第二章平面向量向量的概念及表示【學(xué)習(xí)目標(biāo)】了解向量的實(shí)際背景，理解平面向量的概念和向量的幾何表示；掌握向量的模、零向量、單位向量、平行向量、相等向量、共線向量的概念；并會(huì)區(qū)分平行向量、相等向量和共線向量；通過(guò)對(duì)向量的學(xué)習(xí)，使學(xué)生初步認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)生活中的向量和數(shù)量的本質(zhì)區(qū)別；通過(guò)學(xué)生對(duì)向量與數(shù)量的識(shí)別能力的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)識(shí)客觀事物的數(shù)學(xué)本質(zhì)的能力?！緦W(xué)習(xí)重難點(diǎn)】重點(diǎn)：平行向量的概念和向量的幾何表示；難點(diǎn)：區(qū)分平行向量、相等向量和共線向量；基礎(chǔ)梳理1.向量的定義：;2.向量的表示：（1）圖形表示：（2）字母表示：3.向量的相關(guān)概念：（1）向量的長(zhǎng)度（向量的模）：記作：（2）零向量：，記作：（3）單位向量：（4）平行向量：（5）共線向量：（6）相等向量與相反向量：

思考：（1）平面直角坐標(biāo)系中，起點(diǎn)是原點(diǎn)的單位向量，它們的終點(diǎn)的軌跡是什么圖形（2）平行向量與共線向量的關(guān)系：（3）向量“共線”與幾何中“共線”有何區(qū)別：【典型例題】例1.判斷下例說(shuō)法是否正確，若不正確請(qǐng)改正：1）零向量是唯一沒(méi)有方向的向量2）平面內(nèi)的向量單位只有一個(gè)；3）方向相反的向量是共線向量，共線向量不一定是相反向量；rr（4rr（4）向量a和b是共線向量,rrb//crr則a和c是方向相同的向量;5）相等向量一定是共線向量；例2.已知例2.已知0是正六邊形ABCDEFuuur（1）試找出與EF共線的向量;uuur（2）確定與EF相等的向量;uuuruuru（3）0A與BC相等嗎的中心，在圖中標(biāo)出的向量中：例3.如圖所示的為34的方格紙（每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形），試問(wèn)：起點(diǎn)和終uuuuuu_點(diǎn)都在小方格的頂點(diǎn)處且與向量AB相等的向量共有幾個(gè)與向量AB平行且模為P'2的向量共有幾個(gè)與向量AB的方向相同且模為3的向量共有多少個(gè)課后鞏固訓(xùn)練判斷下列說(shuō)法是否正確，若不正確請(qǐng)改正：uuruuuru（1）向量AB和CD是共線向量，則A、BC、D四點(diǎn)必在一直線上;（2）單位向量都相等；（3）任意一向量與它的相反向量都不想等；uuuruuur⑷四邊形ABCD是平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)AB=CD；（5）共線向量，若起點(diǎn)不同，則終點(diǎn)一定不同；uuur平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知1OA1二2，則A點(diǎn)構(gòu)成的圖形是3?四邊形ABCD中，ab=1贋|ad、=|bc則四邊形ABCD的形狀是2，rrr4?設(shè)a豐0，則與a方向相同的單位向量是5.若E、F、M、N分別是四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)uuuruuuur求證：EF//NM6.已知飛機(jī)從甲地北偏東30o的方向飛行2000km到達(dá)乙地，再?gòu)囊业匕茨掀珫|30o的方向飛行2000km到達(dá)丙地，再?gòu)谋匕次髂戏较蝻w行1°°°\/%加到達(dá)丁地，問(wèn)：丁地在甲地的什么方向丁地距甲地多遠(yuǎn)向量的加法【學(xué)習(xí)目標(biāo)】掌握向量加法的定義；會(huì)用向量加法的三角法則和向量的平行四邊形法則作兩個(gè)向量的和向量；掌握向量加法的交換律和結(jié)合律，并會(huì)用它們進(jìn)行向量計(jì)算【學(xué)習(xí)重難點(diǎn)】重點(diǎn)：向量加法的三角法則、平行四邊形則和加法運(yùn)算律；難點(diǎn)：向量加法的三角法則、平行四邊形則和加法運(yùn)算律；基礎(chǔ)梳理向量的和、向量的加法：rr已知向量a和b,uuurrr則向量OB叫做a與b的和，記作：叫做向量的加法

