2019高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程測評含解析北師大版選修11201904162272019高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程測評含解析北師大版選修11201904162272019高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程測評含解析北師大版選修1120190416227第二章圓錐曲線與方程測評(時間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題(本大題共12小題,每題5分,共60分)1.以下曲線中離心率為的是()A.=1B.=1C.=1D.=1解析:雙曲線=1的離心率e=.答案:B2.平面上有兩個定點A,B及動點P,命題甲:“|PA|-|PB|是定值”,命題乙:“點P的軌跡是以A,B為焦點的雙曲線”,則甲是乙的()A.充分不用要條件B.必需不充分條件C.充要條件D.既不充分也不用要條件解析:當|PA|-|PB|=|AB|時,點P的軌跡是一條射線,故甲乙,而乙?甲,應(yīng)選B.答案:B3.已知橢圓與雙曲線=1有共同的焦點,且離心率為,則橢圓的標準方程為()A.=1B.=1C.=1D.=1解析:雙曲線=1中,=3,=2,則c1=,故焦點坐標為(-,0),(,0),故所求橢圓=1(a>b>0)的c=,又橢圓的離心率e=,則a=5,a2=25,b2=a2-c2=20,故橢圓的標準方程為=1.答案:B4.已知雙曲線C:=1的焦距為10,點P(2,1)在雙曲線C的漸近線上,則雙曲線C的方程為()A.=1B.=1C.=1D.=1解析:依據(jù)雙曲線標準方程中系數(shù)之間的關(guān)系求解.∵=1的焦距為10,∴c=5=.①又雙曲線漸近線方程為y=±x,且P(2,1)在漸近線上,∴=1,即a=2b.②由①②解得a=2,b=,應(yīng)選A.答案:A5.(2017全國Ⅰ高考)已知F是雙曲線C:x2-=1的右焦點,P是C上一點,且PF與x軸垂直,點A的坐標是(1,3),則△APF的面積為()A.B.C.D.解析:由c2=a2+b2=4,得c=2,所以點F的坐標為(2,0).將x=2代入x2-=1,得y=±3,所以|PF|=3.又點A的坐標是(1,3),故△APF的面積為×3×(2-1)=,應(yīng)選D.答案:D6.已知雙曲線=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程是y=x,它的一個焦點在拋物線y2=24x的準線上,則雙曲線的方程為()A.=1B.=1C.=1D.=1解析:拋物線y2=24x的準線方程為x=-6,故雙曲線中c=6.①由雙曲線=1的一條漸近線方程為y=x,知,②且c2=a2+b2.③由①②③解得a2=9,b2=27.故雙曲線的方程為=1,應(yīng)選B.答案:B7.P是長軸在x軸上的橢圓=1上的點,F1,F2分別為橢圓的兩個焦點,橢圓的半焦距為c,則|PF1|·|PF2|的最大值與最小值之差必定是()A.1B.a2C.b2D.c2解析:由橢圓的幾何性質(zhì)得|PF1|∈[a-c,a+c],|PF1|+|PF2|=2a,所以|PF1|·|PF2|≤=a2,當且僅當|PF1|=|PF2|時取等號.|PF1|·|PF2|=|PF1|(2a-|PF1|)=-|PF1|2+2a|PF1|=-(|PF1|-a)2+a2≥-c2+a2=b2,所以|PF1|·|PF2|的最大值與最小值之差為a2-b2=c2.答案:D8.若直線y=kx-2與拋物線y2=8x交于A,B兩個不同樣的點,且AB的中點的橫坐標為2,則k等于()A.2或-1B.-1C.2D.1±解析:由消去y,得k2x2-4(k+2)x+4=0,故Δ=[-4(k+2)]2-4k2×4=64(1+k)>0,解得k>-1,由x1+x2==4,解得k=-1或k=2,又k>-1,故k=2.答案:C9.設(shè)雙曲線=1的一條漸近線與拋物線y=x2+1只有一個公共點,則雙曲線的離心率為()A.B.5C.D.解析:雙曲線=1的一條漸近線方程為y=x,由方程組消去y,得x2-x+1=0有獨一解,所以Δ=-4=0,所以=2,所以e=,應(yīng)選D.答案:D10.