乙、丙命中目標,試用A、B、C的運算關(guān)系表示下列事件:ABCA∪B∪C38三、頻率和統(tǒng)計規(guī)律性研究隨機現(xiàn)象,不僅關(guān)心試驗中會出現(xiàn)哪些事件,更重要的是想知道事件出現(xiàn)的可能性大小,也就是事件的概率39為事件A在這次試驗中發(fā)生的頻率定義:頻率事件A在相同條件下進行的n次試驗中發(fā)生了m次,稱記為fn(A)1.事件的頻率40頻率的性質(zhì)：(1)0≤fn(A)≤1(2)fn()=1,fn()=0(3)若事件A1,A2,…,Ak兩兩互斥,則41再進一步找出事件發(fā)生的規(guī)律:

從例表中可見,在相同條件下,當試驗次數(shù)較少時,事件的頻率較不穩(wěn)定,當試驗次數(shù)逐漸增大時,事件的頻率總在一個定值附近擺動，而且，試驗次數(shù)越多，一般來說擺動越小.這個性質(zhì)叫做頻率的穩(wěn)定性.頻率的這種穩(wěn)定性,即統(tǒng)計規(guī)律性,說明了一個事件發(fā)生的可能性有一定的大小可言42

頻率在一定程度上反映了事件發(fā)生的可能性大小.盡管每進行一連串（n次）試驗，所得到的頻率可以各不相同，但只要

n相當大，頻率就會非常接近一個值----概率.

因此，概率是可以通過頻率來“測量”的,頻率是概率的一個近似.頻率概率43

考慮在相同條件下進行的S輪試驗.第二輪試驗試驗次數(shù)n2事件A出現(xiàn)m2次第S輪試驗試驗次數(shù)ns事件A出現(xiàn)ms次試驗次數(shù)n1事件A出現(xiàn)m1次第一輪試驗事件A在各輪試驗中頻率形成一個數(shù)列我們來說明頻率穩(wěn)定性的含義.…………44

指的是：當各輪試驗次數(shù)n1,n2,…,ns

充分大時，在各輪試驗中事件A出現(xiàn)的頻率之間、或者它們與某個平均值相差甚微

.頻率

穩(wěn)定在概率

p附近

頻率穩(wěn)定性45

這種穩(wěn)定性為用統(tǒng)計方法求概率的數(shù)值開拓了道路.出時，人們常取實驗次數(shù)很大時事件的頻率作為概率的估計值，這種確定概率的方法稱為頻率方法.在實際中，當概率不易求統(tǒng)計概率稱此概