注意：兩個(gè)向量的和向量還是一個(gè)向量；向量加法的幾何作法：（1）三角形法則的步驟：①②③rrob就是所做的a+b（2）平行四邊形法則的步驟：①②③uuurrr二OC就是所做的a+b注意：向量加法的平行四邊形法則，只適用于對(duì)兩個(gè)不共線的向量相加，而向量加法的三角形法則對(duì)于任何兩個(gè)向量都適用。向量加法的運(yùn)算律：1）向量加法的交換律：

2)向量加法的結(jié)合律：思考：如果平面內(nèi)有n個(gè)向量依次首尾相接組成一條封閉折線，那么這n條向量的和是什么典型例題】例1.如圖，已知0為正六邊形ABCDEFuuuruuur（1）0A+0C的中心，作出下列向量：uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur1)AB+uuuruuur（1）0A+0C的中心，作出下列向量：uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur1)AB+BC+CD+DA+EAuuuruuuruuuruuuur（2）AB+MB+B0+0Muuuruuuruuuruuuruuur（3）AB+DF+CD+BC+FAuuuruuuruuuruuuruuur（4）AB+CD+（BC+DB）+BC例3?在長(zhǎng)江南岸某處，江水以12.5加/h的速度向東流，渡船的速度為25km/h，渡船要垂直地渡過(guò)長(zhǎng)江，其航向應(yīng)如何確定課后鞏固訓(xùn)練rrrr1.已知a，b，求作：ab2)r

a2)r

arb2.已知O是平行四邊形ABCD的交點(diǎn),列結(jié)論正確的有uuuruuuruuur（1）AB+CBuuuruuuruuur（1）AB+CB=ACuuuruuuruuur（3）AD+CD豐BDuuuruuuruuur（2）AB+AD=ACuuuruuuruuuruuurr（4）AO+CO+OB+OD豐0uuuruuuruuurr3?設(shè)點(diǎn)O是AABC內(nèi)一點(diǎn)，若OA+OB+OC=0，則點(diǎn)0為^ABC的心；rr4?對(duì)于任意的a，b，不等式1rrrrraI-1b1<1a+b1<1a1+1b1成立嗎請(qǐng)說(shuō)明理由。向量的減法學(xué)習(xí)目標(biāo)】理解向量減法的概念；會(huì)做兩個(gè)向量的差；會(huì)進(jìn)行向量加、減得混合運(yùn)算培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維能力和認(rèn)識(shí)問(wèn)題的能力【學(xué)習(xí)重難點(diǎn)】重點(diǎn)：三角形法則難點(diǎn)：三角形法則，向量加、減混合運(yùn)算基礎(chǔ)梳理向量的減法：rrrrra與b的差：若，則向量x叫做a與b的差，記為rr向量a與b的減法：求兩個(gè)向量差的運(yùn)算叫做向量的減法；注意：向量的減法是向量加法的逆運(yùn)算。rr2.向量a-b的減法的作圖方法：作法：①②uuurrr則BA=a—b減去一個(gè)向量等于加上這個(gè)向量的相反向量rrrra—b=a+(—b)關(guān)于向量減法需要注意一下幾點(diǎn)：在用三角形法則做向量減法時(shí)，只要記住連接兩向量的終點(diǎn)，箭頭指向被減向量即可uuurruuurru以向量AButU，AD為鄰邊作平行四邊形ABCD，則兩條對(duì)角線的向量為AC二a+b,BD=b-a，DB=a-b這一結(jié)論在以后應(yīng)用還是非常廣泛，應(yīng)加強(qiáng)理解；uuuruuuruuur③對(duì)于任意一點(diǎn)°，AB=OB—OA，簡(jiǎn)記“終減起”在解題中經(jīng)常用到，必須記住.【典型例題】rrrurrrrur例1.已知向量a，b，c，d，求作向量：a-b，c-d；rrrr思考：如果a//b，怎么做出a一buuurruuurruuurr思考uuuruuuruuuruuuruuuruuur1.