第十章隨隨機(jī)振動(dòng)激激勵(lì)與響應(yīng)應(yīng)關(guān)系§10-1線性時(shí)不變變系統(tǒng)動(dòng)態(tài)態(tài)特性的頻頻域與時(shí)域域描述對(duì)于振動(dòng)系系統(tǒng)，不管管是已知激激勵(lì)求響應(yīng)應(yīng)或是已知知響應(yīng)求激激勵(lì)，都必必須知道系系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)態(tài)特性。動(dòng)態(tài)特性：：指系統(tǒng)隨隨頻率、慣慣性、剛度度和阻尼而而變化的特特性系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特特性用H(ω)和h(t)來(lái)描述a)頻域內(nèi)的的“頻率率響應(yīng)函函數(shù)”H(ω)b)時(shí)域內(nèi)的的“脈沖沖響應(yīng)函函數(shù)”h(t)1、頻率率響應(yīng)函函數(shù)(復(fù)頻響應(yīng)應(yīng)函數(shù)或或簡(jiǎn)稱頻頻響函數(shù)數(shù))單度線性性系統(tǒng)在在激勵(lì)y(t)＝y(tǒng)0sinωt作用下，，其穩(wěn)態(tài)態(tài)響應(yīng)必必定是x(t)＝x0sin(ωt-θ)振幅比x0/y0和相位差差θ確定了系系統(tǒng)在固固定的激激勵(lì)頻率率ω下的傳遞遞特性或或傳遞函函數(shù)。若不斷改改變?chǔ)兀敲磦鱾鬟f函數(shù)數(shù)作為ω的函數(shù)將將形成一一條曲線線，這條條曲線就就確定了了系統(tǒng)的的動(dòng)態(tài)特特性。振幅比x0/y0和相位差差θ用復(fù)函數(shù)數(shù)H(ω)來(lái)表示：：|H(ω)|稱為頻響響函數(shù)的的模，又又稱為系系統(tǒng)的增增益因子子，起放放大作用用；θ(ω)稱為頻響響函數(shù)的的相角或或系統(tǒng)的的相位因因子。H(ω)的具體求求法：由此可得得求H(ω)的具體步步驟如下下：①建立系系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)動(dòng)微分方方程，明明確什么么是輸入入，什么么是輸出出②③將y(t)和x(t)及其導(dǎo)數(shù)數(shù)代入運(yùn)運(yùn)動(dòng)微分分方程，，即可得得到系統(tǒng)統(tǒng)對(duì)應(yīng)于于激勵(lì)y(t)和響應(yīng)x(t)的頻響函函數(shù)。[注意]：y(t)和x(t)可以是力力、壓力力、位移移、速度度和加速速度等，，故同一一系統(tǒng)可可有多個(gè)個(gè)頻響函函數(shù)(取決于輸輸入輸出出是什么么)[例]已知：m，k，c，無(wú)重板板，受位位移激擾擾y(t)，系統(tǒng)輸輸出為位位移x(t)，求相應(yīng)應(yīng)的頻響響函數(shù)H(ω)。解：運(yùn)動(dòng)動(dòng)微分方方程[例](紐蘭P58)已知：k，c，無(wú)質(zhì)量量小車，，激勵(lì)是是力y(t)，響應(yīng)是是位移x(t)，求相應(yīng)應(yīng)的頻率率響應(yīng)函函數(shù)H(ω)。解：運(yùn)動(dòng)動(dòng)微分方方程x(t)y(t)kC[例]圖示系統(tǒng)統(tǒng)，桿重重不計(jì)，，已知：：m，k，c及力激勵(lì)勵(lì)F(t)＝f0sinωt，響應(yīng)是是AB桿轉(zhuǎn)角，用頻率率響應(yīng)函函數(shù)方法法求響應(yīng)應(yīng)θ(t)。