關(guān)于線性規(guī)劃問題基本概念和基本理論第1頁，共25頁，2022年，5月20日，18點44分，星期五第二章基本概念和理論基礎(chǔ)2.1數(shù)學(xué)規(guī)劃模型的一般形式

minf(x)

--------目標(biāo)函數(shù)

s.t.xS

--------約束集合，可行集其中，SRn，f:SR，xS稱（fS)的可行解最優(yōu)解:x*S，滿足f(x*)≤f(x),xS。則稱

x*為(fS)的全局最優(yōu)解(最優(yōu)解),

記g.opt.(globaloptimum),簡記opt.最優(yōu)值:x*為(fS)的最優(yōu)解,則稱f*=f(x*)

為

(fS)的最優(yōu)值(最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值)(fS)第2頁，共25頁，2022年，5月20日，18點44分，星期五2.1數(shù)學(xué)規(guī)劃模型的一般形式（續(xù)）局部最優(yōu)解:x*S，x*的鄰域N(x*)，使?jié)M足

f(x*)≤f(x),xSN(x*)

。則稱x*為(fS)的局部最優(yōu)解,記l.opt.(localoptimum)在上述定義中，當(dāng)xx*時有嚴(yán)格不等式成立，則分別稱x*

為(fS)的嚴(yán)格全局最優(yōu)解和嚴(yán)格局部最優(yōu)解。嚴(yán)格l.opt.嚴(yán)格g.opt.l.opt.第3頁，共25頁，2022年，5月20日，18點44分，星期五2.1數(shù)學(xué)規(guī)劃模型的一般形式（續(xù)）函數(shù)形式:

f(x),gi(x),hj(x):RnRminf(x)(fgh)s.t.gi(x)

≤0,i=1,2,…,m

hj(x)=0,j=1,2,…,l矩陣形式:minf(x)，f(x)

:RnR(fgh)s.t.g(x)

≤0,g(x):RnRm

h(x)=0,h(x):RnRl

當(dāng)f(x),gi(x),hj(x)均為線性函數(shù)時，稱線性規(guī)劃；若其中有非線性函數(shù)時，稱非線性規(guī)劃。第4頁，共25頁，2022年，5月20日，18點44分，星期五2.2凸集、凸函數(shù)和凸規(guī)劃一、凸集1、凸集的概念：定義：設(shè)集合SRn，若x(1),x(2)S,[0,1]，必有

x(1)＋(1-)x(2)S，則稱S為凸集。規(guī)定：單點集{x}為凸集，空集為凸集。注:x(1)＋(1-)x(2)=x(2)＋(x(1)-x(2))

是連接x(1)與x(2)的線段。凸集非凸集非凸集第5頁，共25頁，2022年，5月20日，18點44分，星期五2.2凸集、凸函數(shù)和凸規(guī)劃(續(xù))一、凸集1、凸集的概念：例:證明集合S={x∣Ax=b}是凸集。其中，A為mn矩陣，b為m維向量。凸組合：設(shè)

x(1),x(2),…,x(m)

Rn,j≥

0

mm

j=1,那么稱

jx(j)為x(1),x(2),…,x(m)的

j=1j=1凸組合。

m比較:z=

jx(j)

j=1jR

—構(gòu)成線性組合——線性子空間j≥0,

j>0—構(gòu)成半正組合——凸錐j≥0,

j=0—構(gòu)成凸組合——凸集第6頁，共25頁，2022年，5月20日，18點44分，星期五2.2凸集、凸函數(shù)和凸規(guī)劃(續(xù))一、凸集1、凸集的概念：定理：S是凸集S中任意有限點的凸組合屬于S多胞形H(x(1),x(2),…,x(m))：由x(1),x(2),…,x(m)的所有凸組合構(gòu)成。單純形：若多胞形H(x(1),x(2),…,x(m))滿足，

x(2)-x(1),x(3)-x(1),…,x(m)-

x(1)

線性無關(guān)。多胞形單純形單純形第7頁，共25頁，2022年，5月20日，18點44分，星期五2.2凸集、凸函數(shù)和凸規(guī)劃(續(xù))一、凸集