（1）OA=OC+CA=OC+CB+CDrruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur（2）c—a=OC—AB=OC—DC=OD=OA+AD任意一個(gè)非零向量都可以表示為兩個(gè)不共線的向量和例3.化簡(jiǎn)下列各式uuuruuuruuuruuur⑴AB—BC+（BD—AD）uuuruuuruuuruuuruuur（2）AB+DA+BD—BC—CAuuuruuuruuuruuur（3）（AB—DC）—（AC—BD）課后鞏固訓(xùn)練1.在AABC中，上C=900,AC=BC，下列等式成立的有uuuruuuruuuruuur⑴ICA-CB1=1CA+CBIuuuruuuruuuruuurIAB-ACI=IBA-BCIuuuruuuruuuruuurICA-BAI=ICB-ABIuuuruuuruuuruuuruuuruuur⑷ICA+CB|2=IAB-ACI2+1BA-CAbuuuruuuruuuruuur2.已知四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交與0點(diǎn)，且AO=OC，BO=OD,求證：四邊形ABCD是平行四邊形。3?如圖，ABCDr是u一個(gè)梯r形,AB//CDUUArB=UCD,M,N分別是DC,AB的中點(diǎn)，已知AB=a，AD=b，試用a，b表示BC和MN向量的數(shù)乘（1）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】掌握向量數(shù)乘的定義，會(huì)確定向量數(shù)乘后的方向和模；掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算律，并會(huì)用它進(jìn)行計(jì)算；通過(guò)本課的學(xué)習(xí)，滲透類(lèi)比思想和化歸思想【學(xué)習(xí)重難點(diǎn)】重點(diǎn)：向量的數(shù)乘及運(yùn)算律；難點(diǎn)：向量的數(shù)乘及運(yùn)算律；基礎(chǔ)梳理1.向量的數(shù)乘的定義：r一般地，實(shí)數(shù)九與向量a的積是一個(gè)向量，記作：;它的長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下:rr⑴I九a1=1九IIaI（2）當(dāng)九〉0時(shí)，；

當(dāng)九＜0時(shí)，;當(dāng)九二0時(shí)，;叫做向量的數(shù)乘2.向量的線性運(yùn)算定義：統(tǒng)稱(chēng)為向量的線性運(yùn)算向量的數(shù)乘的作圖：rrr已知a,作b=xar當(dāng)九〉0時(shí)，把a(bǔ)按原來(lái)的方向變?yōu)樵瓉?lái)的九倍;r當(dāng)九＜0時(shí)，把a(bǔ)按原來(lái)的相反方向變?yōu)樵瓉?lái)的九倍;向量的數(shù)乘滿足的運(yùn)算律：rr設(shè)九'卩為任意實(shí)數(shù)，a，b為任意向量，則（1）結(jié)合律2）分配律注意：（1）向量本身具有“形”和“數(shù)”的雙重特點(diǎn)，而在實(shí)數(shù)與向量的積得運(yùn)算過(guò)程中既要考慮模的大小，又要考慮方向，因此它是數(shù)形結(jié)合的具體應(yīng)用，這一點(diǎn)提示我們研究向量不能脫離它的幾何意義；（2）向量的數(shù)乘及運(yùn)算性質(zhì)可類(lèi)比整式的乘法來(lái)理解和記憶?！镜湫屠}】rr例1.已知向量a，b，求作:

r(1)向量_2.5arr2)2a_3b例2.計(jì)算r1)(_5)g4arr2)2)5(a+b)—4(a—b)—3arrrrrr3)2(2a+6b—3c)—3(—3a+4b—2c3)注意：（1）向量的數(shù)乘與實(shí)數(shù)的數(shù)乘的區(qū)別：相同點(diǎn)：這兩種運(yùn)算都滿足結(jié)合律和分配律。不同點(diǎn)：實(shí)數(shù)的數(shù)乘的結(jié)果（積）是一個(gè)實(shí)數(shù)，而向量的數(shù)乘的結(jié)果是一個(gè)向量。（2）向量的線性運(yùn)算的結(jié)果是一個(gè)向量，運(yùn)算法則與多項(xiàng)式運(yùn)算類(lèi)似。uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur例3.已知OA，OB是不共線的向量，AP=tAB，（teR），試用OA，OB表示OP吳HozgQp?啞frspgup痕工3OHuo+go+po(m)」imssssonHa+GVsjimssjwZ

