..全等三角形證明經(jīng)典50題〔含答案已知：AB=4,AC=2,D是BC中點(diǎn),AD是整數(shù),求ADAADBC延長AD到E,使DE=AD,則三角形ADC全等于三角形EBD即BE=AC=2在三角形ABE中,AB-BE<AE<AB+BE即:10-2<2AD<10+24<AD<6又AD是整數(shù),則AD=5已知：D是AB中點(diǎn),∠ACB=90°,求證：DDABC已知：BC=DE,∠B=∠E,∠C=∠D,F是CD中點(diǎn),求證：∠1=∠2ABABCDEF21BACDF2BACDF21E證明：

過E點(diǎn),作EG//AC,交AD延長線于G

則∠DEG=∠DCA,∠DGE=∠2

又∵CD=DE

∴⊿ADC≌⊿GDE〔AAS

∴EG=AC

∵EF//AB

∴∠DFE=∠1

∵∠1=∠2

∴∠DFE=∠DGE

∴EF=EG

∴EF=AC已知：AD平分∠BAC,AC=AB+BD,求證：∠B=2∠CACACDB證明：

在AC上截取AE=AB,連接ED

∵AD平分∠BAC

∴∠EAD=∠BAD

又∵AE=AB,AD=AD

∴⊿AED≌⊿ABD〔SAS

∴∠AED=∠B,DE=DB

∵AC=AB+BD

AC=AE+CE

∴CE=DE

∴∠C=∠EDC

∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C

∴∠B=2∠C已知：AC平分∠BAD,CE⊥AB,∠B+∠D=180°,求證：AE=AD+BE證明：

在AE上取F,使EF＝EB,連接CF

因為CE⊥AB

所以∠CEB＝∠CEF＝90°

因為EB＝EF,CE＝CE,

所以△CEB≌△CEF

所以∠B＝∠CFE

因為∠B＋∠D＝180°,∠CFE＋∠CFA＝180°

所以∠D＝∠CFA

因為AC平分∠BAD

所以∠DAC＝∠FAC

又因為AC＝AC

所以△ADC≌△AFC〔SAS

所以AD＝AF

所以AE＝AF＋FE＝AD＋BE

12.如圖,四邊形ABCD中,AB∥DC,BE、CE分別平分∠ABC、∠BCD,且點(diǎn)E在AD上。求證：BC=AB+DC。證明:在BC上截取BF=BA,連接EF.

∠ABE=∠FBE,BE=BE,則⊿ABE≌ΔFBE<SAS>,∠EFB=∠A;

AB平行于CD,則:∠A+∠D=180°;

又∠EFB+∠EFC=180°,則∠EFC=∠D;

又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故⊿FCE≌ΔDCE<AAS>,FC=CD.

所以,BC=BF+FC=AB+CD.DCBAFE13.已知：AB//ED,∠EAB=∠DCBAFEAB//ED,AE//BD推出AE=BD,又有AF=CD,EF=BC所以三角形AEF全等于三角形DCB,所以:∠C=∠F已知：AB=CD,∠A=∠D,求證：∠B=∠CABABCD則：

△AED是等腰三角形。

所以：AE=DE

而AB=CD

所以：BE=CE<等量加等量,或等量減等量

所以：△BEC是等腰三角形

所以：角B=角C.P是∠BAC平分線AD上一點(diǎn),AC>AB,求證：PC-PB<AC-AB作B關(guān)于AD的對稱點(diǎn)B‘,因為AD是角BAC的平分線,B'在線段AC上〔在AC中間,因為AB較短

因為PC<PB’+B‘C,PC-PB’<B‘C,而B'C=AC-AB'=AC-AB,所以PC-PB<AC-ABPPDACB已知∠ABC=3∠C,∠1=∠2,BE⊥AE,求證：AC-AB=2BE∠BAC=180-〔∠ABC+∠C=180-4∠C

∠1=∠BAC/2=90-2∠C

∠ABE=90-∠1=2∠C

延長BE交AC于F

因為,∠1=∠2,BE⊥AE

所以,△ABF是等腰三角形

AB=AF,BF=2BE

∠FBC=∠ABC-∠ABE=3∠C-2∠C=∠C

BF=CF

AC-AB=AC-AF=CF=BF=2BE已知,E是AB中點(diǎn),AF=BD,BD=5,AC=7,求FAFAEDCB作AG∥BD交DE延長線于G

AGE全等BDEAG=BD=5

AGF∽CDF

AF=AG=5

所以DC=CF=218．〔5分如圖,在△ABC中,BD=DC,∠1=∠2,求證：AD⊥BC．延長AD至H交BC于H;

BD=DC;

所以:

