人教A版高中數(shù)學(xué)必修4第一章三角函數(shù)復(fù)習(xí)學(xué)案人教A版高中數(shù)學(xué)必修4第一章三角函數(shù)復(fù)習(xí)學(xué)案人教A版高中數(shù)學(xué)必修4第一章三角函數(shù)復(fù)習(xí)學(xué)案資料僅供參考文件編號(hào)：2022年4月人教A版高中數(shù)學(xué)必修4第一章三角函數(shù)復(fù)習(xí)學(xué)案版本號(hào)：A修改號(hào)：1頁(yè)次：1.0審核：批準(zhǔn):發(fā)布日期：第一章三角函數(shù)一、任意角1．廣義角正角：按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角．按邊旋轉(zhuǎn)的方向分零角：如果一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)，我們稱它形成了一個(gè)零角．角負(fù)角：按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做負(fù)角．的第一象限角{α|k?360°＜α＜90°+k?360°，k∈Z}分象限角第二象限角{α|90°+k?360°＜α＜180°+k?360°，k∈Z}類第三象限角{α|180°+k?360°＜α＜270°+k?360°，k∈Z}按終邊的位置分第四象限角{α|270°+k?360°＜α＜360°+k?360°，k∈Z}或{α|－90°+k?360°＜α＜k?360°，k∈Z}軸上角（象間角）：當(dāng)角的終邊與坐標(biāo)軸重合時(shí)叫軸上角，它不屬于任何一個(gè)象限．2．終邊相同角的表示：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S={β|β=α+k?360°，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整個(gè)周角的和．3．幾種特殊位置的角：（1）終邊在x軸上的非負(fù)半軸上的角：α=k?360°，k∈Z；（2）終邊在x軸上的非正半軸上的角：α=180°+k?360°，k∈Z；（3）終邊在x軸上的角：α=k?180°，k∈Z；（4）終邊在y軸上的角：α=90°+k?180°，k∈Z；（5）終邊在坐標(biāo)軸上的角：α=k?90°，k∈Z；（6）終邊在y=x上的角：α=45°+k?180°，k∈Z；（7）終邊在y=－x上的角：α=－45°+k?180°，k∈Z或α=135°+k?180°，k∈Z；（8）終邊在坐標(biāo)軸或四象限角平分線上的角：α=k?45°，k∈Z．例1已知α為銳角，那么2α是（）．A．小于180°的正角B．第一象限的角C．第二象限的角D．第一或第二象限的角答案：A解析：∵α為銳角，∴0°＜α＜90°，∴0°＜2α＜180°，故選A．例2射線OA繞端點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°到達(dá)OB位置，由OB位置順時(shí)針旋轉(zhuǎn)270°到達(dá)OC位置，則∠AOC＝（）．A．150°B．－150°C．390°D．－390°答案：B解析：各角和的旋轉(zhuǎn)量等于各角旋轉(zhuǎn)量的和，∴120°＋（－270°）＝－150°．例3如圖所示，終邊落在陰影部分的角的集合是（）．A．{α|－45°≤α≤120°}B．{α|120°≤α≤315°}C．{α|k?360°－45°≤α≤k?360°＋120°，k∈Z}D．{α|k?360°＋120°≤α≤k?360°＋315°，k∈Z}答案：C解析：由如圖所知，終邊落在陰影部分的角的取值是k?360°－45°≤α≤k?360°＋120°，k∈Z，故選C．二、弧度制1．弧度：在圓中，把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，用符號(hào)rad表示．2．一般地，正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0．3．如果半徑為r的圓的圓心角α所對(duì)弧的長(zhǎng)為，那么，角α的弧度數(shù)的絕對(duì)值是．相關(guān)公式：（1）； （2）．4．角度制與弧度制的換算：（1）rad； （2）1rad＝．例1扇形的一條弦長(zhǎng)等于半徑，則這條弦所對(duì)的圓心角是（）弧度．A．πB．eq\f(π,2)C．eq\f(π,3)D．eq\f(π,4)答案：C解析：∵圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)等于半徑，∴該圓心角所在的三角形為正三角形，∴圓心角是eq\f(π,3)弧度．例2在直角坐標(biāo)系中，若角α與角β終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則必有（）．A．α＝－βB．α＝－2kπ±β（k∈Z）C．α＝π＋βD．α＝2kπ＋π＋β（k∈Z）答案：D解析：將α旋轉(zhuǎn)π的奇數(shù)倍得β．例3在半徑為3cm的圓中，60°的圓心角所對(duì)的弧的長(zhǎng)度為（）．