op+gsHIHQPQ)

jmssL?啞op哄啞-frEBog氷Qfrosw“呈口?寸亙課后鞏固訓(xùn)練1.計(jì)算：rrrr(1)3(5a—3b)—2(6a+b)rrrrrr(2)4(a—3b+5c)—2(—3a—6b+8c)rrrrrrrrrr2.已知向量a,b且3(x+a)+2(x—2a)—4(x—a+b)=0,求uuurruuurruuuruuurrr3?在平行四邊形ABCD中，AB二a,AD二b,AN二3NC,M為BC的中點(diǎn)，用a，b來(lái)表示MN4.如圖4.如圖ABC中求向量AGuuurruuurrAB=a,BC—b，AD為邊BC的中線，G為AABC的重心,向量的數(shù)乘（2）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】理解并掌握向量的共線定理；能運(yùn)用向量共線定理證明簡(jiǎn)單的幾何問(wèn)題培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力【學(xué)習(xí)重難點(diǎn)】重點(diǎn)：向量的共線定理；難點(diǎn)：向量的共線定理；基礎(chǔ)梳理1.向量的線性表示：rrrrrr若果b=九a，（a主0），則稱(chēng)向量b可以用非零向量a線性表示;2.向量共線定理：rr思考：向量共線定理中有a工0這個(gè)限制條件，若無(wú)此條件，會(huì)有什么結(jié)果典型例題】

uuuruuru將DE用BC線性表示;uuruuuur求證：BC與DE共線;iriir例Ur2.ir設(shè)AB=2e+ke,CB=e+3e,CD=例Ur2.ir設(shè)AB=2e+ke,CB=e+3e,CD=2e12121iriir變式：設(shè)e1,e2是兩個(gè)不共線的向量，已知A，A，B，D三點(diǎn)共線。AB=2e—8e,CB=e+3e,CD=2e—e求證121212例3.如圖，AOAB中，C為直線AB上一點(diǎn)，AC=ACB,(Xh—1)iuuuruuuruuuOA+九OB求證：OC=—1+九思考：(1)當(dāng)九=1時(shí)，你能得到什么結(jié)論uuuruuur(2)上面所證的結(jié)論：OC=OA券B表明起點(diǎn)為O，終點(diǎn)為直線AB上一點(diǎn)C的uuruuuuruuuruuuruuur向量OC可以用°A,OB表示，那么兩個(gè)不共線的向量OA,OB可以表示平面上任意一個(gè)向量嗎課后鞏固訓(xùn)練ruruurruururrr1.已知向量a=2氣-2冷,b=_3（e_e），求證：a，b為共線向量;uruurruruurruruurrr2?設(shè)：，e2是兩個(gè)不共線的向量，a=2ei-分b=ke1+e2'若a,b是共線向量，求k的值。ruruurruruururuurruruur3.已知向量a=2e一3e，b=2e+3e，其中e，e不共線，向量c=2e一9e，是否12121212urrrr存在實(shí)數(shù)九，卩，使得d二九a+Pb與c共線uuuruuuruuur4?平面直角坐標(biāo)系中，已知A(3,1),B(—1,3),若點(diǎn)C滿足°C二QOA+卩0B,其中a,卩&R,A,B,C三點(diǎn)共線，求Q+卩的值；2．3．1平面向量基本原理【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．了解平面向量的基本定理及其意義；2．掌握三點(diǎn)（或三點(diǎn)以上）的共線的證明方法3．提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力?；A(chǔ)梳理1、平面向量的基本定理如果ei，e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量,那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)-，入2使a=入iei+入2e2、基底：平面向量的基本定理中的不共線的向量e,e,稱(chēng)為這一平面內(nèi)所有向量的一組基12底。