第2講數(shù)列的求和及綜合應(yīng)用高考定位

從全國(guó)卷來(lái)看，由于三角和數(shù)列問題在解答題中輪換命題，若考查數(shù)列解答題，則以數(shù)列的通項(xiàng)與求和為核心地位來(lái)考查，題目難度不大.真題感悟考

點(diǎn)

整

合1.求和的常用方法(1)公式法：直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式求解.(2)倒序相加法：適用于與首、末等距離的兩項(xiàng)之和等于首、末兩項(xiàng)之和，且和為常數(shù)的數(shù)列.等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)就使用了倒序相加法，利用倒序相加法求解數(shù)列前n項(xiàng)和時(shí)，要把握數(shù)列通項(xiàng)公式的基本特征，即通過倒序相加可以得到一個(gè)常數(shù)列，或者等差數(shù)列、等比數(shù)列，從而轉(zhuǎn)化為常見數(shù)列的求和方法，這也是數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化與化歸思想的具體體現(xiàn).(5)拆項(xiàng)分組法：把數(shù)列的每一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)(或多項(xiàng))，再重新組合成兩個(gè)(或多個(gè))簡(jiǎn)單的數(shù)列，最后分別求和.(6)并項(xiàng)求和法：與拆項(xiàng)分組相反，并項(xiàng)求和是把數(shù)列的兩項(xiàng)(或多項(xiàng))組合在一起，重新構(gòu)成

一個(gè)數(shù)列再求和，一般適用于正負(fù)相間排列的數(shù)列求和，注意對(duì)數(shù)列項(xiàng)數(shù)奇偶性的討論.2.數(shù)列單調(diào)性的常見題型及方法如下：(1)求最大(小)項(xiàng)時(shí)，可利用①數(shù)列單調(diào)性；②函數(shù)單調(diào)性；③導(dǎo)數(shù).(2)求參數(shù)范圍時(shí)，可利用①作差法；②同號(hào)遞推法；③先猜后證法.3.數(shù)列中的不等式問題主要有證明數(shù)列不等式、比較大小或恒成立問題，解決方法如下：(1)利用數(shù)列(或函數(shù))的單調(diào)性；(2)放縮法：①先求和后放縮；②先放縮后求和，包括放縮后成等差(或等比)數(shù)列再求和，或者放縮后成等差比數(shù)列再求和，或者放縮后裂項(xiàng)相消后再求和；(3)數(shù)學(xué)歸納法.探究提高

在處理一般數(shù)列求和時(shí)，一定要注意使用轉(zhuǎn)化思想.把一般的數(shù)列求和轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列進(jìn)行求和，在求和時(shí)要分析清楚哪些項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列，哪些項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列，清晰正確地求解.在利用分組求和法求和時(shí)，由于數(shù)列的各項(xiàng)是正負(fù)交替的，所以一般需要對(duì)項(xiàng)數(shù)n進(jìn)行討論，最后再驗(yàn)證是否可以合并為一個(gè)公式.探究提高

近年高考對(duì)錯(cuò)位相減法求和提到了特別重要的位置上，常在解答題中出現(xiàn)，也是考綱對(duì)數(shù)列前n項(xiàng)和的基本要求，錯(cuò)位相減法適用于求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和，其中{an}為等差數(shù)列，{bn}為等比數(shù)列；所謂“錯(cuò)位”，就是要找“同類項(xiàng)”相減.要注意的是相減后得到部分等比數(shù)列的和，此時(shí)一定要查清其項(xiàng)數(shù).探究提高

涉及到數(shù)列不等式，比較大小或恒成立問題，經(jīng)常用到作差法.法一用了作差法和數(shù)學(xué)歸納法；法二將an＋1－an的符號(hào)問題轉(zhuǎn)化為a2－a1的符號(hào)問題，再由a2，a1的遞推關(guān)系，求出a1