∠DBC=∠角DCB;

∠1=∠2;

∠DBC+∠1=∠角DCB+∠2;

∠ABC=∠ACB;

所以:

AB=AC;

三角形ABD全等于三角形ACD;

∠BAD=∠CAD;

AD是等腰三角形的頂角平分線

所以:

AD垂直BC19．〔5分如圖,OM平分∠POQ,MA⊥OP,MB⊥OQ,A、B為垂足,AB交OM于點(diǎn)N．求證：∠OAB=∠OBA因為AOM與MOB都為直角三角形、共用OM,且∠MOA=∠MOB

所以MA=MB

所以∠MAB=∠MBA

因為∠OAM=∠OBM=90度

所以∠OAB=90-∠MAB∠OBA=90-∠MBA

所以∠OAB=∠OBA20．〔5分如圖,已知AD∥BC,∠PAB的平分線與∠CBA的平分線相交于E,CE的連線交AP于D．求證：AD+BC=AB．證明：

做BE的延長線,與AP相交于F點(diǎn),

∵PA//BC

∴∠PAB+∠CBA=180°,又∵,AE,BE均為∠PAB和∠CBA的角平分線

∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°,EAB為直角三角形

在三角形ABF中,AE⊥BF,且AE為∠FAB的角平分線

∴三角形FAB為等腰三角形,AB=AF,BE=EF

在三角形DEF與三角形BEC中,

∠EBC=∠DFE,且BE=EF,∠DEF=∠CEB,

∴三角形DEF與三角形BEC為全等三角形,∴DF=BC

∴AB=AF=AD+DF=AD+BC

21．〔6分如圖,△ABC中,AD是∠CAB的平分線,且AB=AC+CD,求證：∠C=2∠B證明：在AB上找點(diǎn)E,使AE=AC

∵AE=AC,∠EAD=∠CAD,AD=AD

∴△ADE≌△ADC。DE=CD,∠AED=∠C

∵AB=AC+CD,∴DE=CD=AB-AC=AB-AE=BE

∠B=∠EDB

∠C=∠B+∠EDB=2∠B

22．〔6分如圖①,E、F分別為線段AC上的兩個動點(diǎn),且DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,若AB=CD,AF=CE,BD交AC于點(diǎn)M．〔1求證：MB=MD,ME=MF〔2當(dāng)E、F兩點(diǎn)移動到如圖②的位置時,其余條件不變,上述結(jié)論能否成立？若成立請給予證明；若不成立請說明理由．分析：通過證明兩個直角三角形全等,即Rt△DEC≌Rt△BFA以及垂線的性質(zhì)得出四邊形BEDF是平行四邊形．再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出結(jié)論．

解答：解：〔1連接BE,DF．

∵DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,,

∴∠DEC=∠BFA=90°,DE∥BF,

在Rt△DEC和Rt△BFA中,

∵AF=CE,AB=CD,

∴Rt△DEC≌Rt△BFA,

∴DE=BF．

∴四邊形BEDF是平行四邊形．

∴MB=MD,ME=MF；

〔2連接BE,DF．

∵DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,,

∴∠DEC=∠BFA=90°,DE∥BF,

在Rt△DEC和Rt△BFA中,

∵AF=CE,AB=CD,

∴Rt△DEC≌Rt△BFA,

∴DE=BF．

∴四邊形BEDF是平行四邊形．

∴MB=MD,ME=MF．

23．〔7分已知：如圖,DC∥AB,且DC=AE,E為AB的中點(diǎn),〔1求證：△AED≌△EBC．〔2觀看圖前,在不添輔助線的情況下,除△EBC外,請再寫出兩個與△AED的面積相等的三角形．〔直接寫出結(jié)果,不要求證明：<1>DC∥AE,且DC=AE,所以四邊形AECD是平行四邊形。于是知AD=EC,且∠EAD=∠BEC。由AE=BE,所以△AED≌△EBC。

〔2△AEC、△ACD、△ECD都面積相等。24．〔7分如圖,△ABC中,∠BAC=90度,AB=AC,BD是∠ABC的平分線,BD的延長線垂直于過C點(diǎn)的直線于E,直線CE交BA的延長線于F．求證：BD=2CE．證明：延長BA、CE,兩線相交于點(diǎn)F

