二次函數(shù)解析式求法和圖象與系數(shù)關(guān)系舉例二次函數(shù)解析式求法和圖象與系數(shù)關(guān)系舉例二次函數(shù)解析式求法和圖象與系數(shù)關(guān)系舉例二次函數(shù)解析式求法和圖象與系數(shù)關(guān)系舉例編制僅供參考審核批準(zhǔn)生效日期地址：電話：傳真:郵編:二次函數(shù)解析式求法及圖象與系數(shù)關(guān)系舉例1.已知二次函數(shù)中自變量x和函數(shù)y的部分對應(yīng)值如下表X…-101…y…-2-20…求該二次函數(shù)的解析式；[解1]：觀察所給的表格此函數(shù)圖象關(guān)于x=對稱，它的頂點坐標(biāo)是（，）所以不妨設(shè)二次函數(shù)解析式為又因為當(dāng)x=0時y=-2所以有a=1所以此二次函數(shù)的解析式為[解2]設(shè)此二次函數(shù)解析式為當(dāng)x=0時，y=-2;當(dāng)x=-1時，y=-2;當(dāng)x=1時，y=0;可以列出如下方程：解之得：a=1,b=1,c=-2所以此二次函數(shù)的解析式為;2.已知拋物線關(guān)于直線x=1軸對稱，它的最低點的縱坐標(biāo)為-2，且拋物線與y軸交于點（0,1），求這個二次函數(shù)的解析式；[解1]：因為拋物線關(guān)于直線x=1軸對稱，它的最低點的縱坐標(biāo)為-1，可知此拋物線的頂點坐標(biāo)是（1，-2）所以不妨設(shè)拋物線的解析式為；又拋物線與y軸交于（0，1）所以有a=3所以拋物線的解析式為：[解2]依題意有：①②③聯(lián)立①②③解之得a=3b=-6c=1所以此拋物線的解析式是：3.已知當(dāng)x=1時，二次函數(shù)的最大值為2，且過點（2，-3），求此二次函數(shù)的解析式；[解1]：依題意設(shè)拋物線的解析式為當(dāng)x=1時①②③解之得a=-5b=10c=-3所以拋物線的解析式是：[解2]依題意拋物線的頂點坐標(biāo)是（1,2）所以不妨設(shè)拋物線的解析式為有拋物線過（2，-3）所以解之得a=-5所以拋物線的解析式為33330[解1]從拋物線圖象可知:圖象關(guān)于x=1對稱，與x軸相交于兩點（，0），（3,0），這兩點也關(guān)于x=1對稱；所以有：=-1所以可以設(shè)拋物線解析式為而點（0,3）在拋物線上，所以a=-1因此，拋物線的解析式是即[解2]：從拋物線圖象可知①②解之得b=2,c=3因此，拋物線的解析式是:5．二次函數(shù)y=x2+bx+c中，函數(shù)y與自變量x的部分對應(yīng)值如下表，求m的值并寫出拋物線的解析式；x...﹣2﹣101234...y...72﹣1﹣2m27...[解1]：根據(jù)二次函數(shù)的對稱性可以知道：m=-1;函數(shù)對應(yīng)圖象的對稱軸為x=1，且當(dāng)x=1時，y=-2;所以不妨設(shè)二次函數(shù)的解析式為：當(dāng)x=0時，y=-1;即a=1所以此二次函數(shù)為[解2]：因為當(dāng)x=-1,0,1時，y=2，-1，-2；所以把相應(yīng)值代入得到一個三元一次方程組，解之得a=1,b=-2,c=-1;6.拋物線y=-x2圖象向右平移2個單位再向下平移3個單位，求所得圖象的解析式。再把所得的解析式向左平移5個單位，向上平移4個單位，求所得拋物線解析式；[解]7將拋物線y=2x2﹣12x+16繞它的頂點旋轉(zhuǎn)180°，求所得拋物線的解析式。[解]將拋物線y=2x2﹣12x+16繞它的頂點旋轉(zhuǎn)180°就是求原拋物線過原頂點垂直對稱軸的對稱圖形；所以先要對原拋物線配方得：所以所得拋物線的解析式是；練習(xí)：1.拋物線y=﹣x2+bx+c上部分點的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y的對應(yīng)值如下表：x…﹣2﹣1012…y…04664…求拋物線的解析式。2.若二次函數(shù)y=x2+bx+5配方后為y=（x﹣2）2+k，求原二次函數(shù)解析式。3.如圖A（﹣1，m）、B（n，﹣3）兩點是一次函數(shù)y2=﹣x-1與二次函數(shù)y1=ax2+bx﹣3圖象的交點．