思考：（1）向量作為基底必須具備什么條件（2）一個(gè)平面的基底唯一嗎答：（1）（2）3、向量的分解、向量的正交分解：一個(gè)平面向量用一組基底e,e表示成a=九e+九e的形式，我們稱(chēng)它為向量的分解,121122I，當(dāng)e,e互相垂直時(shí)，就稱(chēng)為向量的正交分解。124、點(diǎn)共線的證明方法：典型例題】1：如圖：平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC和BD交于一點(diǎn)M，AB=a,AD=b試用,b，表示MC,MA,MB和MD。2：設(shè)e1e2是平面的一組基底，如果AB=3e1—2e2，BC=4e1+e2，CD=8ei—9e2,求證：A、B、D三點(diǎn)共線。1111AABMAABM例3：如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)M在AB的延長(zhǎng)線上，且BM=?AB,點(diǎn)N在BC1上，且BN=3BC，用向量法證明：M、N、D三點(diǎn)共線。課后鞏固訓(xùn)練1、若e，e1、12）A、e—2e和e+2e1212B、e與3e12A、e—2e和e+2e1212B、e與3e12C、2e+3e和-4e—6e1212D、e+e與e1212、若ei，e2是平面內(nèi)所有向量的一組基底’那么下列結(jié)論成立的是（）A、若實(shí)數(shù)九J九2使九iei++2e2=0,則九i=九2=0B、空間任意向量都可以表示為a=九1e1+九2e2，九1,%RC、九iei+九2e2，九1，PR不一定表示平面內(nèi)一個(gè)向量—*―r—■■;D、對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，使a=九e+九e的實(shí)數(shù)對(duì)九，11221九2有無(wú)數(shù)對(duì)3、三角形ABC中，若D，E，F(xiàn)依次是AB四等分點(diǎn)，則以CB=e1，CA=e為基2底時(shí)，用ei，e2表示CFD?D?4、若a=-e4、若a=-e+3e,2+2e2c=-3e1+12e2,寫(xiě)出用用ib+入2C的形式表示2．3．2向量的坐標(biāo)表示(1)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、能正確的用坐標(biāo)來(lái)表示向量；2、能區(qū)分向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)的不同；3、掌握平面向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算；4、提高分析問(wèn)題的能力?；A(chǔ)梳理

1、一般地，對(duì)于向量a，當(dāng)它的起點(diǎn)移至?xí)r，其終點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)稱(chēng)為向量a的(直角)坐標(biāo)，記作。2、有向線段AB的端點(diǎn)坐標(biāo)為A(x,y),B(x,y)，則向量AB的坐標(biāo)為11223、若3、若a=(%yi)b=(X2,y2)a+b=【典型例題】例1：如圖，已知0是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，OA=4朽，ZxOA=600，求向量OA的坐標(biāo)。例2例2：已知A(-1，3)，B(1，-3)，C(4,1),D(3,4),求向量OA,OB,AO,CD的坐標(biāo)。例3：平面上三點(diǎn)A（-2,1），B（-1,3），C（3，4）,求D點(diǎn)坐標(biāo)，使A,B,C,D這四個(gè)點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)。例4：已知P1(x,y),p2(x,y),p是直線P1P2上一點(diǎn)，且PP=九PP(九1),1112221212求p的坐標(biāo)。