6/6專(zhuān)題限時(shí)集訓(xùn)(十五)函數(shù)的圖象與性質(zhì)1．函數(shù)y＝eq\f(\r(－x2＋2x＋3),lgx＋1)的定義域?yàn)?)A．(－1,3] B．(－1,0)∪(0,3]C．[－1,3] D．[－1,0)∪(0,3]B[由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x＋3≥0，,x＋1>0，,x＋1≠1，))解得x∈(－1,0)∪(0,3]．]2．(2021·臨沂二模)已知奇函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x3－1，x＜0,gx，x＞0))，則f(－1)＋g(2)＝()A．－11 B．－7C．7 D．11C[∵f(－1)＋g(2)＝f(－1)＋f(2)＝f(－1)－f(－2)＝(－1)3－1－[(－2)3－1]＝－2－(－9)＝7，故選C．]3．(2021·全國(guó)卷乙)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(1－x,1＋x)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1B[法一：因?yàn)閒(x)＝eq\f(1－x,1＋x)，所以f(x－1)＝eq\f(1－x－1,1＋x－1)＝eq\f(2－x,x)，f(x＋1)＝eq\f(1－x＋1,1＋x＋1)＝eq\f(－x,x＋2).對(duì)于A，F(xiàn)(x)＝f(x－1)－1＝eq\f(2－x,x)－1＝eq\f(2－2x,x)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，但不滿(mǎn)足F(x)＝－F(－x)；對(duì)于B，G(x)＝f(x－1)＋1＝eq\f(2－x,x)＋1＝eq\f(2,x)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且滿(mǎn)足G(x)＝－G(－x)；對(duì)于C，f(x＋1)－1＝eq\f(－x,x＋2)－1＝eq\f(－x－x－2,x＋2)＝－eq\f(2x＋2,x＋2)，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；對(duì)于D，f(x＋1)＋1＝eq\f(－x,x＋2)＋1＝eq\f(－x＋x＋2,x＋2)＝eq\f(2,x＋2)，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．故選B．法二：f(x)＝eq\f(1－x,1＋x)＝eq\f(2－x＋1,1＋x)＝eq\f(2,1＋x)－1，為保證函數(shù)變換之后為奇函數(shù)，需將函數(shù)y＝f(x)的圖象向右平移一個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移一個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為y＝f(x－1)＋1，故選B．]4．(2021·湖南岳陽(yáng)一模)函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(ln|x|,x)的圖象大致為()ABCDA[由題意知，函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(ln|x|,x)，滿(mǎn)足f(－x)＝－x＋eq\f(ln|－x|,－x)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(ln|x|,x)))＝－f(x)，所以函數(shù)y＝f(x)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；又因?yàn)閒(1)＝1＞0，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；又因?yàn)閒(2)＝2＋eq\f(ln2,2)＞0，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選A．]5．已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿(mǎn)足f(x)＝f(4－x)，若函數(shù)y＝|x2－4x＋1|與y＝f(x)圖象的交點(diǎn)為(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，…，(xn，yn)，則eq\o(∑,\s\up7(n),\s\do12(i＝1))xi＝()A．0 B．nC．2n D．4nC[由f(x)＝f(4－x)知函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱(chēng)，且函數(shù)y＝|x2－4x＋1|的圖象也關(guān)于直線x＝2對(duì)稱(chēng)，則兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)兩兩關(guān)于直線x＝2對(duì)稱(chēng)，故eq\o(∑,\s\up7(n),\s\do12(i＝1))xi＝2n.故選C．]6．關(guān)于函數(shù)f(x)＝x＋sinx，下列說(shuō)法不正確的是()A．f(x)是奇函數(shù)B．f(x)是周期函數(shù)C．f(x)有零點(diǎn)D．f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上單調(diào)遞增B[由題可知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(－x)＝－x－sinx＝－f(x)，則f(x)為奇函數(shù)，故A正確；根據(jù)周期函數(shù)的定義，可知f(x)一定不是周期函數(shù)，故B錯(cuò)誤；因?yàn)閒(0)＝0＋sin0＝0，所以f(x)有零點(diǎn)，故C正確；對(duì)f(x)求導(dǎo)得f′(x)＝1＋cosx≥0在R上恒成立，故f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增，故D正確．]7．(2021·邯鄲三模)請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)函數(shù)f(x)＝________，使之同時(shí)具有如下性質(zhì)：①?x∈R，f(x)＝f(4－x)，②?x∈R，f(x＋4)＝f(x)．coseq\f(π,2)x(答案不唯一)[性質(zhì)①②分別表示f(x)關(guān)于直線x＝2對(duì)稱(chēng)和以4為周期，答案不唯一，寫(xiě)出一個(gè)即可，例如f(x)＝coseq\f(π,2)x.]8．已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足：函數(shù)y＝f(x－1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱(chēng)，且x≥0時(shí)恒有f(x＋2)＝f(x)，當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，f(x)＝ex－1，則f(2020)＋f(－2021)＝________.1－e[因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(x－1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱(chēng)，所以y＝f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，又定義域?yàn)镽，所以函數(shù)y＝f(x)是奇函數(shù)，因?yàn)閤≥0時(shí)恒有f(x＋2)＝f(x)，所以x≥0時(shí)，f(x)是周期為2的周期函數(shù)．