∵BE⊥CE

∴∠BEF=∠BEC=90°

在△BEF和△BEC中

∠FBE=∠CBE,BE=BE,∠BEF=∠BEC

∴△BEF≌△BEC<ASA>

∴EF=EC

∴CF=2CE

∵∠ABD+∠ADB=90°,∠ACF+∠CDE=90°

又∵∠ADB=∠CDE

∴∠ABD=∠ACF

在△ABD和△ACF中

∠ABD=∠ACF,AB=AC,∠BAD=∠CAF=90°

∴△ABD≌△ACF<ASA>

∴BD=CF

∴BD=2CE25、〔10分如圖：DF=CE,AD=BC,∠D=∠C。求證：△AED≌△BFC。26、〔10分如圖：AE、BC交于點(diǎn)M,F點(diǎn)在AM上,BE∥CF,BE=CF。求證：AM是△ABC的中線。證明：

∵BE‖CF

∴∠E=∠CFM,∠EBM=∠FCM

∵BE=CF

∴△BEM≌△CFM

∴BM=CM

∴AM是△ABC的中線.27、〔10分如圖：在△ABC中,BA=BC,D是AC的中點(diǎn)。求證：BD⊥AC。三角形ABD和三角形BCD的三條邊都相等,它們?nèi)?所以角ADB和角CDB相等,它們的和是180度,所以都是90度,BD垂直AC28、〔10分AB=AC,DB=DC,F是AD的延長線上的一點(diǎn)。求證：BF=CF證明：在△ABD與△ACD中AB=AC

BD=DC

AD=AD

∴△ABD≌△ACD

∴∠ADB=∠ADC

∴∠BDF=∠FDC

在△BDF與△FDC中

BD=DC

∠BDF=∠FDC

DF=DF

∴△FBD≌△FCD

∴BF=FC29、〔12分如圖：AB=CD,AE=DF,CE=FB。求證：AF=DE。因為AB=DC

AE=DF,

CE=FB

CE+EF=EF+FB

所以三角形ABE=三角形CDF

因為角DCB=角ABF

AB=DCBF=CE

三角形ABF=三角形CDE

所以AF=DE

30.公園里有一條"Z"字形道路ABCD,如圖所示,其中AB∥CD,在AB,CD,BC三段路旁各有一只小石凳E,F,M,且BE＝CF,M在BC的中點(diǎn),試說明三只石凳E,F,M恰好在一條直線上.證：

∵AB平行CD〔已知

∴∠B=∠C〔兩直線平行,內(nèi)錯角相等

∵M(jìn)在BC的中點(diǎn)〔已知

∴EM=FM〔中點(diǎn)定義

在△BME和△CMF中

BE=CF〔已知

∠B=∠C〔已證

EM=FM〔已證

∴△BME全等與△CMF〔SAS

∴∠EMB=∠FMC〔全等三角形的對應(yīng)角相等

∴∠EMF=∠EMB+∠BMF=∠FMC+∠BMF=∠BMC=180°〔等式的性質(zhì)

∴E,M,F在同一直線上

31．已知：點(diǎn)A、F、E、C在同一條直線上,AF＝CE,BE∥DF,BE＝DF．求證：△ABE≌△CDF．證明：

∵AF=CE

∴AF+EF=CE+EF

∴AE=CF

∵BE//DF

∴∠BEA=∠DFC

又∵BE=DF

∴⊿ABE≌⊿CDF〔SASDBCcAFE32.已知：如圖所示,ADBCcAFE連結(jié)BD,得到等腰三角形ABD和等腰三角形BDC,由等腰△兩底角相等得：角ABC=角ADC在結(jié)合已知條件證得：△ADE≌△ABF得AE=AF33．如圖,在四邊形ABCD中,E是AC上的一點(diǎn),∠1=∠2,∠3=∠4,求證:∠5=∠6．因為角1=角2∠3=∠4所以角ADC=角ABC.

又因為AC是公共邊,所以AAS==>三角形ADC全等于三角形ABC.

所以BC等于DC,角3等于角4,EC=EC

三角形DEC全等于三角形BEC

所以∠5=∠634．因為D,C在AF上且AD=CF

所以AC=DF

又因為AB平行DE,BC平行EF

所以角A+角EDF,角BCA=角F〔兩直線平行,內(nèi)錯角相等

然后SSA〔角角邊三角形全等ACBDEF35．已知：如圖,AB=AC,BDAC,CEAB,垂足分別為D、E,BD、CE相交于點(diǎn)FACBDEF證明：因為AB=AC,

所以∠EBC=∠DCB

因為BD⊥AC,CE⊥AB

所以∠BEC=∠CDB

BC=CB<公共邊>

則有三角形EBC全等于三角形DCB

所以BE＝CD如圖,在△ABC中,AD為∠BAC的平分線,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F。AEBDAEBDCFAAS證△ＡＤＥ≌△ADFDCBAE37.已知：如圖,ACBC于C,DEAC于E,ADAB于A,BC=AE．若AB=5,求ADDCBAE角C=角E=90度