在拋物線y2=8x中,以(1,-1)為中點的弦的方程是()A.x-4y-3=0B.x+4y+3=0C.4x+y-3=0D.4x+y+3=0解析:設(shè)弦的兩頭點坐標分別為(x1,y1),(x2,y2)(x1≠x2),則=8x1,=8x2,兩式相減得(y1-y2)(y1+y2)=8(x1-x2),又y1+y2=-2,∴=-4,∴弦所在直線的斜率為-4,又過點(1,-1),∴所求直線方程為4x+y-3=0.答案:C11.如圖,南北方向的公路L,A地在公路正東2km處,B地在A北偏東60°方向2km處,河流沿岸曲線PQ上隨意一點到公路L和到A地距離相等.現(xiàn)要在曲線PQ上某處建一座碼頭,向A,B兩地運貨物,經(jīng)測算,從M到A,B修筑公路的開銷都為a萬元/km,那么,修筑這兩條公路的總開銷最低是()A.(2+)a萬元B.(2+1)a萬元C.5a萬元D.6a萬元解析:此題主要察看拋物線的實質(zhì)應(yīng)用.依題意知曲線PQ是以A為焦點、L為準線的拋物線,依據(jù)拋物線的定義知,欲求從M到A,B修筑公路的開銷最低,只要求出B到直線L的距離即可.∵B地在A地北偏東60°方向2km處,∴B到點A的水平距離為3km,∴B到直線L的距離為3+2=5(km),那么,修筑這兩條公路的總開銷最低為5a萬元,應(yīng)選C.答案:C12.(2017全國Ⅰ高考)設(shè)A,B是橢圓C:=1長軸的兩個端點.若C上存在點M知足∠AMB=120°,則m的取值范圍是()A.(0,1]∪[9,+∞)B.(0,]∪[9,+∞)C.(0,1]∪[4,+∞)D.(0,]∪[4,+∞)解析:由題意,可知當點M為短軸的端點時,∠AMB最大.當0<m<3時,橢圓C的焦點在x軸上,要使橢圓C上存在點M知足∠AMB=120°,則≥tan60°=,即,解得0<m≤1;當m>3時,橢圓C的焦點在y軸上,要使橢圓C上存在點M知足∠AMB=120°,則≥tan60°=,即,解得m≥9,綜上m的取值范圍為(0,1]∪[9,+∞),應(yīng)選A.答案:A二、填空題(本大題共4小題,每題5分,共20分)13.(2017北京高考)若雙曲線x2-=1的離心率為,則實數(shù)m=.?解析:由題意知a=1,b=,m>0,c=,則離心率e=,解得m=2.答案:214.設(shè)橢圓=1(a>b>0)的左、右焦點分別是F1,F2,線段F1F2被點分紅3∶1的兩段,則此橢圓的離心率為.?解析:由題意,得=3?+c=3c-b?b=c,所以e=.答案:15.已知拋物線C:y2=2px(p>0),過焦點F且斜率為k(k>0)的直線與C訂交于A,B兩點,若=3,則k=.?解析:設(shè)直線l為拋物線的準線,過A,B分別作AA1,BB1垂直于l,A1,B1為垂足,過B作BE垂直于AA1于E,則|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|,由=3,∴cos∠BAE=,∴∠BAE=60°,∴tan∠BAE=,即k=.答案:16.以下四個對于圓錐曲線的命題:①設(shè)A,B為兩個定點,k為非零常數(shù),||-||=k,則動點P的軌跡為雙曲線;②過定圓C上必定點A作圓的動弦AB,O為坐標原點,若),則動點P的軌跡為橢圓;③方程2x2-5x+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率;④雙曲線=1與橢圓+y2=1有同樣的焦點.此中正確命題的序號是.?解析:雙曲線的定義是:平面上與兩個定點A,B的距離的差的絕對值為常數(shù)2a,且0<2a<|AB|,那么點P的軌跡為雙曲線,故①錯;由)得點P為弦AB的中點,其軌跡為圓,故②錯;設(shè)2x2-5x+2=0的兩根為x1,x2,則由根與系數(shù)的關(guān)系,得x1+x2=,x1x2=1,由此可知兩根互為倒數(shù),且均為正,故③正確;=1的焦點坐標為(±,0),+y2=1的焦點坐標為(±,0),故④正確.答案:③④三、解答題(本大題共6小題,需寫出演算過程與文字說明,共70分)17.(本小題滿分10分)求與橢圓=1有共同焦點,且過點(0,2)的雙曲線方程,而且求出這條雙曲線的實軸長、焦距、離心率以及漸近線方程.解橢圓=1的焦點是(0,-5),(0,5),焦點在y軸上,于是設(shè)雙曲線方程是=1(a>0,b>0),又雙曲線過點(0,2),∴c=5,a=2,∴b2=c2-a2=25-4=21,∴雙曲線的標準方程是=1,實軸長為4,焦距為10,離心率e=,漸近線方程是y=±x.18.