A．eq\f(π,3)cmB．πcmC．eq\f(3π,2)cmD．eq\f(2π,3)cm答案：B解析：由弧長(zhǎng)公式得，l＝|α|r＝eq\f(π,3)×3＝π（cm）．三、三角函數(shù)定義1．單位圓：在直角坐標(biāo)系中，我們稱以原點(diǎn)O為圓心，以單位長(zhǎng)度為半徑的圓為單位圓．2．利用單位圓定義任意角的三角函數(shù)：設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P（x，y），那么：（1）y叫做α的正弦，記作sinα，即sinα=y；（2）x叫做α的余弦，記作cosα，即cosα=x；（3）叫做α的正切，記作tanα，即tanα=（x≠0）．3．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系平方關(guān)系：；．商的關(guān)系：當(dāng)α≠kπ+（k∈Z）時(shí)，．例1已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)（－4，3），則cosα＝（）．A．eq\f(4,5)B．eq\f(3,5)C．－eq\f(3,5) D．－eq\f(4,5)答案：D解析：由條件知：x＝－4，y＝3，則r＝5，∴cosα＝eq\f(x,r)＝－eq\f(4,5)．例2若sinθ?cosθ＜0，則θ在（）．A．第一、二象限B．第一、三象限C．第一、四象限D(zhuǎn)．第二、四象限答案：D解析：∵sinθcosθ＜0，∴sinθ，cosθ異號(hào)．當(dāng)sinθ＞0，cosθ＜0時(shí)，θ在第二象限；當(dāng)sinθ＜0，cosθ＞0時(shí)，θ在第四象限．例3已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（－b，4），且sinα＝eq\f(4,5)，則b等于（）．A．3B．－3C．±3答案：C解析：r＝|OP|＝eq\r(b2＋16)，sinα＝eq\f(4,\r(b2＋16))＝eq\f(4,5)，∴b＝±3．四、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式公式一公式二公式三公式四公式一到四可以概括如下：，，的三角函數(shù)值，等于的同名函數(shù)值，前面加上一個(gè)把看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)．公式五公式六公式五、六可以概括如下：的正弦（余弦）函數(shù)值，分別等于余弦（正弦）函數(shù)值，前面加上一個(gè)把看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)（奇變偶不變，符號(hào)看象限）．例1sin600°＝（）．A．－eq\f(1,2)B．eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(3),2)D．eq\f(\r(3),2)答案：C解析：sin600°＝sin（360°＋240°）＝sin240°＝sin（180°＋60°）＝－sin60°＝－eq\f(\r(3),2)．例2已知角θ的終邊過(guò)點(diǎn)（4，－3），則cos（π－θ）＝（）．A．eq\f(4,5)B．－eq\f(4,5)C．eq\f(3,5)D．－eq\f(3,5)答案：B解析：由題意，知cosθ＝eq\f(x,r)＝eq\f(4,5)，∴cos（π－θ）＝－cosθ＝－eq\f(4,5)．例3下列各三角函數(shù)值：①sin1125°；②taneq\f(37π,12)?sineq\f(37π,12)；③eq\f(sin3,tan3)；④sin1－cos1．其中為負(fù)值的個(gè)數(shù)是（）．A．1B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)答案：B解析：1125°＝1080°＋45°，則1125°是第一象限的角，所以sin1125°＞0；因eq\f(37π,12)＝2π＋eq\f(13,12)π，則eq\f(37,12)π是第三象限角，所以taneq\f(37,12)π＞0，sineq\f(37,12)π＜0，故taneq\f(37,12)π?sineq\f(37,12)π＜0；因3弧度的角在第二象限，則sin3＞0．tan3＜0，故eq\f(sin3,tan3)＜0；因eq\f(π,4)＜1＜eq\f(π,2)，則sin1－cos1＞0．∴②③為負(fù)數(shù)．因此選B．五、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)正弦函數(shù)y=sinx余弦函數(shù)y=cosx正切函數(shù)y=tanx定義域RR值域[－1，1][－1，1]R零點(diǎn)周期性T=2πT=2πT=π奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性增區(qū)間減區(qū)間對(duì)稱性對(duì)稱軸對(duì)稱中心圖像注意：周期為2π；周期為π；周期為2π；不是周期函數(shù)．