2、凸集的性質(zhì)：凸集的交集是凸集；（并？）凸集的內(nèi)點集是凸集；（逆命題是否成立？）凸集的閉包是凸集。（逆命題是否成立？）分離與支撐：凸集邊界上任意點存在支撐超平面兩個互相不交的凸集之間存在分離超平面支撐強分離分離非正常分離第8頁，共25頁，2022年，5月20日，18點44分，星期五2.2凸集、凸函數(shù)和凸規(guī)劃(續(xù))一、凸集3、凸錐：定義：C

Rn,若xC,>0

有xC,則稱C是以0為頂點的錐。如果C還是凸集，則稱為凸錐。集合{0}、Rn是凸錐。命題：C是凸錐C中任意有限點的半正組合屬于S0第9頁，共25頁，2022年，5月20日，18點44分，星期五2.2凸集、凸函數(shù)和凸規(guī)劃(續(xù))二、凸函數(shù)

1、凸函數(shù)及水平集定義:設(shè)集合SRn為凸集，函數(shù)f:SR

若x(1),x(2)S,(0,1)，均有

f(x(1)＋(1-)x(2))≤f(x(1))+(1-)f(x(2))，則稱f(x)為凸集S上的凸函數(shù)。若進(jìn)一步有上面不等式以嚴(yán)格不等式成立，則稱f(x)為凸集S上的嚴(yán)格凸函數(shù)。當(dāng)-f(x)為凸函數(shù)（嚴(yán)格凸函數(shù)）時，則稱f(x)為凹函數(shù)（嚴(yán)格凹函數(shù)）。嚴(yán)格凸函數(shù)凸函數(shù)嚴(yán)格凹函數(shù)第10頁，共25頁，2022年，5月20日，18點44分，星期五2.2凸集、凸函數(shù)和凸規(guī)劃(續(xù))二、凸函數(shù)1、凸函數(shù)及水平集：定理：f(x)為凸集S上的凸函數(shù)S上任意有限點的凸組合的函數(shù)值不大于各點函數(shù)值的凸組合。思考：設(shè)f1,f2是凸函數(shù)，設(shè)1,2>0,1f1+2f2,1f1-2f2是否凸函數(shù)？f(x)=max{f1(x),f2(x)},g(x)=min{f1(x),f2(x)}是否凸函數(shù)？

第11頁，共25頁，2022年，5月20日，18點44分，星期五2.2凸集、凸函數(shù)和凸規(guī)劃(續(xù))二、凸函數(shù)1、凸函數(shù)及水平集：定義：設(shè)集合SRn，函數(shù)f:SR，R

，稱S={xS∣f(x)≤

}為f(x)在S上的水平集。定理：設(shè)集合SRn是凸集，函數(shù)f:SR是凸函數(shù)，則對R

，S

是凸集。注：水平集的概念相當(dāng)于在地形圖中，海拔高度不高于某一數(shù)值的區(qū)域。上述定理的逆不真?？紤]分段函數(shù)f(x)=1(x≥0)或0(x<0)，函數(shù)非凸，但任意水平集是凸集。第12頁，共25頁，2022年，5月20日，18點44分，星期五2.2凸集、凸函數(shù)和凸規(guī)劃(續(xù))二、凸函數(shù)2、凸函數(shù)的性質(zhì)：方向?qū)?shù)：設(shè)S

Rn為非空凸集，函數(shù)f:SR，再設(shè)x*

S,d為方向，使當(dāng)

>0

充分小時有x*+d

S,

如果

lim

[f(x*+d)-f(x*)]/

存在（包括）

則稱f(x)為在點沿方向的方向?qū)?shù)存在，記

f`(x*;d)=lim

[f(x*+d)-f(x*)]/

若f(x)在x*可導(dǎo)，則f`(x*;d)=[f(x*)]Td.第13頁，共25頁，2022年，5月20日，18點44分，星期五2.2凸集、凸函數(shù)和凸規(guī)劃(續(xù))二、凸函數(shù)2、凸函數(shù)的性質(zhì)：以下設(shè)S

Rn為非空凸集，函數(shù)f:SR2）若f凸，則f在S的內(nèi)點集上連續(xù)；注：f在S上不一定連續(xù)。

例:f(x)＝2(當(dāng)x=1)；f(x)＝x2(當(dāng)x<1).