所以f(2020)＋f(－2021)＝f(0)－f(2021)＝f(0)－f(1)＝(e0－1)－(e1－1)＝1－e.]9．(2021·汕頭三模)已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，滿(mǎn)足?x∈R.都有f(x)＝f(－x)，且在[0，＋∞)上單調(diào)遞增．若a＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，b＝f(sin1)，c＝f(cos2)，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞a＞cC．a(chǎn)＞c＞b D．c＞a＞bB[因?yàn)楹瘮?shù)f(x)滿(mǎn)足f(x)＝f(－x)，所以函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，所以c＝f(cos2)＝f(－cos2)＝f(cos(π－2))，又因?yàn)閑q\f(π,6)＜1，π－2＞1，所以cos(π－2)＜eq\f(1,2)＝sineq\f(π,6)＜sin1，又在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f(cos(π－2))＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＜f(sin1)，即b＞a＞c，故選B．]10．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2|x－a|，x≤1，,x＋1，x>1，))若f(1)是f(x)的最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．[－1,2) B．[－1,0]C．[1,2] D．[1，＋∞)C[f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2|x－a|，x≤1，,x＋1，x>1，))若x>1，則f(x)＝x＋1>2，易知f(x)＝2|x－a|在(a，＋∞)上單調(diào)遞增，在(－∞，a)上單調(diào)遞減．若a<1，則f(x)在x＝a處取得最小值，不符合題意；若a≥1，則要使f(x)在x＝1處取得最小值，只需2a－1≤2，解得a≤2，∴1≤a≤綜上所述，a的取值范圍是[1,2]．]11．(2020·北京高考)已知函數(shù)f(x)＝2x－x－1，則不等式f(x)＞0的解集是()A．(－1,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(0,1) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)D[函數(shù)f(x)＝2x－x－1，則不等式f(x)>0的解集即2x>x＋1的解集，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)y＝2x，y＝x＋1的圖象(圖略)，結(jié)合圖象易得2x>x＋1的解集為(－∞，0)∪(1，＋∞)，故選D．]12．已知定義在R上的函數(shù)f(x)，若f(x)是奇函數(shù)，f(x＋1)是偶函數(shù)，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)＝x2，則f(2023)＝()A．－1 B．1C．0 D．20192A[因?yàn)閒(x＋1)是偶函數(shù)，所以f(x＋1)＝f(－x＋1)，即f(－x)＝f(x＋2)，又f(x)是奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，又當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)＝x2，所以f(2023)＝f(4×506－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－1.故選A．]13．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1，x≤0，,－x2－3x，x>0，))若不等式|f(x)|≥mx－2恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為()A．[3－2eq\r(2)，3＋2eq\r(2)] B．[0,3－2eq\r(2)]C．(3－2eq\r(2)，3＋2eq\r(2)) D．[0,3＋2eq\r(2)]D[由函數(shù)的解析式易知f(x)≤0恒成立，則|f(x)|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x＋1，x≤0，,x2＋3x，x>0，))不等式|f(x)|≥mx－2恒成立，等價(jià)于函數(shù)y＝|f(x)|的圖象在函數(shù)y＝mx－2圖象的上方恒成立．作出函數(shù)y＝|f(x)|的圖象，如圖所示，函數(shù)y＝mx－2的圖象是過(guò)定點(diǎn)(0，－2)的直線，由圖可知，當(dāng)m<0時(shí)，不滿(mǎn)足題意；當(dāng)m＝0時(shí)，滿(mǎn)足題意；當(dāng)m>0時(shí)，考慮直線y＝mx－2與曲線y＝x2＋3x(x>0)相切的情況．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝mx－2，,y＝x2＋3x，))得x2＋(3－m)x＋2＝0，令Δ＝(3－m)2－8＝m2－6m解得m＝3＋2eq\r(2)或m＝3－2eq\r(2)，結(jié)合圖形可知0<m≤3＋2eq\r(2).綜上，m的取值范圍是[0,3＋2eq\r(2)]．]14．(2021·廣東二模)對(duì)于函數(shù)f(x)，若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)x0，滿(mǎn)足f(－x0)＝－f(x0)，稱(chēng)f(x)為“局部奇函數(shù)”．若f(x)＝x2－2mx＋m2－3為定義域R上的“局部奇函數(shù)”，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．[－eq\r(3)，eq\r(6)] B．[－eq\r(3)，eq\r(3)]C．[－eq\r(6)，eq\r(3)] D．[－eq\r(6)，eq\r(6)]B[由“局部奇函數(shù)”定義可知方程：f(－x)＋f(x)＝0有解，即x2＋2mx＋m2－3＋x2－2mx＋m2－3＝2x2＋2m2－6＝0有解，整理可得：m2＝－x∵m2＝－x2＋3能成立，－x2＋3≤3，∴m2≤3，解得：－eq\r(3)≤m≤eq\r(3)，即實(shí)數(shù)m的取值范圍為[－eq\r(3)，eq\r(3)]．故選B．]15．對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，若存在x0使f(x0)＋f(－x0)＝0，則稱(chēng)點(diǎn)(x0，f(x0))是曲線f(x)的“優(yōu)美點(diǎn)”．已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x，x<0，,kx＋