解：運(yùn)動(dòng)動(dòng)微分方方程AkBaaacF(t)Ak3aθθF(t)2、脈沖響響應(yīng)函數(shù)數(shù)穩(wěn)態(tài)的靜靜止系統(tǒng)統(tǒng)在受到到單位脈脈沖δ(t)激勵(lì)后產(chǎn)產(chǎn)生的響響應(yīng)稱為為系統(tǒng)的的脈沖響響應(yīng)函數(shù)數(shù)，記為為h(t)。(1)單位脈沖沖δ(t)(狄拉克δ函數(shù))(2)δ函數(shù)的傅里葉葉變換(a)時(shí)域δ函數(shù)的傅里葉葉變換時(shí)移性：：(b)頻域δ函數(shù)的傅里葉葉逆變換換故：(3)脈沖響應(yīng)應(yīng)函數(shù)實(shí)際上，，在第四四章瞬態(tài)態(tài)振動(dòng)一一章已經(jīng)經(jīng)求過(guò)h(t)。求h(t)的步驟如如下：①建立系系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)動(dòng)微分方方程②用脈沖響應(yīng)應(yīng)函數(shù)δ(t)代替微分方程程中的激激勵(lì)，并并對(duì)方程程兩邊從從0-到0+進(jìn)行積分分，得到到等效的的初始條條件③求滿滿足初始條件件的齊次次微分方方程的解解，即為為h(t)[例]已知：m，k，c及力激勵(lì)勵(lì)F(t)，響應(yīng)是是位移x(t)，求h(t)。解：(1)運(yùn)動(dòng)微分分方程為為(2)令F(t)＝δ(t)x(t)＝h(t)(比較求H(ω)是令F(t)＝eiωtx(t)＝H(ω)eiωt)積分常數(shù)數(shù)A和B由初始條條件確定定對(duì)(*)式兩邊從從0-到0+積分兩次次代入通解解表達(dá)式式可得：：3、頻率響響應(yīng)函數(shù)數(shù)與脈沖沖響應(yīng)函函數(shù)之間間的關(guān)系系可以證明明：H(ω)與δ(t)是互為傅傅里葉變變換的關(guān)關(guān)系，即即對(duì)任意激激勵(lì)y(t)和響應(yīng)x(t)，都有實(shí)際上對(duì)對(duì)x(t)＝H(ω)y(t)兩邊進(jìn)行行傅里葉葉變換，，有[例]已知：k，c，無(wú)質(zhì)量量小車，，激勵(lì)是是力y(t)，響應(yīng)是是位移x(t)，驗(yàn)證脈脈沖響應(yīng)應(yīng)函數(shù)和和頻率響響應(yīng)函數(shù)數(shù)為傅里里葉變換換對(duì)。x(t)y(t)kC解：運(yùn)動(dòng)動(dòng)微分方方程由留數(shù)定定理，有有實(shí)際上，，當(dāng)t<0時(shí)，有§10-2系統(tǒng)對(duì)任任意輸入入的響應(yīng)應(yīng)褶積積及其傅傅里葉變變換1、系統(tǒng)對(duì)對(duì)任意輸輸入的響響應(yīng)褶褶積積分分設(shè)任意激激勵(lì)y(t)滿足絕對(duì)對(duì)可積，，即一般地，，上述積積分難以以求解，，很少采采用。下面采用用脈沖響響應(yīng)方法法求x(t)在τ處作用的的脈沖y(τ)Δτ的響應(yīng)為為：所有脈沖引起的時(shí)時(shí)刻t的總響應(yīng)應(yīng)為：此式也可可以由上上頁(yè)的(*)式推出：：此式也可可以由上上頁(yè)的(*)式推出：：2、褶積的的傅里葉葉變換若§10-3單輸入單單輸出線線性系統(tǒng)統(tǒng)的隨機(jī)機(jī)振動(dòng)設(shè)同時(shí)進(jìn)進(jìn)行著無(wú)無(wú)限個(gè)實(shí)實(shí)驗(yàn)，每每個(gè)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)系統(tǒng)是是線性且且動(dòng)態(tài)特特性相同同，脈沖沖響應(yīng)函函數(shù)為h(t)，頻響函函數(shù)為H(ω)，激勵(lì)是是y(t)，響應(yīng)是是x(t)。