課后鞏固訓(xùn)練11、與向量a=(12,5)平行的單位向量為11、與向量a=(12,5)平行的單位向量為2、若0(0,0),B(-1,3)且OB/=3OB，貝yB/坐標(biāo)是：3、已知0是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在第二象限，OA=2,ZxOA=1500求向量OA的坐標(biāo)。4、已知邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC,頂點(diǎn)A在坐標(biāo)原點(diǎn)，AB邊在x軸上，點(diǎn)C在第一象限,D為AC的中點(diǎn)，分別求AB,AC,BC,BD的坐標(biāo)。2．3．2向量的坐標(biāo)表示(2)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、進(jìn)一步掌握向量的坐標(biāo)表示；2、理解向量平行坐標(biāo)表示的推導(dǎo)過(guò)程；例例3：已知點(diǎn)O,A,B,C,的坐標(biāo)分別為(0，0)，(3，4)，(－1，2)，(1，1)，是否存例例3：已知點(diǎn)O,A,B,C,的坐標(biāo)分別為(0，0)，(3，4)，(－1，2)，(1，1)，是否存3、提高運(yùn)用向量的坐標(biāo)表示解決問(wèn)題的能力。基礎(chǔ)梳理1、向量平行的線性表示是2、向量平行的坐標(biāo)表示是：設(shè)2、向量平行的坐標(biāo)表示是：設(shè)a=(x,y)11，反之也成立。，b=(X2,UM豐0)，如果a〃b，那么3、已知A,B,C,O四點(diǎn)滿足條件：aOA+卩OB=OC，當(dāng)a+卩=1,則能得到【典型例題】11-AE=ACBF=BC例1已知A(-1,0),B(3,-1),C(1,2),并且A3C3C，求證：EF//AB?！?■—9-—■—■>—?—?例2：已知a=(1,0),b=(2,1),當(dāng)實(shí)數(shù)k為何值時(shí)，向量ka-b與a+3b平行并確定此時(shí)它們是同向還是反向。在常數(shù)t,OA+tOB=OC成立解釋你所得結(jié)論的幾何意義。課后鞏固訓(xùn)練—r—frf—b1.已知a=(2,3),b=(6,y),且a〃b，求實(shí)數(shù)y的值。2.已知，平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(2,1)，B(—1,3),C(3,4),求第四個(gè)頂點(diǎn)的D坐標(biāo)。3.3.已知A(0,—2),B(2,2),C(3,4),求證：A,B,C三點(diǎn)共線。ff已知向量a=（一3,—4），求與向量a同方向的單位向量。5.若兩個(gè)向量a=5.若兩個(gè)向量a=(—1,x),b=(—x,4）方向相同，求a-2b。2．4．1向量的數(shù)量積（1）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】理解平面向量數(shù)量積的概念及其幾何意義掌握數(shù)量積的運(yùn)算法則了解平面向量數(shù)量積與投影的關(guān)系基礎(chǔ)梳理已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為&，則把數(shù)量叫做向量a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積）。規(guī)定：零向量與任何一向量的數(shù)量積為—*■—rF—*■?2.已知兩個(gè)非零向量a與b，作OA二a，OB二b，則叫做向量a當(dāng)0=00當(dāng)0=00時(shí)，a與b，當(dāng)0=18Oo時(shí)，a與b；當(dāng)0=9Oo時(shí),則稱(chēng)a與b叫做b在a方向上的投影。對(duì)于a?b=a叫做b在a方向上的投影。平面向量數(shù)量積的性質(zhì)—r—rf—Ir―to-—Is-若a與b是非零向量，e是與b方向相同的單位向量，0是a與b的夾角，則:a?e=e?a=a?cos。①②a?b=ooa丄b；7④若a與b同向，則a?b二a?b；若a與b反向，則a?b7④若a與b同向，則a?b二⑤設(shè)0⑤設(shè)0是a與b的夾角，則cosHlbl數(shù)量積的運(yùn)算律①交換律：數(shù)乘結(jié)合律：分配律：注：①、要區(qū)分兩向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)與數(shù)乘向量，實(shí)數(shù)與實(shí)數(shù)之積之間的差異。