本文格式為Word版，下載可任意編輯——小學(xué)具，“深”學(xué)習(xí)

[摘

要]對于一部分已經(jīng)“會〞的學(xué)生，學(xué)具操作變成了“滯后〞的工具，完全體會不出它的價值所在。但若能深度挖掘這些簡單學(xué)具的作用，把“單一〞變“多元〞，不僅能有效地把難以傳授的知識或難以解決的問題更直觀地浮現(xiàn)給學(xué)生，幫助學(xué)生理解知識，更能拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生的能力，進(jìn)而實現(xiàn)深度學(xué)習(xí)。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)學(xué)具;深度學(xué)習(xí);數(shù)學(xué)模型;數(shù)學(xué)素養(yǎng)

新的課程標(biāo)準(zhǔn)明確指出，數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的積累是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志。現(xiàn)在越來越多的課堂引入了直觀學(xué)具的教學(xué)，主要由于它們的表現(xiàn)直觀，有助于理解算理，有助于思維，有益于問題解決。因此，發(fā)揮學(xué)具作用到極致，不僅表達(dá)在學(xué)生學(xué)習(xí)方式的豐富與轉(zhuǎn)變上，同時也促進(jìn)教師改進(jìn)教學(xué)方式，為傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)注入了活力與活力，提升了教師的專業(yè)素養(yǎng)。

一、挖掘?qū)W具本身的趣味性、直觀性、多樣性

學(xué)生伸手或跳一跳就能摘到的桃子，教師絕不要代勞，特別是規(guī)律性的知識，一定是借助大量的操作自己“悟〞出的。

學(xué)具操作：學(xué)具片（正方形片、圓片等）

課例1

蘇教版五年級下冊“和的奇偶性〞

筆者讓學(xué)生用自己的方式先摸索兩個數(shù)相加的奇偶性，就有學(xué)生用手上的正方形片擺出了這樣的圖示（圖1）。

這僅僅驗證了1+1=2（奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)）;1+2=3（奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)）;2+2=4（偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)）。筆者借機(jī)問：這個正方形片還能表示其他數(shù)相加的和的奇偶性嗎？學(xué)生思考后紛紛擺了出來（圖2）。

學(xué)生們從中發(fā)現(xiàn)偶數(shù)是一對一對出現(xiàn)的，奇數(shù)是有1個單個的。偶數(shù)和偶數(shù)相加，會“配對成功〞;但是偶數(shù)和奇數(shù)相加，會有1個多出的;而奇數(shù)和奇數(shù)相加，原本兩個多出的合在一起正好“配成一對〞。

此時，筆者再次做了延伸：這個規(guī)律適用于任意非0自然數(shù)的相加嗎，學(xué)生想到如下狀況（圖3）。

知識的習(xí)得絕非是刻意地告知，假如教學(xué)這個知識點，只是通過一串串枯燥的數(shù)據(jù)列舉去理解，學(xué)生的感想是不深的，由于“沒有反例〞去被動接受這些規(guī)律，所以沒有從根本上理解規(guī)律。但若通過正方形學(xué)具片的大量操作，借助學(xué)具的直觀性和可插入性，學(xué)生則能十分直觀地理解規(guī)律的本質(zhì)，真正地理解，就能真正地接納。

課例2

蘇教版一年級上冊“數(shù)數(shù)〞

筆者讓學(xué)生用自己的方式表達(dá)出數(shù)“10個小朋友〞的方法，有學(xué)生擺出10個圓片來表示數(shù)“10〞。

筆者問學(xué)生如何數(shù)的？能畫出你數(shù)的過程嗎？學(xué)生出現(xiàn)了兩種數(shù)的方法和過程（圖4、圖5）。

這是第一次出現(xiàn)群數(shù)，是學(xué)生自發(fā)引起的一種“數(shù)數(shù)〞的思維：遇到數(shù)量多、又有一定排列規(guī)律的物體時，自主產(chǎn)生了群數(shù)。學(xué)生根據(jù)排列方式的不同，想出了兩種數(shù)法。圖5數(shù)的過程是多元化的：縱向看，2個2個地數(shù);橫向看，5個5個地數(shù)。學(xué)生在邊圈邊數(shù)的過程中就能感受到觀測方向的不同。也為后續(xù)學(xué)習(xí)乘法，對“5個2相加〞“2個5相加〞意義上的理解做鋪墊。

