概率論知識(shí)點(diǎn)總結(jié)概率論知識(shí)點(diǎn)總結(jié)概率論知識(shí)點(diǎn)總結(jié)xxx公司概率論知識(shí)點(diǎn)總結(jié)文件編號(hào)：文件日期：修訂次數(shù)：第1.0次更改批準(zhǔn)審核制定方案設(shè)計(jì)，管理制度概率論總結(jié)目錄前五章總結(jié)隨機(jī)事件和概率…………1隨機(jī)變量及其分布……….5多維隨機(jī)變量及其分布…10隨機(jī)變量的數(shù)字特征……13極限定理………………...18學(xué)習(xí)概率論這門課的心得體會(huì)……20一、前五章總結(jié)隨機(jī)事件和概率第一節(jié)：1.、將一切具有下面三個(gè)特點(diǎn)：（1）可重復(fù)性（2）多結(jié)果性（3）不確定性的試驗(yàn)或觀察稱為隨機(jī)試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱為試驗(yàn)，常用E表示。在一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的事情（結(jié)果）稱為隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱為事件。不可能事件：在試驗(yàn)中不可能出現(xiàn)的事情，記為Ф。必然事件：在試驗(yàn)中必然出現(xiàn)的事情，記為S或Ω。2、我們把隨機(jī)試驗(yàn)的每個(gè)基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn)，記作e或ω.全體樣本點(diǎn)的集合稱為樣本空間.樣本空間用S或Ω表示.一個(gè)隨機(jī)事件就是樣本空間的一個(gè)子集?；臼录獑吸c(diǎn)集，復(fù)合事件—多點(diǎn)集一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生，當(dāng)且僅當(dāng)該事件所包含的一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)。事件間的關(guān)系及運(yùn)算，就是集合間的關(guān)系和運(yùn)算。3、定義：事件的包含與相等若事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生，則稱B包含A，記為BA或AB。若AB且AB則稱事件A與事件B相等，記為A＝B。定義：和事件

“事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生”是一事件，稱此事件為事件A與事件B的和事件。記為A∪B。用集合表示為:A∪B={e|e∈A，或e∈B}。定義：積事件

稱事件“事件A與事件B都發(fā)生”為A與B的積事件，記為A∩B或AB，用集合表示為AB={e|e∈A且e∈B}。定義：差事件

稱“事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生,這一事件為事件A與事件B的差事件,記為A－B,用集合表示為A-B={e|e∈A，eB}。定義：互不相容事件或互斥事件

如果A，B兩事件不能同時(shí)發(fā)生，即AB＝Φ，則稱事件A與事件B是互不相容事件或互斥事件。定義6：逆事件/對(duì)立事件

稱事件“A不發(fā)生”為事件A的逆事件，記為ā。A與ā滿足：A∪ā=S,且Aā=Φ。運(yùn)算律：設(shè)A，B，C為事件，則有（1）交換律：A∪B=B∪A，AB=BA（2）結(jié)合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C=A∪B∪CA(BC)=(AB)C=ABC（3）分配律：A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C)A(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)=AB∪AC（4）德摩根律：小結(jié)：事件的關(guān)系、運(yùn)算和運(yùn)算法則可概括為四種關(guān)系：包含、相等、對(duì)立、互不相容；四種運(yùn)算：和、積、差、逆；四個(gè)運(yùn)算法則：交換律、結(jié)合律、分配律、對(duì)偶律。第二節(jié)：設(shè)試驗(yàn)E是古典概型,其樣本空間S由n個(gè)樣本點(diǎn)組成,事件A由k個(gè)樣本點(diǎn)組成.則定義事件A的概率為：P(A)＝k/n＝A包含的樣本點(diǎn)數(shù)/S中的樣本點(diǎn)數(shù)。幾何概率：設(shè)事件A是S的某個(gè)區(qū)域，它的面積為μ(A)，則向區(qū)域S上隨機(jī)投擲一點(diǎn)，該點(diǎn)落在區(qū)域A的概率為：P（A）=μ（A）/μ（S）假如樣本空間S可用一線段，或空間中某個(gè)區(qū)域表示，并且向S上隨機(jī)投擲一點(diǎn)的含義如前述，則事件A的概率仍可用（*）式確定，只不過(guò)把理解為長(zhǎng)度或體積即可.概率的性質(zhì)：