3）設(shè)f凸，則對任意方向方向?qū)?shù)存在。4）設(shè)S是開集，f在S上可微，則

f凸x*S，有f(x)≥f(x*)+fT(x*)(x-x*),xS.5)設(shè)S是開集，f在S上二次可微，則

a)

f凸xS，2f(x)半正定；

b)若xS，2f(x)正定，則f嚴(yán)格凸。第14頁，共25頁，2022年，5月20日，18點44分，星期五2.2凸集、凸函數(shù)和凸規(guī)劃(續(xù))二、凸函數(shù)2、凸函數(shù)的性質(zhì)：例：

f(x)＝x12+2x1x2+2x22+10x1-4；

f(x)＝-3x12+x1x2-x22-2x32-2x2x3+26;

f(x)＝3x12+ax1x2+2x22-4x1+6(a=5,4.5)；第15頁，共25頁，2022年，5月20日，18點44分，星期五2.2凸集、凸函數(shù)和凸規(guī)劃(續(xù))三、凸規(guī)劃：當(dāng)（fS）中，S為凸集，f是S上的凸函數(shù)（求min），稱（fS）為凸規(guī)劃；對于（fgh）,f,gi為凸函數(shù)，hj為線性函數(shù)時，（fgh）為凸規(guī)劃。定理：設(shè)集合S

Rn為凸集，函數(shù)f:SRf(x)為凸集S上的凸函數(shù)。x*為問題（fs）的l.opt，則x*為g.opt；又如果f是嚴(yán)格凸函數(shù)，那么x*是（fs）的唯一g.opt。第16頁，共25頁，2022年，5月20日，18點44分，星期五2.3多面體、極點、極方向1）多面體：有限個半閉空間的交例：S={xRnAx=b,x≥0}第17頁，共25頁，2022年，5月20日，18點44分，星期五2.3多面體、極點、極方向2)多面體的極點（頂點）：

xS，不存在S

中的另外兩個點x(1)和x(2)，及λ(0,1)，使x=λx(1)+(1-λ)x(2).3)方向：xS,dRn,d

0及λ>0,總有x+λd

S.

d(1)=λd(2)(λ>0)時，稱d(1)和d(2)同方向。4)極方向：方向d

不能表示為兩個不同方向的組合(d=d(1)+d(2)).第18頁，共25頁，2022年，5月20日，18點44分，星期五2.3多面體、極點、極方向多面體S={xRnAx=b,x≥0}的極點和極方向定理1（極點特征）設(shè)A

滿秩，x

是S極點的充分必要條件是:

存在分解A=[B,N]，其中B為m階非奇異矩陣，使xT=[xBT,xNT],

這里xB=B-1b≥0,xN=0.S中必存在有限多個極點。(≤Cnm)第19頁，共25頁，2022年，5月20日，18點44分，星期五2.3多面體、極點、極方向多面體

S={xRnAx=b,x≥0}的極點和極方向定理2（極方向特征）設(shè)A=[p1,p2,…,pn]滿秩，d

是S

極方向的充分必要條件是:存在分解A=[B,N]，其中B為m階非奇異矩陣，對于N中的列向量pj

使B-1pj≤0,

dT=[dBT,dNT],這里j

dB=-B-1pj

,dN=(0,...,1,…,0)TS中必存在有限多個極方向。(≤(n-m)Cnm)第20頁，共25頁，2022年，5月20日，18點44分，星期五考慮多面體

S={xRnAx=b,x≥0}，其中

3210065

A=21010b=400300175

即

3x1+2x2+x3=652x1+x2+x4=403x2+x5=75x1,x2,x3,x4,x5≥0

例題第21頁，共25頁，2022年，5月20日，18點44分，星期五32100A=[P1,P2,P3,P4,P5]=2101003001

A矩陣包含以下10個3×3的子矩陣：

B1=[p1，p2，p3]B2=[p1，p2，p4]

B3=[p1，p2，p5]B4=[p1，p3，p4]

B5=[p1，p3，p5]B6=[p1，p4，p5]

B7=[p2，p3，p4]B8=[p2，p3，p5]

B9=[p2，p4，p5]B10=[p3，p4，p5]

例題第22頁，共25頁，2022年，5月20日，18點44分，星期五

其中B4=0，因而B4不能構(gòu)成極點和極方向。其余均為非奇異方陣，因此該問題共有9個可構(gòu)成極點、極方向的子矩陣，我們稱之為基。對于基B3=[p1，p2，p5]，令x3

=0，x4=