②、數(shù)量積得運(yùn)算只適合交換律，加乘分配律及數(shù)乘結(jié)合律，但不適合乘法結(jié)合律。即■"峠ff*(a?b)?c不一定等于a?(b?c)，也不適合消去律?！镜湫屠}】例1：已知向量a與向量例1：已知向量a與向量b的夾角為0,ab=3，分別在下列條件下求a?b:(1)0=1350；(2)a//b；(3)a丄b求：（求：（1）、a?b(2)、a?(a+b)(3)、(2a一b)?(a+3b)求：（求：（1）、a?b(2)、a?(a+b)(3)、(2a一b)?(a+3b)例2：已知a=4,b=8，且a與b的夾角為1200。計(jì)算：（1計(jì)算：（1）(a+2b)?(2a一b)(2)(2)a+2bf廠丨ff例3已知a=4,=6,a與b的夾角為600,例例4：已知向量a豐eH=1對(duì)任意teR，恒有a-te>a-e，則()例例4：已知向量a豐eH=1對(duì)任意teR，恒有a-te>a-e，則()A、C、A、C、D、(a+e)丄(a—e)B、a丄課后鞏固訓(xùn)練--(3a)?(b)=—36-1、已知a=10,b=12，且()(5)，則a與b的夾角為2、已知a、b、c是三個(gè)非零向量,試判斷下列結(jié)論是否正確：(1)、若a?b二a?b，則a〃b(2)、若a?c=b?c，貝ya=b(3)、若a+b=a-b，則a丄b3、—*■-*I—*-13、—*■-*I—*-1已知a?b二o,a二2,|b|=3,(3a+2b)?(a-b)二0，則九=4、四邊形ABCD滿足AB=DC，則四邊形ABCD是()A、平行四邊形B、矩形CC、菱形D、正方形CC、菱形D、正方形5、正AABC邊長(zhǎng)為a則AB?AC+BC?CA5、正AABC邊長(zhǎng)為a2．4．1向量的數(shù)量積（2）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、能夠理解和熟練運(yùn)用模長(zhǎng)公式，兩點(diǎn)距離公式及夾角公式2、理解并掌握兩個(gè)向量垂直的條件?；A(chǔ)梳理ff1、若a=(x,y),b=(x,y)則a?b=11222、向量的模長(zhǎng)公式：■1^^I^2——r■■—r設(shè)a=(x,y)則a=aacos9=a?a=x2+y2a=3、兩點(diǎn)間距離公式設(shè)設(shè)A(x1,人)B(X2,打則AB二(X2-X1,y2-yi)，AB二設(shè)設(shè)A(x1,人)B(X2,打則AB二(X2-X1,y2-yi)，AB二4、向量的夾角公式：a?b—■*「mA設(shè)a=(Xi,人)，=設(shè)a=(Xi,人)，=(7y2)5、兩個(gè)向量垂直：設(shè)a=(x,y),b=(x,y),a豐0,b豐01122a丄bo注意：對(duì)零向量只定義了平行，而不定義垂直。典型例題】例1：已知例1：已知a(2,-1)b=(3,-2),求(3a—b)?(a—2b)k-r例2：在AABC中,設(shè)AB=(2,3),AC=(1,k)且AABC為直角三角形,求k的值。例3：設(shè)向量例3：設(shè)向量a=e—e,b=4e+3e,1212—*其中e=110)e2=(01)一-a+b、試計(jì)算a?b及的值。TOC\o"1-5"\h\z—F—F、求向量a與b的夾角大小。課后鞏固訓(xùn)練1、已知a=(2,—2),b=(1,-2)，求：(a—b)?(3a—2b).*■—tof—2、已知向量a=(1,1),b=(2,-3)，若ka—2b與a垂直，則實(shí)數(shù)k=—b-—b-—?-I-—?—t3、則x=已知a=(1,2),b=(x,1)若a+2b與2a3、則x=4、已知A、B、C是平面上的三個(gè)點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為A(1,2),B(4,1),C(0,—1).那么AB?AC=，ZACB=，AABC的形狀為1212、下面給出的關(guān)系式中正確的個(gè)數(shù)是()5、已知a=（m-2,m+3）,b=（2m+1,m-2）,且a與b的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。