（1）求m、n的值和二次函數(shù)的解析式．（3）說出所求的拋物線y1=ax2+bx﹣3可由拋物線y=x2如何平移得到4.已知點A（1，1）在二次函數(shù)y=x2﹣2ax+b圖象上．且該二次函數(shù)的圖象與x軸只有一個交點，求這個二次函數(shù)的解析式．5.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A（2，0）、B（0，﹣6）兩點．求這個二次函數(shù)的解析式．6.已知二次函數(shù)的對稱軸為，且圖象經(jīng)過A（-1,0），B（0，-3）兩點。求二次函數(shù)的解析式。7.已知拋物線上有三點A（0,3），B（1,6），C（-1,2）求此拋物線的解析式。8.若拋物線與軸交點的橫坐標(biāo)為-1，與y軸交點的縱坐標(biāo)為2；求拋物線的解析式；9.拋物線與x軸交于兩點A、B,且A（2,0），B（），與y軸交點的縱坐標(biāo)是5；求拋物線的解析式；10.拋物線過兩點A、B,且A（2,5），B（），與y軸交點的縱坐標(biāo)是-3；求拋物線的解析式；30【例題1】.二次函數(shù)的圖象如圖所示。下列說法正確的是（D30Aa＞0;BC＜0;C＜0;Da+b+c＞0[分析]：從圖象上可以看出：拋物線與x軸有兩個交點所以﹥0；因為拋物線開口向下，所以a＜0;拋物線與y軸交于y軸正半軸，所以c＞0;對稱軸在y軸右邊，所以＞0，a＜0,所以b＞0；（a、b異號，對稱軸在y軸右邊，a、b同號，對稱軸在y軸左邊）；***又因為1＜3，當(dāng)0＜x＜3時，函數(shù)y由+變到0；所以當(dāng)x=1時，函數(shù)y＞0,即＞0；【例題2】已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，且關(guān)于的一元二次方程沒有實數(shù)根，有下列結(jié)論：①；Oyx2②；③.其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（DOyx2（A）0（B）1（C）2（D）3[分析]從圖象上可以看出：拋物線與x軸有兩個交點所以﹥0；因為拋物線開口向下，所以a＜0;拋物線與y軸交于y軸正半軸，所以c＞0;對稱軸在y軸右邊，所以＞0，a＜0,所以b＞0；（a、b異號，對稱軸在y軸右邊，a、b同號，對稱軸在y軸左邊）；***方程可以看成拋物線與直線y=m相交的情況；從圖象可以知道，當(dāng)m=2,拋物線與直線有一個（或兩個重合的）交點；當(dāng)m＜2,拋物線與直線有兩個交點；當(dāng)m＞2,拋物線與直線沒有交點；（對應(yīng)方程有無實根情況）練習(xí)：1.（3分）（2014?萊蕪）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示．下列結(jié)論：①abc＞0；②2a﹣b＜0；③4a﹣2b+c＜0；④（a+c）2＜b2其中正確的個數(shù)有（）2.拋物線y=ax2+bx+c上部分點的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y的對應(yīng)值如表所示．給出下列說法：①拋物線與y軸的交點為（0，6）；②拋物線的對稱軸是在y軸的右側(cè)；③拋物線一定經(jīng)過點（3，0）；④在對稱軸左側(cè)，y隨x增大而減?。畯谋砜芍铝姓f法正確的個數(shù)有（）x…-3-2-101…y…-60466…A1B2C3D43.（2011山東菏澤，8，3分）如圖為拋物線的圖像，A、B、C為拋物線與坐標(biāo)軸的交點，且OA=OC=1，則下列關(guān)系中正確的是A．a(chǎn)＋b=－1B．a(chǎn)－b=－1C．b<24.（2011山東泰安）若二次函數(shù)y=ax2+bx+c的x與y的部分對應(yīng)值如下表：X-7-6-5-4-3-2y-27-13-3353則當(dāng)x=1時，y的值為5.（2011山東威海，7，3分）二次函數(shù)的圖象如圖所示．當(dāng)y＜0時，自變量x的取值范圍是（）．A．－1＜x＜3 B．x＜－1 C．x＞3 D．x＜－1或x＞36.