中考復(fù)習(xí)談一個(gè)三角形分割成兩個(gè)等腰三角形的條件中考復(fù)習(xí)談一個(gè)三角形分割成兩個(gè)等腰三角形的條件中考復(fù)習(xí)談一個(gè)三角形分割成兩個(gè)等腰三角形的條件V:1.0精細(xì)整理，僅供參考中考復(fù)習(xí)談一個(gè)三角形分割成兩個(gè)等腰三角形的條件日期：20xx年X月從特殊到一般由結(jié)果探條件——也談一個(gè)三角形分割成兩個(gè)等腰三角形的條件問(wèn)題1如圖1，圖2，有兩個(gè)三角形．圖1中三角形的內(nèi)角分別為10°，20°，150°；圖2中三角形的內(nèi)角分別為80°，25°，75°．你能把每一個(gè)三角形分成兩個(gè)等腰三角形嗎？畫(huà)一畫(huà)，并標(biāo)出各角的度數(shù)．

答案圖1中作20°角的角平分線；圖2中以75°角的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)，一邊為邊向三角形內(nèi)作25°的角（畫(huà)圖略．）在讓學(xué)生探究之后，筆者提出了兩個(gè)問(wèn)題：(1)從以上兩個(gè)分割中，你能得出那些分割的經(jīng)驗(yàn)？(2)試著再給出一個(gè)三角形的三個(gè)角度，使得這個(gè)三角形也能被分割成兩個(gè)等腰三角形．學(xué)生1：要分割一個(gè)三角形應(yīng)從較大角出發(fā)去分割，但不一定是從最大角出發(fā)進(jìn)行分割．學(xué)生2：分割時(shí)要從較大角中分割出一個(gè)與另外一個(gè)角相同的角出來(lái)，這樣才能出現(xiàn)一個(gè)三角形，再來(lái)分析另一個(gè)三角形是不是等腰三角形．對(duì)于問(wèn)題(2)，學(xué)生寫(xiě)出了不少情形，如20°，40°，120°；30°，60°，90°；40°，60°，80°．還有學(xué)生提出只要是直角三角形就能分割出兩個(gè)等腰三角形．學(xué)生思考之后，筆者再次提出問(wèn)題：?jiǎn)栴}2一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角滿足什么條件時(shí)，可以用過(guò)頂點(diǎn)的直線將它分割成兩個(gè)等腰三角形如何分

經(jīng)過(guò)探究得出了以下分析過(guò)程：假設(shè)一個(gè)三角形能被過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)的直線分成兩個(gè)等腰三角形，設(shè)這條直線與對(duì)邊交于點(diǎn)O，在三角形內(nèi)點(diǎn)O處分出兩個(gè)角，這兩個(gè)角可能為兩個(gè)直角或者為一個(gè)鈍角一個(gè)銳角，因此可分兩種情況討論：1．當(dāng)O點(diǎn)分出的兩個(gè)角都是直角時(shí)，如圖3，這時(shí)這兩個(gè)角都必須是分出的兩個(gè)等腰三角形的頂角，因此這兩個(gè)等腰三角形就是等腰直角三角形，顯然可得原三角形的三個(gè)內(nèi)角為45°，45°，90°．2．當(dāng)O點(diǎn)分出的兩個(gè)角為一個(gè)鈍角一個(gè)銳角時(shí)，鈍角必定是其中一個(gè)等腰三角形的頂角，而另一個(gè)銳角可以是另一個(gè)等腰三角形的頂角或是底角，因此再分兩種討論： ①當(dāng)銳角也是頂角時(shí)，如圖4，可設(shè)分出來(lái)的兩個(gè)等腰三角形的底角度數(shù)分別為α和β，所以原三角形的三個(gè)角的度數(shù)為α，β，α＋β，此時(shí)由三角形的內(nèi)角和定理可知α＋β＝90°，即原三角形為直角三角形，分割方法是沿斜邊上的中線分割成兩個(gè)等腰三角形．