二、挖掘操作過程中的有效性、建構(gòu)性、獨創(chuàng)性

學(xué)具操作強(qiáng)調(diào)從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程，讓學(xué)生知其然更知其所以然。

學(xué)具操作：磁性圓片

課例3

蘇教版一年級上冊“求未知加數(shù)〞

教材中教學(xué)求加法算式中的未知加數(shù)，一方面是進(jìn)一步穩(wěn)定10的分與合的知識以及有關(guān)10的加減法計算，為學(xué)習(xí)20以內(nèi)進(jìn)位加法和退位減法做準(zhǔn)備;另一方面是讓學(xué)生初步感受方程的思想，為五年級學(xué)習(xí)方程做鋪墊。

教材（圖6）是浮現(xiàn)10個格子的盒子，里面放了8個蘋果，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)圖意提出問題：再放幾個能放滿？

參看五年級下冊教材（圖7），學(xué)生對方程的理解是通過天平的平衡與否去理解等式與方程。曹一鳴教授提出的代數(shù)思維框架中，在“代數(shù)作為數(shù)學(xué)語言〞中就提到了“用等價的符號表示處理公式、表達(dá)式、方程、不等式〞。感受“=〞兩邊的量（式）之間平等、對稱、平衡、等價的關(guān)系。由此可見，通過天平平衡與否去理解不等式、等式，能更直觀有效地發(fā)展學(xué)生的代數(shù)思維。

教學(xué)時，筆者把教材直接浮現(xiàn)10格的盒子稍做改動，改為出示兩堆圓片，讓學(xué)生思考：怎樣能一眼看出紅藍(lán)圓片哪個多一些（圖8）？

學(xué)生想出了兩種方法（圖9、圖10）。

第一種是用“一一對應(yīng)〞的方法去對比;其次種想到了擺到同樣的10格的格子里。學(xué)生通過比較發(fā)現(xiàn)其次種方法不僅能一眼看出誰多誰少，還能一眼看出各自的數(shù)量。

此時教師進(jìn)一步提問：假如把它們分別放在天平兩邊，你們覺得哪頭會往下沉？

學(xué)生畫出了如圖11的圖示。

另外，學(xué)生還想出了多種方法（圖12）。

知識本質(zhì)的教學(xué)，既需要教師對數(shù)學(xué)知識的認(rèn)識與理解，還需要教師對教材的整體把握和深度解讀。教材只浮現(xiàn)了一道求未知加數(shù)的等式，讓學(xué)生根據(jù)給定的圖示去思考“盒子里應(yīng)當(dāng)放幾個，括號里就填幾〞。假如只是像這樣以陳述性的方式去傳授知識，學(xué)生是難以主動介入和自主建構(gòu)不等式、等式、方程的知識框架的。

三、觸發(fā)學(xué)具背后思維的靈巧性、發(fā)展性、變通性

尋常，學(xué)生被動接受知識或在教師指導(dǎo)下接受知識，其主動性較差，然而“自我轉(zhuǎn)換〞需要學(xué)生主動進(jìn)行信息的加工，這也是學(xué)生“學(xué)會〞的重要標(biāo)志。因此，教學(xué)要促進(jìn)學(xué)生主動學(xué)習(xí)，幫助學(xué)生實現(xiàn)信息的自我轉(zhuǎn)換。如何讓每個學(xué)生都經(jīng)歷“真學(xué)習(xí)〞呢？