（1）P()=0,（2）

（3）（4）若AB，則P(B-A)=P(B)-P(A),P(B)≥P(A).第四節(jié)：條件概率：在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率稱為A對(duì)B的條件概率，記作P(A|B).而條件概率P(A|B)是在原條件下又添加“B發(fā)生”這個(gè)條件時(shí)A發(fā)生的可能性大小，即P(A|B)仍是概率.乘法公式：若P(B)>0,則P(AB)=P(B)P(A|B)P(A)>0,則P(AB)=P(A)P(B|A)全概率公式：設(shè)A1,A2,…,An是試驗(yàn)E的樣本空間Ω的一個(gè)劃分，且P(Ai)>0，i=1,2,…,n,B是任一事件,則貝葉斯公式：設(shè)A1,A2,…,An是試驗(yàn)E的樣本空間Ω的一個(gè)劃分，且P(Ai)>0，i=1,2,…,n,B是任一事件且P(B)>0,則第五節(jié)：若兩事件A、B滿足P(AB)=P(A)P(B)則稱A、B獨(dú)立，或稱A、B相互獨(dú)立.將兩事件獨(dú)立的定義推廣到三個(gè)事件：對(duì)于三個(gè)事件A、B、C，若P(AC)=P(A)P(C)P(AB)=P(A)P(B)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)P(BC)=P(B)P(C)四個(gè)等式同時(shí)成立,則稱事件A、B、C相互獨(dú)立.第六節(jié)：定理對(duì)于n重貝努利試驗(yàn)，事件A在n次試驗(yàn)中出現(xiàn)k次的概率為總結(jié)：條件概率是概率論中的重要概念，其與獨(dú)立性有密切的關(guān)系，在不具有獨(dú)立性的場(chǎng)合，它將扮演主要的角色。乘法公式、全概公式、貝葉斯公式在概率論的計(jì)算中經(jīng)常使用，請(qǐng)牢固掌握。獨(dú)立性是概率論中的最重要概念之一，亦是概率論特有的概念，應(yīng)正確理解并應(yīng)用于概率的計(jì)算。貝努利概型是概率論中的最重要的概型之一，在應(yīng)用上相當(dāng)廣泛。第二章：隨機(jī)變量及其分布1、隨機(jī)變量：分為離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量。分布函數(shù)：設(shè)X是一個(gè)，x為一個(gè)任意實(shí)數(shù)，稱函數(shù)F(X)=P（X≤x）為X的分布函數(shù)。X的分布函數(shù)是F(x)記作X～F(x)或FX(x).如果將X看作數(shù)軸上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，那么分布函數(shù)F(x)的值就表示X落在區(qū)間（x≤X）。離散型隨機(jī)變量及其分布定義1：設(shè)xk(k=1,2,…)是離散型隨機(jī)變量X所取的一切可能值，稱等式P(X=xk)=PK,為離散型隨機(jī)變量X的概率函數(shù)或分布律，也稱概率分布.其中PK,≥0；ΣPk=1分布律與分布函數(shù)的關(guān)系：（1）已知隨機(jī)變量X的分布律，可求出X的分布函數(shù)：①設(shè)一離散型隨機(jī)變量X的分布律為

P{X=xk}=pk(k=1，2，…)

由概率的可列可加性可得X的分布函數(shù)為②已知隨機(jī)變量X的分布律,亦可求任意隨機(jī)事件的概率。（2）已知隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，可求出X的分布律：三種常用離散型隨機(jī)變量的分布.1（0－1）分布：設(shè)隨機(jī)變量X只可能取0與1兩個(gè)值，它的分布律為

P{X=k}=pk(1-p)1-k,k=0，1.(0<p<1)

