第2課時(shí)一元二次不等式及其解法1．會(huì)從實(shí)質(zhì)情境中抽象出一元二次不等式模型．2．經(jīng)過函數(shù)圖象認(rèn)識(shí)一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的關(guān)系．3．會(huì)解一元二次不等式，對(duì)給定的一元二次不等式，會(huì)設(shè)計(jì)求解的程序框圖．[對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P95]【梳理自測(cè)】1．(教材改編)不等式x2－3x＋2＜0的解集為()A．(－∞，－2)∪(－1，＋∞)B．(－2，－1)C．(－∞，1)∪(2，＋∞)D．(1，2)2．不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是()A.x|x≠－1B.－13311D．RC.x|－≤x≤333．設(shè)二次不等式ax2＋bx＋1＞0的解集為x－1＜x＜1，3則ab的值為()A．－6B．－5C．6D．54．(課本精選題)已知不等式x2－2x＋k2－1＞0對(duì)一的確數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為________．5．不等式組x2－1＜0的解集為________．x2－3x＜0答案：1.D2.B3.C4．(－∞，－2)∪(2，＋∞)5.(0，1)◆以上題目主要觀察了以下內(nèi)容：(1)一元二次不等式的解法①將不等式的右邊化為零，左邊化為二次項(xiàng)系數(shù)大于零的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)．②求出相應(yīng)的一元二次方程的根．③利用二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)確定一元二次不等式的解集．(2)三個(gè)“二次”間的關(guān)系鑒識(shí)式＝b2－4ac＞0＝0＜0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象一元二次方程ax2＋bx有兩相異實(shí)根x1，有兩相等實(shí)根x1＝x2沒有實(shí)數(shù)根＋c＝0(a＞0)的根x2(x1＜x2)＝－b2aax2＋bx＋c＞0(a＞0)的{x|x≠－b}ax2＋bx(－∞，x1)∪(x2，＋∞)2aR解集＋c＜0(a＞0)的解集(x1，x2)??【指點(diǎn)迷津】1．一個(gè)技巧若一元二次不等式經(jīng)過不等式的同解變形后，化為

ax2＋bx＋c＞0(或＜0)(其中

a＞0)的形式，其對(duì)應(yīng)的方程

ax2＋bx＋c＝0有兩個(gè)不等實(shí)根

x1，x2，(x1＜x2)(此時(shí)

＝b2－4ac＞0)，則可依照“大于取兩邊，小于夾中間

”求解集．2．兩點(diǎn)提示(1)解含參數(shù)的一元二次不等式，若二次項(xiàng)系數(shù)為常數(shù)，可先考慮因式分解，再對(duì)根的大小進(jìn)行分類談?wù)摚蝗舨灰滓蚴椒纸?，則可對(duì)鑒識(shí)式進(jìn)行分類談?wù)摚诸愐恢夭宦?2)二次項(xiàng)系數(shù)中含有參數(shù)時(shí)，則應(yīng)先考慮二次項(xiàng)可否為零，爾后再談?wù)摱雾?xiàng)系數(shù)不為零時(shí)的狀況，以便確定解集的形式．[對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P96]考向一一元二次不等式解法(2013·高考江蘇卷)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝x2－4x，則不等式f(x)＞x的解集用區(qū)間表示為________．【審題視點(diǎn)】先求出函數(shù)f(x)在R上的解析式，爾后分段求解不等式f(x)＞x，即得不等式的解集．【典例精講】設(shè)x＜0，則－x＞0，于是f(－x)＝(－x)2－4(－x)＝x2＋4x，由于f(x)是R上的奇函數(shù)，因此－f(x)＝x2＋4x，即f(x)＝－x2－4x，且f(0)＝0，于是f(x)＝x2－4x，x＞0，0，x＝0，當(dāng)x＞0時(shí)，由x2－4x＞x得x＞5；當(dāng)x＜0時(shí)，由－x2－4x＞x得－5＜xx2－4x，x＜0.0，故不等式的解集為(－5，0)∪(5，＋∞)．【答案】(－5，0)∪(5，＋∞)【類題通法】解一元二次不等式的一般步驟是：(1)化為標(biāo)準(zhǔn)形式；(2)確定鑒識(shí)式的符號(hào)；(3)若Δ≥0，則求出該不等式對(duì)應(yīng)的二次方程的根，若＜0，則對(duì)應(yīng)的二次方程無根；(4)結(jié)合二次函數(shù)的圖象得出不等式的解集．特別地，若一元二次不等式的左邊的二次三項(xiàng)式能分解因式，則可馬上寫出不等式的解集．1．(2014北·京市東城區(qū)高三檢測(cè)2－2x－3＞0成立”是“x＞3成立”的())“xA．充分不用要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不用要條件解析：選B.由x2－2x－3＞0得x＜－1或x＞3，因此x2－2x－3＞0是x＞3成立的必要不充分條件．考向二一元二次不等式恒成立問題(2013·高考重慶卷)設(shè)0≤α≤π，不等式8x2－(8sinα)x＋cos2α≥0對(duì)x∈R恒成立，則α的取值范圍為________．【審題視點(diǎn)】依照張口向上的二次函數(shù)定義域?yàn)镽時(shí)函數(shù)值非負(fù)的條件(Δ≤列0)式直接運(yùn)算求解．【典例精講】由題意，要使8x2－(8sinα)x＋cos2α≥0對(duì)x∈R恒成立，需＝64sin21π5ππα－32cos2α≤0，化簡(jiǎn)得cos2α≥.又0≤α≤π，∴或≤2α≤2π，解得0≤α≤3623或5π≤α≤π.6【答案】π∪5π，π0，66【類題通法】(1)解決恒成立問題必然要清楚選誰為主元，誰是參數(shù)．一般地，知道誰的范圍，就選誰當(dāng)主元，求誰的范圍，誰就是參數(shù)．(2)關(guān)于二次不等式恒成立問題，恒大于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸上方，恒小于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸下方．(3)一元二次不等式恒成立的條件①ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的充要條件是：a＞0且b2－4ac＜0(x∈R)．②ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的充要條件是：a＜0且b2－4ac＜0(x∈R)．2．(2014

