§1.2

概率

在一次試驗(yàn)中，有些隨機(jī)事件可能發(fā)生，也可能不發(fā)生.在大量的試驗(yàn)中，會(huì)發(fā)現(xiàn)有些事件發(fā)生的可能性大，而有些事件發(fā)生的可能性小.

希望用一個(gè)數(shù)字來(lái)度量試驗(yàn)中一個(gè)隨機(jī)事件A發(fā)生的可能性大小,這個(gè)數(shù)字記作P(A),

稱為事件A的概率.問(wèn)題:概率作為事件發(fā)生的可能性大小的度量具體應(yīng)該如何確定?確定概率的原則：1.事件發(fā)生可能性大的,相應(yīng)的概率值也應(yīng)該大;反之,概率大的事件發(fā)生的可能性也應(yīng)該較大.1為了便于將不同事件發(fā)生的可能性大小進(jìn)行比較以及遵循，人們把概率的值限制在0~1之間.其實(shí)就是建立任何一個(gè)事件到實(shí)數(shù)軸上[0,1]區(qū)間的一個(gè).如何切合實(shí)際的獲得一個(gè)事件的概率呢?合理計(jì)算概率的途徑大致有幾種:根據(jù)頻率穩(wěn)定性,在試驗(yàn)次數(shù)充分多時(shí),用頻率估計(jì)概率;(概率的統(tǒng)計(jì)定義)利用試驗(yàn)條件的某種對(duì)稱性、均勻性,直接計(jì)算事件的概率;(古典概型)利用各種邏輯關(guān)系,如概率的性質(zhì)、公式，用簡(jiǎn)單事件的概率推算復(fù)雜事件的概率。21非負(fù)性

0一、概率的統(tǒng)計(jì)定義---利用頻率估計(jì)概率頻率的定義在相同的條件下，進(jìn)行了n

次試驗(yàn)，在這n次試驗(yàn)中，事件A

發(fā)生的次數(shù)n(A)稱為事件A

發(fā)生的頻數(shù)。比值n(A)/n稱為事件A

發(fā)生的頻率，并記成μn(A)。注：頻率μn(A)是一個(gè)變量，與試驗(yàn)次數(shù)以及每一次試驗(yàn)結(jié)果有關(guān)。頻率的三個(gè)性質(zhì)nnn

A

n(

A)

,

0

n(

A)

n.32正則性

n

1

;n

A1

A2

Ak

n

A1

n

A2

n

Ak

(3)

可加性

設(shè)A1

,

A2

,,

Ak是k個(gè)互不相容事件,則有設(shè)每次試驗(yàn)的樣本空間為

{

A1

,

A2

,

,

As

}，則在n次試驗(yàn)中必有n(

A1

)

n(

A2

)

n(

As

)

n.nn

As

)

()

n(

A1

A2

n

n

1n

n(

As

)

n(

A1

)

n(

A2

)

4n

A1

A2

Ak1nn(

A

Ak

)n

n(

A1

)

nn

n(

Ak

)

n(

A1

)

n(

Ak

)

n

A1

n

A2

n

Ak

3）頻率的穩(wěn)定性實(shí)驗(yàn)者nn

(正)μn(正)德?204810610.5181蒲豐404020480.5096K?1200060190.5016K?24000120120.500554）概率的統(tǒng)計(jì)定義：在相同條件下重復(fù)進(jìn)行的

n

次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定地在某一常數(shù)p

附近擺動(dòng)，且隨著

n越大擺動(dòng)幅度越小,則稱p為事件A的概率，記作

P(A).注：

概率是一個(gè)隨機(jī)事件所固有的屬性，取決于事件本身的結(jié)構(gòu)，是先于試驗(yàn)而存在的，與試驗(yàn)次數(shù)以及每一次試驗(yàn)結(jié)果無(wú)關(guān)。因此概率的統(tǒng)計(jì)定義僅僅

了概率的客觀存在，并不能用這個(gè)定義去計(jì)算概率.6是兩兩互不相容事件,則)

P(

A1

)

P(

A2

)

3)

若A1,A2,P(

A1

A2

二、概率的公理化定義定義

設(shè)

E

是隨機(jī)試驗(yàn)，Ω

是它的樣本空間，對(duì)于E的每一個(gè)事件

A賦予一個(gè)實(shí)數(shù)，記為

P(A),若P(A)滿足：0

PP()

1

;(可列可加性)稱P(A)為事件

A

的概率.7三、概率的性質(zhì)性質(zhì)1

P

0

.因?yàn)?/p>

證由于上式右端可列個(gè)事件兩兩互不相容，由概率的公理化定義得：

P()

P()

P(

)

P()

P()