顯然這種情況可以將情況1包含其中，②當(dāng)銳角是右邊等腰三角形的底角時(shí)，設(shè)左邊的等腰三角形的兩個(gè)底角度數(shù)為α，由三角形的外角性質(zhì)可得這個(gè)底角為2α，所以此等腰三角形中還有一個(gè)角的度數(shù)為2α，如圖5，如圖6，還有兩種情況：(i)如圖5，再設(shè)該等腰三角形的第三個(gè)角的度數(shù)為⊙8，可得原三角形的三個(gè)角的度數(shù)為α，β，3α，因?yàn)棣粒拢?α＝180°，可得0°<α<45°．分割方法為將3α分出一個(gè)α與原α角構(gòu)成一個(gè)等腰三角形，另一個(gè)三角形也是等腰三角形． (ii)如圖6，再設(shè)該等腰三角形的第三個(gè)角的度數(shù)為β，可得原三角形的三個(gè)角的度數(shù)為α，2c，α＋β，因?yàn)棣粒?α＋α＋β＝180°，可得0°<α<45°．分割方法為將α＋β分出一個(gè)α與原α角構(gòu)成一個(gè)等腰三角形，另一個(gè)三角形也是等腰三角形．綜上所述，一個(gè)三角形能分割成兩個(gè)等腰三角形．共有三種情況：情形1有一個(gè)內(nèi)角為90°，沿原三角形斜邊上的中線分割成兩個(gè)等腰三角形．情形2當(dāng)三個(gè)角為α，β，3α，(0°<α<45°)，將3α分出一個(gè)α與原α角構(gòu)成一個(gè)等腰三角形，另一個(gè)三角形必是等腰三角形．情形3當(dāng)三個(gè)角為α，2α，α＋β，(0°<α<45°)，將α＋β分出一個(gè)α與原α角構(gòu)成一個(gè)等腰三角形，另一個(gè)三角形也必是等腰三角形．需要說(shuō)明的是當(dāng)一個(gè)三角形同時(shí)滿足上述三種情形中的多種情形時(shí)，那么分割的方式可能有多種．根據(jù)這一個(gè)結(jié)果可進(jìn)一步研究下面的問(wèn)題：?jiǎn)栴}3在等腰三角形中，當(dāng)三個(gè)內(nèi)角分別為多少度時(shí)可以過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)畫(huà)一條直線將原等腰三角形分成兩個(gè)等腰三角形？引導(dǎo)學(xué)生將問(wèn)題2中的結(jié)論直接用到此題中：對(duì)于情形1，顯然原三角形為等腰直角三角形，三個(gè)角為45°，45°，90°．對(duì)于情形2，三個(gè)內(nèi)角α，β，3α，(0°<α<45°)中有兩個(gè)角相等，有兩種情況：(i)可能為α＝β，此時(shí)α＋α＋3α＝180°，可得α＝36°，此時(shí)三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為36°，36°，108°．(ii)可能為3α＝β，此時(shí)α＋3α＋3α＝180°，可得α＝，此時(shí)三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為，，．對(duì)于情形3，三個(gè)內(nèi)角α，2α，α＋β，(0，<α<45°)中，有兩個(gè)角相等只可能為2α＝α＋β，α＋2α＋2α＝180°，可得α＝36°，此時(shí)三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為360，720，720．綜上所述，當(dāng)?shù)妊切蔚娜齻€(gè)角分別為45°，45°，90°；36°，36°，108°；，，；36°，72°，72°時(shí)，可以將原等腰三角形分割成兩個(gè)等腰三角形．探究反思1．關(guān)于分割出等腰三角形的問(wèn)題，對(duì)于八年級(jí)的學(xué)生而言是有一定難度的，筆者先從兩個(gè)特例出發(fā)，讓學(xué)生經(jīng)歷探究的過(guò)程，并通過(guò)兩個(gè)思考題讓學(xué)生分享探究的經(jīng)驗(yàn)，這為問(wèn)題2提供了研究的方向，這種從特殊到一般的研究方法是