則稱X服從（0－1）分布,記為X（0－1）分布。（0－1）分布的分布律用表格表示為：X01P1-pp易求得其分布函數(shù)為2.二項(xiàng)分布（binomialdistribution)：定義：若離散型隨機(jī)變量X的分布律為其中0<p<1,q=1-p,則稱X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布，記為XB(n,p).泊松分布的定義及圖形特點(diǎn)設(shè)隨機(jī)變量X所有可能取的值為0,1,2,…,且概率分布為：其中入>0是常數(shù),則稱X服從參數(shù)為入的泊松分布,記作X~P(入).、連續(xù)型隨機(jī)變量1概率密度f(wàn)(x)的性質(zhì)（1）f(x)≥0（2）(3).X落在區(qū)間(x1，x2)的概率幾何意義：X落在區(qū)間(x1，x2)的概率P{x1<X≤x2}等于區(qū)間(x1，x2)上曲線y=f(x)之下的曲邊梯形的面積．(4).若f(x)在點(diǎn)x處連續(xù)，則有F′(x)=f(x)。．概率密度f(wàn)(x)與分布函數(shù)F(x)的關(guān)系：(1)若連續(xù)型隨機(jī)變量X具有概率密度f(wàn)(x)，則它的分布函數(shù)為(2)若連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)，那么它的概率密度為f(x)=F′(x).注意：對(duì)于F(x)不可導(dǎo)的點(diǎn)x處，f(x)在該點(diǎn)x處的函數(shù)值可任意給出。三種重要的連續(xù)型分布：1．均勻分布(UniformDistribution)設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量X具有概率密度則稱X在區(qū)間(a，b)上服從均勻分布，記為XU(a，b).若XU(a，b)，則容易計(jì)算出X的分布函數(shù)為2.指數(shù)分布入>0則稱X服從參數(shù)為入的指數(shù)分布.常簡(jiǎn)記為X~E(入)指數(shù)分布的分布函數(shù)為指數(shù)分布的一個(gè)重要特性是”無(wú)記憶性”.設(shè)隨機(jī)變量X滿足：對(duì)于任意的s>o，t>0,有則稱隨機(jī)變量X具有無(wú)記憶性。3.正態(tài)分布若X的概率密度為其中μ和都是常數(shù)，任意，μ>0，則稱X服從參數(shù)為μ和的正態(tài)分布.記作f(x)所確定的曲線叫作正態(tài)曲線.的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于，任何一個(gè)一般的正態(tài)分布都可以通過(guò)線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.隨機(jī)變量函數(shù)的分布設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，具有概率密度f(wàn)x(x)，求Y=g(X)（g連續(xù)）的概率密度。1．一般方法——分布函數(shù)法可先求出Y的分布函數(shù)FY(y)：因?yàn)镕Y(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}，設(shè)ly={x|g(x)≤y}則再由FY(y)進(jìn)一步求出Y的概率密度2.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為X(x),y=f(x)連續(xù),求Y=f(X)的密度函數(shù)的方法有三種：（1）分布函數(shù)法；（2）若y=f(x)嚴(yán)格單調(diào)，其反函數(shù)有連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，則

可用公式法；（3）若y=g(x)在不相重疊的區(qū)間I1,I2,…上逐段嚴(yán)格單

調(diào)，其反函數(shù)分別為h1(y),h2(y),…,且h1(y),h2(y),

…,均為連續(xù)函數(shù)，則Y=g(X)是連續(xù)型隨機(jī)變量，

其密度函數(shù)為對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，在求Y=g(X)的分布時(shí)，關(guān)鍵的一步是把事件{g(X)≤y}轉(zhuǎn)化為X在一定范圍內(nèi)取值的形式，從而可以利用X的分布來(lái)求P{g(X)≤y}.。第三章、多維隨機(jī)變量.分布函數(shù)的性質(zhì)對(duì)于任意固定的y，對(duì)于任意固定的x，離散型隨機(jī)變量的分布、連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度性質(zhì)邊緣分布1離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣分布隨機(jī)變量的獨(dú)立性： 兩個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)的分布離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布第四章.、隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望E(X)是一個(gè)實(shí)數(shù),而非變量,它是一種加權(quán)平均,與一般的平均值不同,它從本質(zhì)上體現(xiàn)了隨機(jī)變量X取可能值的真正的平均值,也稱均值.2.連續(xù)型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義數(shù)學(xué)期望的本質(zhì)——定積分它是一個(gè)數(shù)不再是隨機(jī)變量3.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)E(C)=CE(CX)=CE(X)E(X+Y)=E(X)+E(Y)當(dāng)X,Y獨(dú)立時(shí)，E(XY)=E(X)E(Y)若存在數(shù)a使P(Xa)=1,則E(X)a；若存在數(shù)b使P(Xb)=1,則E(X)b.第二節(jié)：隨機(jī)變量的方差方差的定義D(X)——描述.X的取值偏離平均值的平均偏離程度隨機(jī)變量方差的計(jì)算利用公式計(jì)算方差的性質(zhì)(C)=0(CX)=C2D(X)D(aX+b)=a2D(X)特別地，若X,Y相互獨(dú)立，則若Xi，Xj均相互獨(dú)立，均為常數(shù)，則2若X,Y相互獨(dú)立可得逆命題不成立；3若X,Y相互獨(dú)立可得逆命題不成立。4.對(duì)任意常數(shù)C,D(X)E(X–C)2,當(dāng)且僅當(dāng)C=E(X)時(shí)等號(hào)成立5.D(X)=0等價(jià)于P(X=E(X))=1稱為X依概率1等于常數(shù)E(X)。切比雪夫不等式設(shè)隨機(jī)變量X有期望E(X)和方差，則對(duì)于任給>0,第三節(jié)、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)若則稱x，y不相關(guān)。注：（1）X和Y的相關(guān)系數(shù)又成為標(biāo)準(zhǔn)協(xié)方差，它是一個(gè)無(wú)量綱的量。2、若隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立協(xié)方差的計(jì)算公式Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)D(X+_Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)協(xié)方差的性質(zhì)：相關(guān)系數(shù)：二維正態(tài)分布密度函數(shù)中，參數(shù)p代表了與Y