再由概率的非負(fù)性可得,P

0

.8性質(zhì)2

設(shè)有限個(gè)事件A1

,A2

,,An

兩兩互不相容,則P

A1

A2

An

P

A1

P

A2

P

An

.證 因?yàn)锳1

A2

An

A1

A2

An

P

A1

A2

An

P

A1

A2

An

P

A1

P

A2

P

A1

P

A2

P

A1

P

A2

P

An

P

P

P

An

0

0

P

An

.9性質(zhì)3

若

A1

,

A2,,

An

是一個(gè)完備事件組

,則P

A1

P

A2

P

An

P

A1

A2

An

P()

1.性質(zhì)4

對(duì)任意事件A,有P(A)

1

P(A).證:因?yàn)锳,A構(gòu)成一個(gè)完備事件組,所以P(A)

P(A)

1,即P(A)

1

P(A).BA10性質(zhì)5

若

A

B,有P(B

A)

P(B)

P(

A).證:因?yàn)锽

A

(B

A),所以P(B)

P(A)

P(B

A).于是P(B

A)

P(B)

P(A).若A

B,有P(B)

P(A).性質(zhì)6

對(duì)任意事件

A、B,有P(B

A)

P(B)

P(

AB).P(B

A)

P(B

AB)

P(B)

P(

AB).性質(zhì)7

對(duì)任意事件

A、B,

有P(

A

B)

P(

A)

P(B)

P(

AB).------加法公式A

B

A

(B

AB).

P(

A

B)

P(

A)

P(B

AB)

P(

A)

P(B)

P(

AB)AB11P

A

B

C

PA

PB

PC

P

AB

PAC

PBC

PABC

對(duì)任意事n

nP(

Ai

)

P(

Ai

)

P(

Ai

Aj

)

i

1

i

1

i

j i

j

kn1P(

A1

A2

An

).

(1)------一般加法公式124例1

設(shè)

A、B

為兩個(gè)隨機(jī)事件,且已知

PA

1

,2PB

1

,就下列三種情況求概率PBA

.

91

A

與

B

互斥;

2

A

B

;

3

PAB

1

.解(1)P

BA

P

B

P(

AB)

P

1

.(2)P

BA

P

B

P(

AB)

P

BBA42

1

.(3)P

BA

P

B

P(

AB)13.18

74例2

設(shè)

A、B、C

是三事件,且

PA

PB

PC

1

,8AB

BC

,P

AC

1

.求A、B、C

至少有一個(gè)發(fā)生的概率.解P

A

B

C

PA

PB

PC

PAB

PAC

PBC

PABC

4

8814

3

1

0

1

0

5

.例3

已知事件

A

B,

P

A

ln

b

0,

P

B

ln

a,求a的取值范圍.解：A

B,

P(A)

P(B),從而0

P(

A

即0

ln

b于是1

b

a

e.15四、概率的古典定義若隨機(jī)試驗(yàn)具有如下特點(diǎn):有限性：試驗(yàn)的所有基本事件總數(shù)有限;等可能性或等概性：每次試驗(yàn)中各基本事件出現(xiàn)的可能性完全相同。具這兩個(gè)特點(diǎn)的試驗(yàn)稱為古典概型試驗(yàn)。,n

},即若該古典概型試驗(yàn)的樣本空間為

{1

,2

,則P({1

})

P({2

})

P({n

}),

又因?yàn)榛臼录蓛苫ゲ幌嗳荩訮()

P({1

}

{2

}

{n

})

P({1

})

P({2

})

P({n

})

nP({i

})

1.in從而P({

})

1

,

i

1,

2, ,

n.1617即若該古典概型試驗(yàn)中事件A包含m個(gè)基本事件，即1

2iA

{i

,1

2m

{i

})則有P(

A)

P({i

}

{i

}

1

2m

P({i

})

P({i})

P({i

})

m

A

包含的基本事件數(shù)n.中的基本事件總數(shù)-----古典概型中事件A的概率的計(jì)算方法.

例1

將一枚硬幣拋擲三次

.i

設(shè)事件

A1

為

"恰有一次出現(xiàn)正面

"

,求

P

A1

.ii

設(shè)事件

A2

為

"至少有一次出現(xiàn)正面

"

,求

P

A2

.解

此試驗(yàn)的樣本空間為:

正正正,正正反,正反正,正反反,反正正,反正反,

.反反正,反反反.118而

A

正反反,反正反,反反正

,

所以

PA

3

.