學(xué)具操作：小棒

課例4

蘇教版一年級上冊“認(rèn)識10〞

本節(jié)課兩次利用小棒進(jìn)行深度教學(xué)。

片段1：借助“十進(jìn)制〞理解“10〞

筆者讓學(xué)生用自己的方式表達(dá)對“10〞這個數(shù)的理解時，有學(xué)生就擺出了10根小棒。接著筆者又帶領(lǐng)學(xué)生把板貼的小棒數(shù)好10根后捆成一捆。

通過1根和1捆小棒，觸發(fā)學(xué)生進(jìn)一步思考：1根小棒可以用“1〞來表示，“1捆〞小棒也可以用“1〞來表示（圖13）。

學(xué)生比較發(fā)現(xiàn)一個是“1根〞，一個是“1捆〞，1捆其實就是10根。

然而，筆者在試驗班級教學(xué)中都沒看到學(xué)生直接用“1捆〞表達(dá)“10〞的，都是拆成單根去擺，這主要源于學(xué)生在生活中缺乏對“1捆〞的感受，對“十進(jìn)制計數(shù)〞更是陌生。再者受之前學(xué)習(xí)的影響（所有數(shù)數(shù)的狀況都是單個排列，沒有組合排列），學(xué)生不會想到用這種簡明的方式去表達(dá)，因此需要教師去引導(dǎo)。筆者先通過圖示比較兩個“1〞：一個是“1根（一）〞，一個是“1捆（十）〞，單位不同，讓學(xué)生對“位值制〞有了初步感覺，假如統(tǒng)一單位都用“根（一）〞來計數(shù)，后者就是10根（一）。其次通過觀測教師的操作、讓學(xué)生自己動手操作，切實感受到原來10個一是可以“捆成〞1個十的，學(xué)生對“十進(jìn)制〞的理解水到渠成。

片段2：通過“數(shù)線〞理解“10〞

經(jīng)歷了第一環(huán)節(jié)，學(xué)生用10個不同的物體來表示“10〞后，筆者把原本“豎向〞1根1根擺放表示“10〞的小棒進(jìn)行“橫向〞擺放，同時設(shè)計了三個層次的問題：第一個層次，讓學(xué)生感受到每向后延伸1根小棒，就產(chǎn)生一個數(shù)，越往后，小棒數(shù)越多，數(shù)也越大，這個層次是讓學(xué)生對“數(shù)線〞的“前〞“后〞有直觀的感覺：“數(shù)線〞越往前數(shù)越小，越往后數(shù)越大（圖14）。

其次個層次，理解一小段可以用“1〞來表示，那么多大的一段可以用“10〞來表示？學(xué)生通過用胳膊比畫，理解從第1個數(shù)數(shù)到第10個數(shù)時，這個“10〞表示第10根小棒;或者從起點到10這么長的一段（十根），感悟基數(shù)詞與序數(shù)詞不同，同時聚焦對“數(shù)線〞上的“10〞更深一層的理解（圖15）。

第三個層次，學(xué)生發(fā)現(xiàn)隨著小棒的增多，后面還應(yīng)當(dāng)有更大的數(shù)，筆者在第10根小棒的右端，畫上了一個箭頭——“數(shù)線〞，由此產(chǎn)生（圖16）。

一些中高年級的學(xué)生對“數(shù)線〞上找相應(yīng)的小數(shù)、分?jǐn)?shù)存在困難，其主要原因在于第一次接觸這條抽象的直線時就不知道“數(shù)線〞上每個數(shù)的意義和產(chǎn)生的由來。因此在第一次出現(xiàn)這條“數(shù)線〞時，筆者就發(fā)揮小棒的作用：每一根小棒與每一根小棒的相連，讓學(xué)生直觀看到了數(shù)的延續(xù)，由此能在頭腦中展開想象，初步建立“數(shù)線〞的模型。這樣，學(xué)生在動手操作、動手試驗中體驗數(shù)學(xué)、感悟數(shù)學(xué)，同時也在積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。

學(xué)生的實踐操作伴隨著問題的發(fā)生與解決，數(shù)學(xué)思維自然植入其中，學(xué)具操