我們的的目的是是找出激激勵(lì)、響響應(yīng)的統(tǒng)統(tǒng)計(jì)特性性與系統(tǒng)統(tǒng)的動(dòng)態(tài)態(tài)特性H(ω)或h(t)之間的關(guān)關(guān)系。yi(t)xi(t)h(t)H(ω)xi(t)yi(t)tti=1,2,3,…1、響應(yīng)的的均值和和自相關(guān)關(guān)函數(shù)①均值μx對(duì)任意激激勵(lì)y(t)，響應(yīng)x(t)為若激勵(lì)勵(lì)y(t)是一平平穩(wěn)隨隨機(jī)過(guò)過(guò)程，，則平平均值值E[y]與采樣樣時(shí)刻刻(t-λ)無(wú)關(guān)，，于是是有：：②自相關(guān)關(guān)Rx(τ)對(duì)平穩(wěn)穩(wěn)過(guò)程程，有有：若系統(tǒng)統(tǒng)動(dòng)態(tài)態(tài)特性性和激激勵(lì)的的自相相關(guān)函函數(shù)已已知，，則可可由上上式求求出響響應(yīng)的的自相相關(guān)函函數(shù)，，并且且可知知，若若輸入入是平平穩(wěn)過(guò)過(guò)程，，則輸輸出也也是平平穩(wěn)過(guò)過(guò)程。。特別別，當(dāng)當(dāng)τ＝0時(shí)，可可得響響應(yīng)均均方值值：2、響應(yīng)應(yīng)的自自譜①響應(yīng)的的自譜譜Sx(ω)H*(ω)是H(ω)的共軛軛復(fù)數(shù)數(shù)②用響響應(yīng)的的自譜譜求響響應(yīng)的的自相相關(guān)和和均方方值一般地地，用用這兩兩個(gè)式式子求求自相相關(guān)和和均方方值比比上節(jié)節(jié)直接接從脈脈沖響響應(yīng)函函數(shù)出出發(fā)的的積分分形式式求要要方便便些。。若輸入入為白白噪聲聲，即即Sy(ω)＝S0＝常數(shù)數(shù)，則則③關(guān)于廣廣義積積分的的詹姆姆斯(James)公式James公式參參見(jiàn)有有關(guān)參參考書書，如如莊表表中、、D.E.紐蘭等等[例](P.138例4-1)已知：：m，k，c及力激激勵(lì)y(t)的Sy(ω)＝S0，求：：位移移響應(yīng)應(yīng)x(t)的自相相關(guān)函函數(shù)、、均方方值和和自功功率譜譜密度度函數(shù)數(shù)。解：思路路：求求H(ω)→Sx(ω)→→Rx(τ)→ψ2x系統(tǒng)運(yùn)運(yùn)動(dòng)微微分方方程為為：Sx(ω)在上半半平面面內(nèi)只只有ω1和ω2兩個(gè)奇點(diǎn)點(diǎn)，由留留數(shù)定理理可得ω2ω1ω*1ω*2ReIm求Sx(ω)及ψ2x[例]已知：m，k，c及輸入位位移y(t)，輸出位位移x(t)，輸入譜譜密度函函數(shù)為：：解：系統(tǒng)統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微微分方程程為：《討論》若用下式式計(jì)算則則ψ2x有不同答答案，為為什么？？存在，僅當(dāng)H(ω)分母的各個(gè)根都位于ω平面的上半平面時(shí)，積分才存在。而(iω-ω0)＝i(ω+iω0)的根是(-iω0)，位于ω平面的下下半平面面，故不不正確。。[例已知：：L，EI，抗彎截截面模量量為W的懸臂梁梁，質(zhì)量量不計(jì)，，小球質(zhì)質(zhì)量m，阻尼c，激勵(lì)是是地面水水平加速速度a(t)，其自譜譜Sa(ω)＝S0，求：懸懸臂梁根根部最大大正應(yīng)力力的均方方根值。。由材料力力學(xué)，對(duì)對(duì)懸臂梁梁有解：思路：圖示系統(tǒng)統(tǒng)可看作作高大建建筑物(如煙筒、、樓房、、水塔、、路燈等等)的粗糙模