角B=角EAD=90度-角BAC

BC=AE

△ABC≌△DAE

AD=AB=5

38．如圖：AB=AC,ME⊥AB,MF⊥AC,垂足分別為E、F,ME=MF。求證：MB=MC證明∵AB=AC

∴△ABC是等腰三角形

∴∠B=∠C

又∵M(jìn)E=MF,△BEM和△CEM是直角三角形

∴△BEM全等于△CEM

∴MB=MC39.如圖,給出五個等量關(guān)系：①②③④⑤．請你以其中兩個為條件,另三個中的一個為結(jié)論,推出一個正確的結(jié)論〔只需寫出一種情況,并加以證明．ABABCＤＥ求證：證明：已知1,2

求證4

因為AD=BCAC=BD,在四邊形ADBC中,連AB

所以△ADB全等于△BCA

所以角D=角C以4,5為條件,1為結(jié)論。

即：在四邊形ABCD中,∠D=∠C,∠A=∠B,求證：AD=BC

因為∠A+∠B+∠C+∠D=360

∠D=∠C,∠A=∠B,

所以2<∠A+∠D>=360°,

∠A+∠D=180°,

所以AB//DC40．在△ABC中,,,直線經(jīng)過點(diǎn),且于,于.<1>當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時,求證：①≌②；<2>當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時,〔1中的結(jié)論還成立嗎？若成立,請給出證明；若不成立,說明理由.證明：∵∠ACB=90°,

∴∠ACD+∠BCE=90°,

而AD⊥MN于D,BE⊥MN于E,

∴∠ADC=∠CEB=90°,∠BCE+∠CBE=90°,

∴∠ACD=∠CBE．

在Rt△ADC和Rt△CEB中,{∠ADC=∠CEB∠ACD=∠CBEAC=CB,

∴Rt△ADC≌Rt△CEB〔AAS,

∴AD=CE,DC=BE,

∴DE=DC+CE=BE+AD；

〔2不成立,證明：在△ADC和△CEB中,{∠ADC=∠CEB=90°∠ACD=∠CBEAC=CB,

∴△ADC≌△CEB〔AAS,

∴AD=CE,DC=BE,

∴DE=CE-CD=AD-BE；

41．如圖所示,已知AE⊥AB,AF⊥AC,AE=AB,AF=AC。求證：〔1EC=BF；〔2EC⊥BFAAEBMCF證明;因為AE垂直AB

所以角EAB=角EAC+角CAB=90度

因為AF垂直AC

所以角CAF=角CAB+角BAF=90度

所以角EAC=角BAF

因為AE=ABAF=AC

所以三角形EAC和三角形FAB全等

所以EC=BF

角ECA=角F

<2>延長FB與EC的延長線交于點(diǎn)G

因為角ECA=角F<已證

所以角G=角CAF

因為角CAF=90度

所以EC垂直BF42．如圖：BE⊥AC,CF⊥AB,BM=AC,CN=AB。求證：〔1AM=AN；〔2AM⊥AN。證明：

〔1

∵BE⊥AC,CF⊥AB

∴∠ABM+∠BAC=90°,∠ACN+∠BAC=90°

∴∠ABM=∠ACN

∵BM=AC,CN=AB

∴△ABM≌△NAC

∴AM=AN

〔2

∵△ABM≌△NAC

∴∠BAM=∠N

∵∠N+∠BAN=90°

∴∠BAM+∠BAN=90°

即∠MAN=90°

∴AM⊥AN43．如圖,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求證:BC∥EF連接BF、CE,證明△ABF全等于△DEC〔SAS,然后通過四邊形BCEF對邊相等的證得平行四邊形BCEF從而求得BC平行于EF44．如圖,已知AC∥BD,EA、EB分別平分∠CAB和∠DBA,CD過點(diǎn)E,則AB與AC+BD相等嗎？請說明理由在AB上取點(diǎn)N,使得AN=AC

∠CAE=∠EAN,AE為公共邊,所以三角形CAE全等三角形EAN

所以∠ANE=∠ACE

又AC平行BD

所以∠ACE+∠BDE=180

而∠ANE+∠ENB=180

所以∠ENB=∠BDE

∠NBE=∠EBN

BE為公共邊,所以三角形EBN全等三角形EBD

所以BD=BN

所以AB=AN+BN=AC+BD45、〔10分如圖,已知:AD是BC上的中線,且DF=DE．求證:BE∥CF．證明：

∵AD是中線

∴BD=CD

∵DF=DE,∠BDE=∠CDF

∴△BDE≌△CDF

∴∠BED=∠CFD

∴BE‖CFADECBF46、<10分>已知：如圖,AB＝CD,