廣·西南寧模擬

)在

R

上定義運(yùn)算

?：x?y＝x(1－y)．若不等式

(x－a)?(x＋a)＜1對(duì)任意實(shí)數(shù)

x成立，則

(

)A．－1＜a＜1

B．0＜a＜2C．－1＜a＜322

D．－3＜a＜122解析：選C.(x－a)?(x＋a)＜1對(duì)任意實(shí)數(shù)成立．

x成立，即

(x－a)(1－x－a)＜1

對(duì)任意實(shí)數(shù)

xx2－x－a2＋a＋1＞0恒成立，＝1－4(－a2＋a＋1)＜0，∴－1＜a＜3.22考向三二次函數(shù)與二次不等式綜合問題(2013·高考安徽卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝ax－(1＋a2)x2，其中a＞0，區(qū)間I＝{x|f(x)＞0}．(1)求I的長(zhǎng)度(注：區(qū)間(α，β)的長(zhǎng)度定義為β－α)；(2)給定常數(shù)k∈(0，1)，當(dāng)1－k≤a≤1＋k時(shí)，求I長(zhǎng)度的最小值．【審題視點(diǎn)】(1)利用一元二次方程和一元二次不等式的關(guān)系，先求出解集．(2)構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性和最值．【典例精講】(1)由于方程ax－(1＋a2)x2＝0(a>0)有兩個(gè)實(shí)根x1＝0，x2＝a2，故f(x)>01＋a的解集為{x|x1<x<x2}．a(chǎn)a2a2(2)設(shè)d(a)＝1－a．2，則d′(a)＝22(a>0)1＋a（1＋a）令d′(a)＝0，得a＝1.由于0<k<1，故當(dāng)1－k≤a<1時(shí)，d′(a)>0，d(a)單調(diào)遞加；當(dāng)1<a≤1＋k時(shí)，d′(a)<0，d(a)單調(diào)遞減．因此當(dāng)1－k≤a≤1＋k時(shí)，d(a)的最小值必然在a＝1－k或a＝1＋k處獲?。?－k而d（1－k）＝1＋（1－k）2＝2－k2－k3d（1＋k）1＋k2－k2＋k3<1，1＋（1＋k）2故d(1－k)<d(1＋k)．1－k因此當(dāng)a＝1－k時(shí)，d(a)在區(qū)間[1－k，1＋k]上獲取最小值2－2k＋k2.【類題通法】二次函數(shù)、二次不等式、二次方程之間有著親近關(guān)系．(1)一元二次不等式解集的端點(diǎn)就是對(duì)應(yīng)的一元二次方程的解．(2)不等式的解集構(gòu)造與二次項(xiàng)系數(shù)有直接的關(guān)系．(3)二次函數(shù)的圖象能直觀反響一元二次不等式解集的狀況．3．(2012·考江蘇卷高)已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域?yàn)閇0，＋∞)，若關(guān)于x的不等式f(x)＜c的解集為(m，m＋6)，則實(shí)數(shù)c的值為________．解析：∵f(x)＝x2＋ax＋b的值域?yàn)閇0，＋∞)，∴＝0，221212a∴b－4＝0，∴f(x)＝x＋ax＋4a＝x＋2a.又∵f(x)＜c的解集為(m，m＋6)，2m，m＋6是方程x2＋ax＋a－c＝0的兩根．由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得42m＋6＝－a，2解得c＝9.a－c，m（m＋6）＝4答案：9[對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P97]含參數(shù)的不等式的規(guī)范解答(12分)已知不等式ax2－3x＋6＞4的解集為{x|x＜1或x＞b}．(1)求a，b的值；(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0.【審題視點(diǎn)】(1)由題意解析知x＝1，x＝b是方程ax2－3x＋2＝0的根，可求a和b.(2)談?wù)摳拇笮〈_定解集．【思想流程】利用根與系數(shù)的關(guān)系，求a和b.因式分解，化簡(jiǎn)不等式，確定方程根．依照方程根的大小，確定解集形式．總結(jié)分類談?wù)摯鸢福疽?guī)范解答】(1)由于不等式ax2－3x＋6＞4的解集為{x|x＜1或x＞b}，因此x1＝1與x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，b＞1且a＞0.由根與系數(shù)的關(guān)系，得31＋b＝a，解得21×b＝a.

