第三章矩陣的初等變換與線性方程組本章先引進(jìn)矩陣的初等變換,建立矩陣的秩的概念;然后利用矩陣的秩討論齊次線性方程組有非零解的充分條件和非齊次線性方程組有解的充分條件,并介紹用初等變換解線性方程組的方法.引例主要內(nèi)容初等變換的定義兩個(gè)矩陣的等價(jià)關(guān)系行階梯形矩陣第一節(jié)矩陣的初等變換行最簡(jiǎn)形矩陣和標(biāo)準(zhǔn)形矩陣行階梯形行最簡(jiǎn)形和標(biāo)準(zhǔn)形的比較初等變換的性質(zhì)舉例求逆陣的初等變換法一、引例矩陣的初等變換是矩陣的一種十分重要的運(yùn)算,它在解線性方程組、求逆矩陣及矩陣?yán)碚摰奶接懼卸伎善鹬匾淖饔?為引進(jìn)矩陣的初等變換,先來(lái)分析用消元法解線性方程組的例子.②-③③-2①④-3①②③+5②④-3②①②③④(B2)①②③④(B3)①②③④(B4)③④④-2③①-②-③②-③①②③④(B5)量,剩下的x3選為自由未知量,于是解得至此消元結(jié)束,且得到(1)的同解方程組(B5),(B5)是方程組(1)的所有同解方程組中最簡(jiǎn)單的一個(gè),其中有4個(gè)未知量3個(gè)有效方程,應(yīng)有一個(gè)自由未知量,由于方程組(B5)呈階梯形,可把每個(gè)臺(tái)階的第一個(gè)未知量(x1，x2，x4)選為非自由未知令x3=k(k為任意實(shí)數(shù)),則方程組的解可記作即換:在上述消元過(guò)程中,始終把方程組看做一個(gè)整體即不是著眼于某一個(gè)方程的變形,而是著眼于整個(gè)方程組變成另一個(gè)方程組.其中用到以下三種變那么上述對(duì)方程組的變換完全可以轉(zhuǎn)換為對(duì)矩陣初等變換.述三種同解變換移植到矩陣上,就得到矩陣的三種B(方程組(1)的增廣矩陣)的變換.把方程組的上把定義中的“行”換成“列”,即得矩陣的初等列變換的定義.矩陣的初等行變換與初等列變換,統(tǒng)稱初等變換.2.等價(jià)關(guān)系的性質(zhì)

(i)反身性

A~A;(ii)對(duì)稱性

若A~B,則B~A;

(iii)傳遞性若A~B,B~C,則A~C.數(shù)學(xué)中把具有上述三條性質(zhì)的關(guān)系稱為等方程組等價(jià).價(jià),例如兩個(gè)線性方程組同解,就稱這兩個(gè)線性

四、行階梯形矩陣

t1<t2<···<tr.一個(gè)非零元素所在的列號(hào)為ti

(i=1,2,···,r),則

(2)

設(shè)矩陣有r個(gè)非零行,第i

個(gè)非零行的第零行(元素全為零的行)的標(biāo)號(hào);

(1)

非零行(元素不全為零的行)的標(biāo)號(hào)小于行階梯形矩陣:

1.定義

滿足下面兩個(gè)條件的矩陣稱為例如

行階梯形矩陣的特點(diǎn):階梯線下方的元素全為零;每個(gè)臺(tái)階只有一行,臺(tái)階數(shù)即是非零行的行數(shù),階梯線的豎線(每段豎線的長(zhǎng)度為一行)后面的第一個(gè)元素為非零元,也就是非零行的第一個(gè)非零元.

2.重要結(jié)論

定理

每一個(gè)矩陣都可以經(jīng)過(guò)單純的初等行單擊這里開始陣.例子說(shuō)明如何用初等行變換化矩陣為行階梯形矩這個(gè)定理我們不作證明,下面通過(guò)幾個(gè)具體的變換化為行階梯形矩陣.

五、行最簡(jiǎn)形矩陣和標(biāo)準(zhǔn)形矩陣

定義

一個(gè)行階梯形矩陣若滿足

(1)

每個(gè)非零行的第一個(gè)非零元素為1;

(2)每個(gè)非零行的第一個(gè)非零元素所在列矩陣.其他位置的元素都為零,則稱這個(gè)矩陣為標(biāo)準(zhǔn)形

定義

如果一個(gè)矩陣的左上角為單位矩陣,的其他元素全為零,則稱之為行最簡(jiǎn)形矩陣.從上面的例子可見(jiàn),任何矩陣經(jīng)單純的初等行一個(gè)屬性,即矩陣的秩的概念.一個(gè)矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形是唯一的,這反映了矩陣的另形矩陣的方法不是唯一的,所得結(jié)果也不唯一.但換,則一定能化成標(biāo)準(zhǔn)形矩陣.將矩陣化為行階梯不一定能化成標(biāo)準(zhǔn)形矩陣,如果再使用初等列變變換必能化為行階梯形矩陣和行最簡(jiǎn)形矩陣,但利用初等變換,把一個(gè)矩陣化為行階梯形矩最簡(jiǎn)形矩陣.例可知,要解線性方程組只需把增廣矩陣化為行陣和行最簡(jiǎn)形矩陣,是一種很重要的運(yùn)算.由引定理1設(shè)A與B為m

n矩陣，那么（i）A~Br的充要條件是存在m

階可逆矩陣P，使PA=B；（ii）A~Bc的充要條件是存在n

階可逆矩陣

Q，使AQ=B；（iii）A~B的充要條件是存在m

階可逆矩陣

P，及n

階可逆矩陣Q，使PAQ=B.為了證明定理1，需引進(jìn)初等矩陣的知識(shí).定理1把矩陣的初等變換與矩陣的乘法運(yùn)算聯(lián)系了起來(lái)，從而可以依據(jù)矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)律得到初等變換的運(yùn)算規(guī)律，也可以利用矩陣的初等變換去研究矩陣的乘法.由定理1可得如下推論.推論

方陣A可逆的充要條件是A~E.r特別地，如果B=E，則P=A-1，即(A,E)~(E,A-1)r我們可以采用下列形式求A-1：并排放在一起，組成一個(gè)n

2n矩陣(A,E).對(duì)矩陣(A,E)作一系列的行初等變換，將其左半部分化為單位矩陣E，這時(shí)其右半部分就是A-1.即(A,E)行初等變換(E,A-1)將A與E八、舉例例1設(shè)的行最簡(jiǎn)形矩陣為F,求F，并求一個(gè)可逆矩陣P，使PA=F.解例2設(shè)證明A可逆，并求A-1.解例3求解矩陣方程AX=B，其中解九、矩陣的行階梯形、行最簡(jiǎn)形和我們還是以引例中的矩陣B為例.矩陣B的行階梯形、行最簡(jiǎn)形和標(biāo)準(zhǔn)形分別如下：標(biāo)準(zhǔn)形的比較

行階梯形矩陣

特點(diǎn)：階梯線以下的元素全是０，臺(tái)階數(shù)即為非零行數(shù),豎線后面的第一個(gè)元素為非零元.

行最簡(jiǎn)形矩陣

特點(diǎn)：非零行的第一個(gè)非零元為１，且這些非零元所在的列的其他元素都為０.

標(biāo)準(zhǔn)形矩陣

特點(diǎn)：左上角為一個(gè)單位矩陣,其他位置上的元素全都為0.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)