2所以P

A.782

A

正正正,正正反,正反正,正反反,反正正,反正反,

.反反正.18例2

在一個(gè)盒子中有10個(gè)相同的球，分別標(biāo)號(hào)為1，2，…,10,從中任取一個(gè),求(1)此球號(hào)碼能被2整除的概率;(2)求此球號(hào)碼能被3整除的概率.（3）此球號(hào)碼能被2或3整除的概率;（4）此球號(hào)碼既不能被2整除也不能被3整除的概率;（5）此球號(hào)碼能被2整除而不能被3整除的概率.,10

.解：該試驗(yàn)的樣本空間為

1,2,設(shè)A：任取一球該球號(hào)碼能被2整除,有A

2,

4,

6,

8,10

.B：任取一球該球號(hào)碼能被3整除,有B

3,6,9

.10

2

10(1)

P(

A)

5

=

1

;

(2)

P(B)

3

;(3)

P(

A

B)

P(

A)

P(B)

P(

AB)

1

3

12

10

1109710

;例2

在一個(gè)盒子中有10個(gè)相同的球，分別標(biāo)號(hào)為1，2，…,10,從中任取一個(gè),求(1)此球號(hào)碼能被2整除的概率;(2)求此球號(hào)碼能被3整除的概率.（3）此球號(hào)碼能被2或3整除的概率;（4）此球號(hào)碼既不能被2整除也不能被3整除的概率;（5）此球號(hào)碼能被2整除而不能被3整除的概率.A

2,

4,

6,

8,10

.

B

3,

6,

9

.10

10(4)

P(

AB)

P(

A

B)

1

P(

A

B)

1

7

3

;(5)

P(

AB)

P(

A

P(

A)

P(

AB)

1

1

2

.2

10

52021例3

某市有甲,乙,丙三種報(bào)紙,訂每種報(bào)紙的人數(shù)分別占全體市民人數(shù)的30%,其中有10%的人同時(shí)定甲,乙兩種報(bào)紙.沒(méi)有人同時(shí)訂甲丙或乙丙報(bào)紙.求從該市任選一人,他至少訂有一種報(bào)紙的概率.解：設(shè)A,B,C分別表示在該市任選一人,他訂閱了甲,乙,丙報(bào)紙.由已知得：P(A)

P(B)P(

AB)

0.1,

P(

AC

)

PP(

A

BP(

A)

P(B)

P(C

)

P(

AB)

P(

AC

)

P(BC

)

P(

ABC

)

0.9

0.1

0.8.例4.擲3次硬幣,求至少一次正面朝上的概率.解：設(shè)A表示至少一次正面朝上.88

8P(

A)

1

,

P(

A)

1

P(

A)

1

1

7

.,可以考慮先求此事直接計(jì)算某事件的概率件的逆事件的概率.22例550個(gè)產(chǎn)品中有46個(gè)合格品與4個(gè)廢品,從中一次抽取3個(gè),求其中有廢品的概率.解設(shè)事件A表示取到的3個(gè)中有廢品,則事件A的逆為取到的3個(gè)產(chǎn)品中沒(méi)有廢品更好計(jì)算一些,因此有P(

A)

4650C

3C

346

45

4450

49

4823

311

759

0.7745.10

49

2

980P(

A)

1

P(

A)

1

0.7745

0.2255.23例6從有6只白球，3只紅球的袋子中取球兩次，每次任取一只，考慮兩種取球方式(a)重復(fù)抽樣：每次抽取的樣品觀察后放回；(b)非重復(fù)抽樣：每次抽取樣品觀察后不放回.在這兩種抽取方式下求：取到的兩只球均為白球的概率；取到兩只不同顏色的球的概率；取到的兩只球中至少有一只是白球的概率.解設(shè)事件A表示兩只球均為白球,事件B表示兩只球顏色不同,C表示兩只球中至少有一只為白球.62929

9C1C1(1)

P(

A)

6

6C1C149249

9C1C1P(B)

6

3

3

6

C1C1

C1C136

481

9199

9C1C1C1C1P(C

)

1

P(C

)

3

3

9

8C1C1(2)

P(

A)

6

5

C1C16

5

59

8

129

8C1C1P(B)

6

3

3

6

C1C1

C1C136

172

21129

8C1C1C1C1P(C

)

1

P(C

)

3

2

25例6從有6只白球，3只紅球的袋子中一次取球兩個(gè)，求：（1）取到的兩只球均為白球的概率；取到兩只不同顏色的球的概率；取到的兩只球中至少有一只是白球的概率.解設(shè)事件A表示兩只球均為白球,事件B表示兩只球顏色不同,C表示兩只球中至少有一只為白球.65

219821189C

2P(

A)

6

C

251298219C

2P(B)

6 3

C1C1123369C

2C

2P(C

)

1

P(C

)

1

3

1122627例7假設(shè)有100件產(chǎn)品,其中有60件一等品,30件二等品,10件三等品,從中一次隨機(jī)地抽取2件,求恰好抽到m件(m=0,1,2)一等品的概率.品.解設(shè)事件Am

,m

0,1,2

分別表示恰好抽到m件一等0P(