a＝1，4分b＝2.(2)不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0，即x2－(2＋c)x＋2c＜0，即(x－2)(x－c)＜0.5分當(dāng)c＞2時(shí)，不等式(x－2)(x－c)＜0的解集為{x|2＜x＜c}；7分當(dāng)c＜2時(shí)，不等式(x－2)(x－c)＜0的解集為{x|c＜x＜2}；9分當(dāng)c＝2時(shí)，不等式(x－2)(x－c)＜0的解集為?.11分因此，當(dāng)c＞2時(shí)，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0的解集為{x|2＜x＜c}；當(dāng)c＜2時(shí)，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0的解集為{x|c＜x＜2}；當(dāng)c＝2時(shí)，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0的解集為?.12分【規(guī)范建議】(1)x＝1，x＝b是方程ax2－3x＋2＝0的根可以代入求a和b.(2)分類談?wù)撊N狀況；不可以把c＝2狀況遺漏或歸入到其中一種狀況．(3)談?wù)摵笠锌偨Y(jié)答案．1x1．(2013高·考湖北卷)已知全集為R，會(huì)集A＝x，2≤1B＝{x|x2－6x＋8≤0}，則A∩?RB＝()A．{x|x≤0}B．{x|2≤x≤4}C．{x|0≤x<2或x>4}D．{x|0<x≤2或x≥4}解析：選C.先化簡(jiǎn)會(huì)集A，B，再借助數(shù)軸進(jìn)行會(huì)集的交集運(yùn)算．A＝x1x2≤x≤，4}因此?RB＝{x|x<2或x>4}，2≤1＝{x|x≥0}，B＝{x|x－6x＋8≤0}＝{x|2于是A∩?RB＝{x|0≤x<2或x>4}．122．(2013高·考江西卷)以下選項(xiàng)中，使不等式x＜x＜x成立的x的取值范圍是()A．(－∞，－1)B．(－1，0)C．(0，1)D．(1，＋∞)1x2－1x＜x，x＜0，解析：選A.由x＜1＜x2可得即3x1＜x2，1－x＜0，xxx＜－1或0＜x＜1，解得綜合知x＜－1.x＜0或x＜1，3．(2013高·考安徽卷)函數(shù)y＝ln1＋1＋1－x2的定義域?yàn)開_______．x解析：列出函數(shù)有意義的限制條件，解不等式組．1x＋1要使函數(shù)有意義，需1＋x>0，即x>0，1－x2≥0，x2≤1，x<－1或x>0，即解得0<x≤1，因此定義域?yàn)?0，1]．1≤x≤1，答案：(0，1]4．(2013·考四川卷高)已知f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)＜5的解集是________．解析：依照已知條件求出y＝f(x)，x∈R的解析式，再借助y＝f(x)的圖象求解．設(shè)x＜0，則