例1函數(shù)y＝sin（x－eq\f(π,4)）的一條對(duì)稱軸可以是直線（）．A．x＝eq\f(π,2)B．x＝eq\f(7π,4)C．x＝－eq\f(3π,4) D．x＝eq\f(π,4)答案：B解析：解法一：令x－eq\f(π,4)＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，∴x＝kπ＋eq\f(3π,4)，k∈Z．當(dāng)k＝1時(shí)，x＝eq\f(7π,4)，故選B．解法二：當(dāng)x＝eq\f(7π,4)時(shí)，y＝sin（eq\f(7π,4)－eq\f(π,4)）＝sineq\f(3π,2)＝－1，∴x＝eq\f(7π,4)是函數(shù)y＝sin（x－eq\f(π,4)）的一條對(duì)稱軸．例2函數(shù)y＝sin2x的單調(diào)減區(qū)間是（）．A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2kπ，\f(3,2)π＋2kπ))（k∈Z） B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,4)，kπ＋\f(3,4)π))（k∈Z）C．[π＋2kπ，3π＋2kπ]（k∈Z） D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,4)，kπ＋\f(π,4)))（k∈Z）答案：B解析：由2kπ＋eq\f(π,2)≤2x≤2kπ＋eq\f(3,2)π，k∈Z得y＝sin2x的單調(diào)減區(qū)間是[kπ＋eq\f(π,4)，kπ＋eq\f(3,4)π]（k∈Z）．例3已知函數(shù)y＝1＋sinx，x∈[0，2π]，則該函數(shù)圖象與直線y＝eq\f(3,2)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）．A．0B．1C．2答案：C解析：分別作出函數(shù)y＝1＋sinx，x∈[0，2π]與直線y＝eq\f(3,2)的圖象，如下圖所示：由圖可知，函數(shù)y＝1＋sinx，x∈[0，2π]與直線y＝eq\f(3,2)有兩個(gè)交點(diǎn)，故選C．例4已知函數(shù)f（x）＝．（1）求f（x）的定義域、值域和單調(diào)區(qū)間；（2）判斷f（x）的奇偶性．解：（1）要使函數(shù)有意義，須sin2x＞0，∴2kπ＜2x＜2kπ＋π，∴kπ＜x＜kπ＋eq\f(π,2)（k∈Z），∴f（x）定義域?yàn)椋琸∈Z．∵0＜sin2x≤1，∴0＜eq\f(1,2)sin2x≤eq\f(1,2)，∴≥1，即值域?yàn)閇1，＋∞）．令y＝sin2x，則函數(shù)y＝sin2x的增區(qū)間即為函數(shù)f（x）的減區(qū)間，函數(shù)y＝sin2x的減區(qū)間即為函數(shù)f（x）的增區(qū)間．∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（k∈Z），單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,4)，kπ＋\f(π,2)))（k∈Z）．（2）定義域關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，故既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．六、函數(shù)1．得到函數(shù)圖像的方法：①②2．函數(shù)的性質(zhì)：=1\*GB3①振幅：；=2\*GB3②周期：；=3\*GB3③頻率：；=4\*GB3④相位：；=5\*GB3⑤初相：．函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得最小值為；當(dāng)時(shí)，取得最大值為，則，，．例1函數(shù)y＝5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)x＋\f(π,6)))的最小正周期是（）．A．eq\f(2,5)πB．eq\f(5,2)πC．5πD．eq\f(π,6)答案：C解析：T＝eq\f(2π,|ω|)＝eq\f(2π,\f(2,5))＝5π．例2曲線y＝sin（2x＋eq\f(π,6)）的一條對(duì)稱軸是（）．A．－eq\f(5π,12)B．x＝eq\f(5π,12)C．x＝－eq\f(7π,6)D．x＝eq\f(7π,6)答案：D例3函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))在區(qū)間[0，π]內(nèi)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間是（）．A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(5π,12)))B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(7π,12)))C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)，\f(11π,1