必修4第二章平面向量教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)一?選擇題（5分X12=60分）：1．1．以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是（A.A.零向量與任一非零向量平行B.零向量與單位向量的模不相等2.3.C.平行向量方向相同下列四式不能化簡(jiǎn)為AD的是（A.（AB＋CD）＋BC2.3.C.平行向量方向相同下列四式不能化簡(jiǎn)為AD的是（A.（AB＋CD）＋BC；C.MB+AD－BM；已知a=(3,4),b=(5,12），B.D.D.平行向量一定是共線向量(AD+MB)+(BC+CM)；OC—OA+CDa與b則夾角的余弦為（A6365B..65C.半已知a、b均為單位向量，它們的夾角為60°,那么|a+3b|=()TOC\o"1-5"\h\zA.\7B..10C.v'13D.4已知ABCDEF是正六邊形，且AB=a,AE=b，則BC=()(A)+(a-b)(B)1(b-a)(C)a++b(D)+(a+b)2222設(shè)a,b為不共線向量，AB=a+2b,BC=一4a—b,CD=—5a—3b,則下列關(guān)系式中正確的是()(A)~AD=1BC(B)~AD=2BC(C)~AD=—BC(D)~AD=—2BC設(shè)與3是不共線的非零向量，且k+3與+k3共線，則k的值是()121212(A)1(B)—1(C)土1(D)任意不為零的實(shí)數(shù)8在四邊形ABCD中，~AB=DC，且AC?BD=0,則四邊形ABCD是()(A)矩形(B)菱形(C)直角梯形(D)等腰梯形已知M(—2,7)、N(10，—2)，點(diǎn)P是線段MN上的點(diǎn)，且PN=—2PM，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為()(A)(—14，16)(B)(22，—11)(C)(6，1)(D)(2，4)已知a=(1，2)，b=(—2，3)，且ka+b與a—kb垂直，則k=()(A)-1土邁(B)<2土1(C)<2土3(D)3土邁rrrr若平面向量a=(1,x)和b=(2x+3,-x)互相平行，其中xeR.則a一b=()A.-2或0；B.2j5；C.2或2^5；D.2或10.

①&a=0②乩b=b-a③a=岡2④&b)c=a(b.P)⑤a.b<a.bTOC\o"1-5"\h\z(A)0(B)1(C)2(D)3二.填空題(5分X5=25分)：13.若AB=(3,4),A點(diǎn)的坐標(biāo)為(—2,—1),則B點(diǎn)的坐標(biāo)已知a=(3,—4),b=(2,3)，則21aI—3a-b=.15、已知向量怩=3,b=(1,2)，且丄b，則的坐標(biāo)是。16、AABC中，A(1,2),B(3,1)，重心G(3,2),貝VC點(diǎn)坐標(biāo)為。如果向量業(yè)與b的夾角為e,那么我們稱(chēng)業(yè)xb為向量趾與b的“向量積”AXb是一個(gè)向量，它的長(zhǎng)度|業(yè)xb|=|業(yè)||b|sine,如果I業(yè)1=4,|b|=3,fl?b=-2，貝U|業(yè)Xb|=。三.解答題(65分):17-(10分)已知向量一d求向量°使⑹胡引’并且此與“的夾角為P18、(14分)設(shè)平面三點(diǎn)A(1,0),B(0,1),C(2,5).(1(1)試求向量2AB+AC的模;(2)試求向量AB與AC的夾角;3)試求與BC垂直的單位向量的坐標(biāo).19.（12分）已知向量a=③血,求向量b,使|b|=2|皿|,并且吐與b的夾角為3。20.（13分）已知平面向量a二G'3,-1）,b二$，★）?若存在不同時(shí)為零的實(shí)數(shù)k和t,使x=a+(2一3)b,y=-ka+tb,且x丄y.1）試求函數(shù)關(guān)系式k=f（t）2）求使f（t）>0的t的取值范圍.21.（13分）如圖,—、―AB=(6,1),BC=罠必CD=（一積。⑴求x與y間的關(guān)系;⑵若ACIr求x與y的值及四邊形ABCD的面1313131322.（13分）已知向量a、b是兩個(gè)非零向量，當(dāng)a+tb（t$R啲模取最小值時(shí),（1）求t的值（2）已知a、b共線同向時(shí)，求證b與a+tb垂直

參考答案選擇題：1C、2