（2011山東煙臺，10,4分）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，兩條拋物線有相同的對稱軸，則下列關(guān)系正確的是（）A．m＝n，k＞hB．m＝n，k＜hC．m＞n，k＝hD．m＜n，k＝h【答案】A7.（2011浙江溫州，9，4分）已知二次函數(shù)的圖象(0≤x≤3)如圖所示．關(guān)于該函數(shù)在所給自變量取值范圍內(nèi)，下列說法正確的是()A．有最小值0，有最大值3 B．有最小值－1，有最大值0C．有最小值－1，有最大值3 D．有最小值－1，無最大值8．（2011四川重慶，7，4分）已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是()A．a(chǎn)>0B．b＜0C．c＜0D．a(chǎn)＋b＋c>09.（2011臺灣全區(qū)，28）圖(十二)為坐標(biāo)平面上二次函數(shù)的圖形，且此圖形通（－1,1）、（2,－1）兩點．下列關(guān)于此二次函數(shù)的敘述，何者正確A．y的最大值小于0B．當(dāng)x＝0時，y的值大于1C．當(dāng)x＝1時，y的值大于1D．當(dāng)x＝3時，y的值小于010.（2011甘肅蘭州，5，4分）拋物線的頂點坐標(biāo)是A．（1，0） B．（－1，0） C．（－2，1） D．（2，－1）11.（2011甘肅蘭州，9，4分）如圖所示的二次函數(shù)的圖象中，劉星同學(xué)觀察得出了下面四條信息：（1）；（2）c>1；xy-11O1（3）2a－b<0；（4）a+bxy-11O1A．2個 B．3個 C．4個 D．1個12.（2011江蘇宿遷,8,3分）已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象如圖，則下列結(jié)論中正確的是（▲）A．a(chǎn)＞0B．當(dāng)x＞1時，y隨x的增大而增大C．c＜0D．3是方程ax2＋bx＋c＝0的一個根13.（2011山東濟(jì)寧，8，3分）已知二次函數(shù)中，其函數(shù)與自變量之間的部分對應(yīng)值如下表所示：x……01234……y……41014……點A（，）、B（，）在函數(shù)的圖象上，則當(dāng)時，與的大小關(guān)系正確的是A．B．C．D．14.（2011山東聊城，9，3分）下列四個函數(shù)圖象中，當(dāng)x<0時，函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小的是（）15.（2011山東濰坊，12，3分）已知一元二次方程的兩個實數(shù)根、滿足和，那么二次函數(shù)的圖象有可能是（）16．（2011四川廣安，10，3分）若二次函數(shù)．當(dāng)≤l時，隨的增大而減小，則的取值范圍是（）A．=lB．>lC．≥lD．≤l17.（2011臺灣臺北，6）若下列有一圖形為二次函數(shù)y＝2x2－8x＋6的圖形，則此圖為何 【答案】A18.(2011·日照)如圖是二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象的一部分，給出下列命題：①a＋b＋c＝0；②b＞2a；③ax2＋bx＋c＝0的兩根分別為－3和1；④a－2b＋c＞0.其中正確的命題是________．(只要求填寫正確命題的序號)[例題1]:(2011·泰安)若二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的x與y的部分對應(yīng)值如下表：x－7－6－5－4－3－2y－27－13－3353則當(dāng)x＝1時，y的值為A．5B．－3C．－13D．－27[分析]觀察上表，當(dāng)x＝－4或－2時，y＝3，拋物線的對稱軸為直線x＝eq\f(－4－2,2)＝－3.當(dāng)x＝1時，eq\f(－7＋1,2)＝－3，可知當(dāng)x＝－7或1時，y＝－27.答案D[例題2]:(2010·天津)已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象如圖所示，有下列結(jié)論：①b2－4ac>②abc>0；③8a＋c>0；④9a＋3b＋c<0.其中，正確結(jié)論