(本小題滿分12分)若已知橢圓=1與雙曲線x2-=1有同樣的焦點,又橢圓與雙曲線交于點P,求橢圓及雙曲線的方程.解由橢圓與雙曲線有同樣的焦點,得10-m=1+b,即m=9-b,①由點P在橢圓、雙曲線上,得y2=m,②y2=,③解由①②③構(gòu)成的方程組得m=1,b=8,∴橢圓方程為+y2=1,雙曲線方程為x2-=1.19.導(dǎo)學(xué)號01844027(本小題滿分12分)(2017全國Ⅱ高考)設(shè)O為坐標原點,動點M在橢圓C:+y2=1上,過M作x軸的垂線,垂足為N,點P知足.(1)求點P的軌跡方程;(2)設(shè)點Q在直線x=-3上,且=1.證明:過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F.(1)解設(shè)P(x,y),M(x0,y0),則N(x0,0),=(x-x0,y),=(0,y0).由得x0=x,y0=y.由于M(x0,y0)在C上,所以=1.所以點P的軌跡方程為x2+y2=2.(2)證明由題意知F(-1,0).設(shè)Q(-3,t),P(m,n),則=(-3,t),=(-1-m,-n),=3+3m-tn,=(m,n),=(-3-m,t-n).由=1得-3m-m2+tn-n2=1.又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0.所以=0,即.又過點P存在獨向來線垂直于OQ,所以過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F.20.導(dǎo)學(xué)號01844028(本小題滿分12分)(2017北京高考)已知橢圓C的兩個極點分別為A(-2,0),B(2,0),焦點在x軸上,離心率為.(1)求橢圓C的方程;(2)點D為x軸上一點,過D作x軸的垂線交橢圓C于不同樣的兩點M,N,過D作AM的垂線交BN于點E.求證:△BDE與△BDN的面積之比為4∶5.(1)解設(shè)橢圓C的方程為=1(a>b>0).由題意得解得c=.所以b2=a2-c2=1.所以橢圓C的方程為+y2=1.(2)證明設(shè)M(m,n),則D(m,0),N(m,-n).由題設(shè)知m≠±2,且n≠0.直線AM的斜率kAM=,故直線DE的斜率kDE=-.所以直線DE的方程為y=-(x-m),直線BN的方程為y=(x-2).聯(lián)立解得點E的縱坐標yE=-.由點M在橢圓C上,得4-m2=4n2.所以yE=-n.又S△BDE=|BD|·|yE|=|BD|·|n|,S△BDN=|BD|·|n|,所以△BDE與△BDN的面積之比為4∶5.21.(本小題滿分12分)已知橢圓C1:+y2=1,橢圓C2以C1的長軸為短軸,且與C1有同樣的離心率.(1)求橢圓C2的方程;(2)設(shè)O為坐標原點,點A,B分別在橢圓C1和C2上,=2,求直線AB的方程.解(1)由已知可設(shè)橢圓C2的方程為=1(a>2),其離心率為,故,解得a=4.故橢圓C2的方程為=1.(2)設(shè)A,B兩點的坐標分別為(xA,yA),(xB,yB),由=2及(1)知,O,A,B三點共線且點A,B不在y軸上,所以可設(shè)直線AB的方程為y=kx.將y=kx代入+y2=1中,得(1+4k2)x2=4,所以.將y=kx代入=1中,得(4+k2)x2=16,所以.又由=2,得=4,即,解得k=±1.故直線AB的方程為y=x或y=-x.22.導(dǎo)學(xué)號01844029(本小題滿分12分)已知橢圓C:=1(a>b>0)的短軸長為2,離心率為,直線l:y=kx+m與橢圓C交于A,B兩點,且線段AB的垂直均分線經(jīng)過點.(1)求橢圓C的標準方程;(2)求△AOB(O為坐標原點)面積的最大值.解(1)由已知可得解得a2=2,b2=1,故橢圓C的標準方程為+y2=1.(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立方程消去y得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.當Δ=8(2k2-m2+1)>0,即2k2>m2-1時,x1+x2=,x1·x2=,所以.當k=